-弯曲应力课件

第五章第五章第五章第五章弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力目目 录录5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力5-2 5-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件横力弯曲时梁的正应力及其强度条件5-3 5-3 梁的切应力及其强度条件梁的切应力及其强度条件5-4 5-4 梁的极限弯矩梁的极限弯矩梁的合理截面梁的合理截面5-1 5-1 5-1 5-1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力请看一个实例：请看一个实例：请看一个实例：请看一个实例：CDCD段：段：段：段：剪力为零，弯矩为常量。剪力为零，弯矩为常量。剪力为零，弯矩为常量。剪力为零，弯矩为常量。这种弯曲称为纯弯曲。这种弯曲称为纯弯曲。这种弯曲称为纯弯曲。这种弯曲称为纯弯曲。ACAC、DBDB两段：两段：两段：两段：这种弯曲称为横力弯曲。这种弯曲称为横力弯曲。这种弯曲称为横力弯曲。这种弯曲称为横力弯曲。同时存在剪力和弯矩。同时存在剪力和弯矩。同时存在剪力和弯矩。同时存在剪力和弯矩。即：即：1、表面变形情况：、表面变形情况：（1 1）两相邻横向线仍保持为直线，）两相邻横向线仍保持为直线，）两相邻横向线仍保持为直线，）两相邻横向线仍保持为直线，只是相对转动一个小角度。只是相对转动一个小角度。只是相对转动一个小角度。只是相对转动一个小角度。纯弯曲时梁的正应力分析纯弯曲时梁的正应力分析一、变形几何方面一、变形几何方面（2 2）纵向线变成弧线，仍垂直于）纵向线变成弧线，仍垂直于）纵向线变成弧线，仍垂直于）纵向线变成弧线，仍垂直于 变形后的横向线，变形后的横向线，变形后的横向线，变形后的横向线，bbbb伸长，伸长，伸长，伸长，aaaa 缩短。缩短。缩短。缩短。2 2、平面假设：、平面假设：、平面假设：、平面假设：梁弯曲变形后，其原来的横梁弯曲变形后，其原来的横梁弯曲变形后，其原来的横梁弯曲变形后，其原来的横截面仍保持为平面，只是相截面仍保持为平面，只是相截面仍保持为平面，只是相截面仍保持为平面，只是相邻横截面绕某一轴相对转了邻横截面绕某一轴相对转了邻横截面绕某一轴相对转了邻横截面绕某一轴相对转了一个小角度，且仍垂直于梁一个小角度，且仍垂直于梁一个小角度，且仍垂直于梁一个小角度，且仍垂直于梁变形后的轴线。变形后的轴线。变形后的轴线。变形后的轴线。中性层中性层中性层中性层：靠近底部的纵：靠近底部的纵：靠近底部的纵：靠近底部的纵向线伸长，靠近顶部的向线伸长，靠近顶部的向线伸长，靠近顶部的向线伸长，靠近顶部的纵向线缩短，根据变形纵向线缩短，根据变形纵向线缩短，根据变形纵向线缩短，根据变形的连续性，中间必有一的连续性，中间必有一的连续性，中间必有一的连续性，中间必有一层纵向线既不伸长也不层纵向线既不伸长也不层纵向线既不伸长也不层纵向线既不伸长也不缩短。缩短。缩短。缩短。中性轴中性轴中性轴中性轴：中性层与横截：中性层与横截：中性层与横截：中性层与横截面的交线面的交线面的交线面的交线 轴，横截面轴，横截面轴，横截面轴，横截面就是绕中性轴转动的。就是绕中性轴转动的。就是绕中性轴转动的。就是绕中性轴转动的。根据变形的对称性：中根据变形的对称性：中根据变形的对称性：中根据变形的对称性：中性层与纵向对称平面垂性层与纵向对称平面垂性层与纵向对称平面垂性层与纵向对称平面垂直，也就是说中性轴与直，也就是说中性轴与直，也就是说中性轴与直，也就是说中性轴与对称轴垂直，即对称轴垂直，即对称轴垂直，即对称轴垂直，即求求求求距距距距中性层为中性层为中性层为中性层为 y y 处的纤维处的纤维处的纤维处的纤维 的线应变：的线应变：的线应变：的线应变：变形前：变形前：变形前：变形前：3 3、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律即：即：即：即：故故故故r r r r ：中性层的曲中性层的曲中性层的曲中性层的曲率半径。率半径。率半径。率半径。变形后：变形后：变形后：变形后：二、物理关系二、物理关系由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于单向应力状态。并设单向应力状态。并设单向应力状态。并设单向应力状态。并设当当时时故故 说明：说明：说明：说明：由于由于由于由于 未知，中性轴未知，中性轴未知，中性轴未知，中性轴 位置未定，所以不能由位置未定，所以不能由位置未定，所以不能由位置未定，所以不能由 式式式式 计算正应力计算正应力计算正应力计算正应力 三、静力学条件三、静力学条件 横截面上各法向微内力横截面上各法向微内力横截面上各法向微内力横截面上各法向微内力 构成空间构成空间构成空间构成空间平行力系，只能简化成三个内力分量平行力系，只能简化成三个内力分量平行力系，只能简化成三个内力分量平行力系，只能简化成三个内力分量说明中性轴说明中性轴说明中性轴说明中性轴 过形心过形心过形心过形心由（由（由（由（1 1）式：）式：）式：）式：（1 1）（2 2）（3 3）由（由（由（由（2 2）式：）式：）式：）式：故上式自然满足。故上式自然满足。故上式自然满足。故上式自然满足。M由（由（由（由（3 3）式：）式：）式：）式：（5-15-1）（5-25-2）其中：其中：其中：其中：MM：横截面上弯矩：横截面上弯矩：横截面上弯矩：横截面上弯矩 y y：所求点的坐标：所求点的坐标：所求点的坐标：所求点的坐标 I Izz：横截面对中性轴的惯性矩：横截面对中性轴的惯性矩：横截面对中性轴的惯性矩：横截面对中性轴的惯性矩由静力学关系得到由静力学关系得到由静力学关系得到由静力学关系得到由变形几何关系得到由变形几何关系得到由变形几何关系得到由变形几何关系得到由物理关系得到由物理关系得到由物理关系得到由物理关系得到综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：推导过程简单总结推导过程简单总结推导过程简单总结推导过程简单总结：（三方面）：（三方面）：（三方面）：（三方面）（5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述 公式时，都带有一定的近似性。公式时，都带有一定的近似性。（2 2）应用公式时，通常）应用公式时，通常）应用公式时，通常）应用公式时，通常MM和和和和y y都用绝对值，所求点的应力都用绝对值，所求点的应力都用绝对值，所求点的应力都用绝对值，所求点的应力 是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。几几几几 点点点点 说说说说 明明明明（1）公式成立条件：材料在线弹性范围内，即）公式成立条件：材料在线弹性范围内，即（3）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面梁，而且还适用由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面梁，而且还适用 于其它一些截面梁，如：圆截面梁、工字形截面梁、于其它一些截面梁，如：圆截面梁、工字形截面梁、T字形字形 截面梁，等等。截面梁，等等。（4）由于）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横 截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如 y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。例例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴 的惯性矩的惯性矩Iz=5.33106mm4。求跨中。求跨中C截面上截面上a、b、c点的弯点的弯 曲正曲正应力。力。解：解：首先作剪力图和弯矩图，由首先作剪力图和弯矩图，由 图可知，图可知，AB段为纯弯曲。段为纯弯曲。（拉）（拉）（压）（压）（中性轴上）（中性轴上）（上侧受拉）（上侧受拉）例例5-2：悬臂梁如图所示，在其下面有一个半径为悬臂梁如图所示，在其下面有一个半径为R的圆柱面，欲的圆柱面，欲使梁弯曲后刚好与圆柱面贴合，但圆柱面不受力，问梁上该受什使梁弯曲后刚好与圆柱面贴合，但圆柱面不受力，问梁上该受什么荷载？大小等于多少？已知么荷载？大小等于多少？已知EIz为常量。为常量。l解：由题意可得，梁弯曲后其轴线变成解：由题意可得，梁弯曲后其轴线变成 圆弧线，即每个截面处的曲率半径圆弧线，即每个截面处的曲率半径 均为常量均为常量R，由曲率公式（，由曲率公式（5-1）5-2 5-2 5-2 5-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件横力弯曲时梁的正应力及其强度条件横力弯曲时梁的正应力及其强度条件横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面 一一.横力弯曲时梁的正应力及其强度条件横力弯曲时梁的正应力及其强度条件由于由于的存在，横截面的存在，横截面发生生翘曲（曲（5-3）。平面假设不成立，且）。平面假设不成立，且还有沿还有沿y的挤压正应力。的挤压正应力。由弹性力学结果表明，当由弹性力学结果表明，当l/h5时（细长梁），用（梁），用（5-2）式计算）式计算以上梁跨中截面的最大正应力，其误差以上梁跨中截面的最大正应力，其误差1.07%。所以工程中仍。所以工程中仍用用纯弯曲弯曲时的正的正应力公式来力公式来计算横力弯曲算横力弯曲时的正的正应力。但要注力。但要注意，横力弯曲意，横力弯曲时，弯矩是，弯矩是x的函数，所以的函数，所以等截面梁等截面梁（5-3）（5-4）（5-5）Wz称为弯曲截面系数，单位：称为弯曲截面系数，单位：m3则则几种常见截面的几种常见截面的Wz其中：其中：正应力强度条件：正应力强度条件：(等直梁等直梁)由于由于max 发生在生在|M Mmaxmax|横截面的上、下横截面的上、下边缘处，而，而该处的的=0 或很小或很小（5-35-3），且不计挤压应力，），且不计挤压应力，），且不计挤压应力，），且不计挤压应力，max 点处于单向应力状态。点处于单向应力状态。（5-6）即即材料的弯曲许用正应力材料的弯曲许用正应力塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：拉、压强度不等，应近似地分别用材料的许用拉应力拉、压强度不等，应近似地分别用材料的许用拉应力和许用压应力来代替材料的弯曲许用拉、压应力。和许用压应力来代替材料的弯曲许用拉、压应力。脆性材料：脆性材料：例例5-3 材料为红松，材料为红松，,按正应力强度条件选择按正应力强度条件选择b和和h解：作弯矩图，如图所示解：作弯矩图，如图所示由由采用采用BACD1m1m1m已知已知：Iz5.493107mm4，铸铁，铸铁t=30MPa，c=90MPa。例例5-45-4试确定此梁的许用荷载试确定此梁的许用荷载F F。解：解：设设F的单位为的单位为kN。86134B截面截面86134C截面截面40120180861342020C40120180861342020C86134B截面截面86134C截面截面所以最大压应力必定在所以最大压应力必定在B截面的下边缘处截面的下边缘处Iz5.493107mm4由此可得由此可得t=30MPac=90MPa。40120180861342020C86134B截面截面86134C截面截面Iz5.493107mm4则最大拉应力一定在则最大拉应力一定在C截面的下边缘处截面的下边缘处t=30MPac=90MPa。由此可得由此可得故应取故应取 已知已知：F1=8kN，F2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33106mm4 bt=240MPa，bc=600MPa，安全系数安全系数n=4。试：试：校核梁的强度。校核梁的强度。解：解：作弯矩图，作弯矩图，很容易求出：很容易求出：a许用应力为：许用应力为：校核强度校核强度：截面截面A下边缘：下边缘：截面截面A上边缘：上边缘：截面截面C下边缘：下边缘：故：满足强度要求故：满足强度要求由图可得危险截面弯矩：由图可得危险截面弯矩：练习练习练习练习已知已知：l=1.2m=170MPa，18号工字钢，不计自重。号工字钢，不计自重。练习练习练习练习求：求：F 的最大许可值。的最大许可值。解：解：作弯矩图，作弯矩图，得：得：故：故：查查附录型钢表附录型钢表3，由：由：由图可得：由图可得：二二.梁的合理设计梁的合理设计由上式可见，降低最大弯矩、提高弯曲截面系数，或局部加强由上式可见，降低最大弯矩、提高弯曲截面系数，或局部加强弯矩较大的梁段，都能降低梁的最大正应力，从而提高梁的承弯矩较大的梁段，都能降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力，使梁的设计更为合理。载能力，使梁的设计更为合理。（一）合理配置梁的荷载和支座（一）合理配置梁的荷载和支座按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件工程中经常采用的几种措施工程中经常采用的几种措施：最大弯矩减小了最大弯矩减小了50%辅梁辅梁x=0.207l的时候，最大弯矩减小了的时候，最大弯矩减小了82.8%同理，合理地设置支座位置，也可降低梁内的最大弯矩值同理，合理地设置支座位置，也可降低梁内的最大弯矩值a=0.2l的时候，最大弯矩减小了20%a=0.2l(二二)选择合理的截面形状选择合理的截面形状截面截面由由可知，当弯矩确定时，横截面上的可知，当弯矩确定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数最大正应力与弯曲截面系数 成反比。因此，在截面面积相同成反比。因此，在截面面积相同的条件下，选用各种不同截面形式，其中的条件下，选用各种不同截面形式，其中 越大越经济合理。越大越经济合理。型钢型钢除了要把中性轴附近的材料减少到最低限度以外，还应当顾及除了要把中性轴附近的材料减少到最低限度以外，还应当顾及材料本身的性能。材料本身的性能。脆性材料：应选中性轴为非对称轴的截面，例如：脆性材料：应选中性轴为非对称轴的截面，例如：T T形截面、形截面、槽型截面等，并将顶板置于受拉一侧。槽型截面等，并将顶板置于受拉一侧。塑性材料：应选中性轴为对称轴的截面，例如：工字形截面、塑性材料：应选中性轴为对称轴的截面，例如：工字形截面、圆环形截面、箱形截面等。圆环形截面、箱形截面等。不合理不合理合理合理(三三)合理设计梁的外形合理设计梁的外形由等直梁的强度条件可知，最大正应力发生在弯矩为最大的横截由等直梁的强度条件可知，最大正应力发生在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远的各点处。也就是说，当最大弯矩截面上的最面上距中性轴最远的各点处。也就是说，当最大弯矩截面上的最大正应力达到材料的许用应力时，其余各截面上的最大正应力都大正应力达到材料的许用应力时，其余各截面上的最大正应力都还小于材料的许用应力。因此，为了充分发挥材料的作用，并节还小于材料的许用应力。因此，为了充分发挥材料的作用，并节约材料和减轻自重，将梁设计变截面的。例如，可在弯矩较大的约材料和减轻自重，将梁设计变截面的。例如，可在弯矩较大的部分进行局部加强。部分进行局部加强。若使梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用若使梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，通常称为应力，通常称为等强度梁等强度梁。鱼腹梁鱼腹梁得得5-3 5-3 5-3 5-3 梁的切应力及其强度条件梁的切应力及其强度条件梁的切应力及其强度条件梁的切应力及其强度条件一、梁的切应力一、梁的切应力即：即：切应力分析方法：切应力分析方法：对切应力分布规律作一些假设对切应力分布规律作一些假设利用分离体的平衡条件利用分离体的平衡条件水平切应力水平切应力横截面上的切应力横截面上的切应力1、矩形截面梁的切应力、矩形截面梁的切应力 （重点掌握）（重点掌握）分布分布规律假律假设：(1)横截面上各点处切应力横截面上各点处切应力的方向均与截面侧边的方向均与截面侧边(竖直边竖直边)平行平行(2)切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布(即只与即只与y的大小有关的大小有关)由弹性力学可以证实，当由弹性力学可以证实，当h大于大于b时，依据上述假设所得出的时，依据上述假设所得出的切应力公式对于长梁是足够精确的。切应力公式对于长梁是足够精确的。x同理可得同理可得yA带入并整理得到带入并整理得到(5-7)计算时计算时FS和和Sz 都以绝对值代入计算，而都以绝对值代入计算，而的指向与的指向与Fs指向一致指向一致yASz是距中性轴为是距中性轴为y的横线以下的横线以下(或是以上或是以上)部分的横截面面积对中性部分的横截面面积对中性轴的静面矩。轴的静面矩。FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的惯性矩；b为横截面的宽度；为横截面的宽度；(5-7)例例5-55-5 矩形截面悬臂梁如图所示。试求矩形截面悬臂梁如图所示。试求C截面上截面上1、2、3点的应点的应力，并用单元体示出各点的应力状态。力，并用单元体示出各点的应力状态。解：解：C截面的弯矩和剪截面的弯矩和剪力分别为力分别为1点：点：(拉应力拉应力)2点：点：(拉应力拉应力)(正负号与剪力一致正负号与剪力一致)例例5-55-5 矩形截面悬臂梁如图所示。试求矩形截面悬臂梁如图所示。试求C截面上截面上1、2、3点的应点的应力，并用单元体示出各点的应力状态。力，并用单元体示出各点的应力状态。3点：点：绘出绘出1、2、3点应力状态点应力状态（单向应力状态）（单向应力状态）（复杂应力状态）（复杂应力状态）（纯剪切应力状态）（纯剪切应力状态）2、工字形截面梁的切应力、工字形截面梁的切应力(a)腹板上的切应力腹板上的切应力（重点掌握）（重点掌握）翼缘翼缘腹板腹板腹板是狭长矩形，完全适用对矩形截腹板是狭长矩形，完全适用对矩形截面梁的切应力分布所作的两个假设。面梁的切应力分布所作的两个假设。（5-9）（5-9）式中，式中，d为腹板的厚度；为腹板的厚度；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的惯性矩；Sz是距中性轴为是距中性轴为y的横线以下（或以上）部分的横截面面积对的横线以下（或以上）部分的横截面面积对中性轴的静面矩；中性轴的静面矩；（y的二次函数）的二次函数）Sz，max是中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静面矩。是中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静面矩。型钢查表：型钢查表：(中性轴处中性轴处)(腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处)（5-10）(b)翼缘上的切应力翼缘上的切应力（5-11）（5-11）从右图可见，横截面上弯曲切应力的指从右图可见，横截面上弯曲切应力的指向，犹如源于上翼缘两端的水流，经由向，犹如源于上翼缘两端的水流，经由腹板，再分成两股流入下翼缘的两端。腹板，再分成两股流入下翼缘的两端。除非某点的切应力为零，否则绝不会在除非某点的切应力为零，否则绝不会在该点相向或相背而流。通常把切应力的该点相向或相背而流。通常把切应力的这一特点称为这一特点称为切应力流切应力流。由狭长矩形组成的组合截面的切应力由狭长矩形组成的组合截面的切应力二、切应力强度条件二、切应力强度条件等直梁：等直梁：其中，其中，是中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静面矩是中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静面矩;注：注：弯曲正应力强度条件一般起着控制作用，通常先按正弯曲正应力强度条件一般起着控制作用，通常先按正应力强度条件选择梁的截面尺寸或许用荷载，再按切应力应力强度条件选择梁的截面尺寸或许用荷载，再按切应力强度条件进行校核。强度条件进行校核。b为横截面在中性轴处的宽度或厚度为横截面在中性轴处的宽度或厚度;Iz为横截面对中性轴的惯性矩。为横截面对中性轴的惯性矩。(一般位于中性轴处一般位于中性轴处)（5-17）例例5-65-6矩形截面简支梁受力如图。材料为红松，其弯曲许用正矩形截面简支梁受力如图。材料为红松，其弯曲许用正应力应力 ，顺纹许用切应力，顺纹许用切应力 。试选择。试选择梁的截面尺寸。梁的截面尺寸。解：解：(1)绘梁的剪力图和弯矩图绘梁的剪力图和弯矩图(2)按正应力强度条件选择截面尺寸按正应力强度条件选择截面尺寸得得从而从而(3)按切应力强度条件选择截面按切应力强度条件选择截面尺寸尺寸得得又又故取故取例例5-65-6矩形截面简支梁受力如图。材料为红松，其弯曲许用正矩形截面简支梁受力如图。材料为红松，其弯曲许用正应力应力 ，顺纹许用切应力，顺纹许用切应力 。试选择。试选择梁的截面尺寸。梁的截面尺寸。例例5-7 跨度为跨度为6m的简支梁，是由的简支梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上号工字钢在其中间区段焊上两块两块100mm10mm3000mm的钢板制成。材料均为的钢板制成。材料均为Q235钢，其钢，其 ，试校核该梁的强度。，试校核该梁的强度。解：求反力，并绘解：求反力，并绘 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图正应力强度校核正应力强度校核D截面：截面：查表：查表：32a工字钢工字钢查表：查表：32a工字钢工字钢C左截面：左截面：相对误差：相对误差：切应力强度校核切应力强度校核(AC段段)故该梁是安全的故该梁是安全的例例5-8 跨度跨度l=4m的箱形截面简支梁受力如图。的箱形截面简支梁受力如图。该梁是用四梁是用四块木板木板胶合而成。弯曲胶合而成。弯曲许用正用正应力力=10MPa，顺纹许用切用切应力力t t=1.1MPa；胶合；胶合缝许用切用切应力力t t胶胶=0.35MPa。试求求该梁的梁的许用用荷荷载 q的的值。Iz1.474108mm4。解解:(1)求最大弯矩和最大剪力求最大弯矩和最大剪力（其中（其中q的单位：的单位：kN/m）(2)按正应力强度计算按正应力强度计算q的值的值(3)再按切应力强度进行校核再按切应力强度进行校核中性轴以下半个横截面面积对中性轴中性轴以下半个横截面面积对中性轴的静面矩为：的静面矩为：横截面在中性轴处宽度横截面在中性轴处宽度b24590mm底板的面积对中性轴的静面矩为：底板的面积对中性轴的静面矩为：胶合处截面的宽度胶合处截面的宽度b24590 mm，故胶合缝的切应力为：，故胶合缝的切应力为：故该梁的许用荷载集度故该梁的许用荷载集度q6.14 kN/m。练习：练习：梁由钢板焊接而成，梁由钢板焊接而成，许用正应力许用正应力 120MPa，许用切应许用切应力为力为t t60MPa，其中横截面对，其中横截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz39.7106mm4。试试校核其强度。并作校核其强度。并作C左截面切应力分布图。左截面切应力分布图。0.5m2mBAC解：解：（1）求）求支座反力并画支座反力并画内力图内力图208040140202020yzC8211814082118202020yz最大正应力发生在最大正应力发生在C截面的下边缘处截面的下边缘处(2)正应力强度校核正应力强度校核正应力满足强度要求正应力满足强度要求Iz39.7106mm40.5m2mBAC208040最大切应力发最大切应力发生在生在AC段任一段任一横截面的中性横截面的中性轴处轴处z轴以下面积对轴以下面积对z轴的静面矩为轴的静面矩为14082118202020yz(3)切应力强度校核切应力强度校核Iz39.7106mm4切应力亦满足强度要求，该梁安全。切应力亦满足强度要求，该梁安全。0.5m2mBAC208040（3）C左截面切应力分布图左截面切应力分布图14082118202020yzaca点以右部分的腹板面积对点以右部分的腹板面积对z轴的静面矩为轴的静面矩为c点以下一块腹板的面积对点以下一块腹板的面积对z轴的静面矩为轴的静面矩为5-4 5-4 梁的极限弯矩梁的极限弯矩在在5-2中，对钢梁进行强度计算时，是把梁横截面上的最大正应中，对钢梁进行强度计算时，是把梁横截面上的最大正应力达到钢材的屈服极限力达到钢材的屈服极限 s作为整个梁的危险状态的。此时在控制作为整个梁的危险状态的。此时在控制截面处的最外边缘纤维达到屈服，其余部分的材料还在线弹性范截面处的最外边缘纤维达到屈服，其余部分的材料还在线弹性范围内工作，钢梁还可以承受更大的荷载。围内工作，钢梁还可以承受更大的荷载。下面将研究当考虑材料塑性时梁的承载能力。这里仅讨论具有下面将研究当考虑材料塑性时梁的承载能力。这里仅讨论具有明显屈服阶段的塑性材料（如明显屈服阶段的塑性材料（如Q235钢），它们在拉伸和压缩时钢），它们在拉伸和压缩时的的-曲线通常简化成如下图所示。即认为屈服前材料服从胡克曲线通常简化成如下图所示。即认为屈服前材料服从胡克定律，屈服后不考虑强化，且拉伸和压缩时的弹性模量定律，屈服后不考虑强化，且拉伸和压缩时的弹性模量E E和屈服和屈服极限极限 s也分别相同。我们把具有这种也分别相同。我们把具有这种-曲线的材料称为曲线的材料称为理想弹理想弹塑性材料塑性材料。纯弯曲纯弯曲 为方便起见，设梁的横截面具有两个对称轴，外力偶作为方便起见，设梁的横截面具有两个对称轴，外力偶作用在竖直纵向对称平面内。用在竖直纵向对称平面内。屈服弯矩屈服弯矩Ms-由实验证实，当梁超过弹性范围进入塑性阶由实验证实，当梁超过弹性范围进入塑性阶段时，平面假设仍成立。这样，纵向线应变段时，平面假设仍成立。这样，纵向线应变 沿截面高度必定沿截面高度必定是线性变化的。当把是线性变化的。当把Me加大到一定程度时，最外边缘处的线加大到一定程度时，最外边缘处的线应变首先达到应变首先达到 s，此时横截面上的正应力沿截面高度也是线性，此时横截面上的正应力沿截面高度也是线性变化的，最外边缘处的正应力恰好等于变化的，最外边缘处的正应力恰好等于 s。这就是。这就是5-25-2中认中认为的整个梁已达到危险状态。这时横截面上的弯矩称为屈服弯为的整个梁已达到危险状态。这时横截面上的弯矩称为屈服弯矩，用矩，用Ms表示。表示。则则极限弯矩极限弯矩Mu-当当Me增大到某个值时，靠近中性层的纤维也增大到某个值时，靠近中性层的纤维也都发生了屈服，近似地可认为整个横截面都成了屈服区域，都发生了屈服，近似地可认为整个横截面都成了屈服区域，此时横截面上的弯矩称为极限弯矩，用此时横截面上的弯矩称为极限弯矩，用Mu表示。表示。取分离体如图，根据其平衡条件，可取分离体如图，根据其平衡条件，可以写出三个静力学条件。以写出三个静力学条件。得到得到式中，式中，At和和Ac分别代表横截面上受分别代表横截面上受拉和受压区域的面积。由该式确定拉和受压区域的面积。由该式确定的中性轴的位置恰好平分横截面的的中性轴的位置恰好平分横截面的面积。对于具有双对称轴的横截面，面积。对于具有双对称轴的横截面，中性轴与水平对称轴重合，这与梁中性轴与水平对称轴重合，这与梁在线弹性范围内工作时的中性轴位在线弹性范围内工作时的中性轴位置是相同的。置是相同的。如果横截面只有一个对称轴，例如如果横截面只有一个对称轴，例如T形截面，上述两种工作状态下的形截面，上述两种工作状态下的中性轴位置是不同的，其在线弹性中性轴位置是不同的，其在线弹性范围内和在极限状态下的中性轴分范围内和在极限状态下的中性轴分别为别为zc轴和轴和z轴轴式中，式中，St和和Sc分别代表横截面上受拉和分别代表横截面上受拉和受压区域的面积对中性轴的静面矩（均受压区域的面积对中性轴的静面矩（均取正值）。取正值）。故故故故横力弯曲横力弯曲 为简单起见，在这里不考虑切应力对产生塑性变形的为简单起见，在这里不考虑切应力对产生塑性变形的影响，不过横力弯曲时各截面的弯矩是不同的。影响，不过横力弯曲时各截面的弯矩是不同的。以简支梁在跨中受集中力以简支梁在跨中受集中力F为例。为例。当当F力增大到某个值时，跨中截面的力增大到某个值时，跨中截面的弯矩首先达到其极限值弯矩首先达到其极限值Mu。此时，。此时，跨中横截面全部成为屈服区；与此跨中横截面全部成为屈服区；与此同时，附近的横截面上也在局部范同时，附近的横截面上也在局部范围内产生了塑性变形，如图阴影部围内产生了塑性变形，如图阴影部分所示。分所示。此时，此时，F力毋需再增加而梁的两半部将绕跨中截面的中性轴相力毋需再增加而梁的两半部将绕跨中截面的中性轴相对转动，就如同绕中间铰旋转一样，因而把它称为对转动，就如同绕中间铰旋转一样，因而把它称为塑性铰塑性铰。当静。当静定梁出现一个塑性铰时就变成几何可变的，所以就把静定梁在最定梁出现一个塑性铰时就变成几何可变的，所以就把静定梁在最大弯矩截面上出现一个塑性铰作为其极限状态。大弯矩截面上出现一个塑性铰作为其极限状态。Mu由前面公式确定，本例中，由前面公式确定，本例中，Mu=Fl/4，考虑安全因数后，考虑安全因数后，即可求得许用荷载即可求得许用荷载F。这种计算方法称为。这种计算方法称为极限荷载法极限荷载法。而。而5-25-2所述的强度计算方法称为所述的强度计算方法称为许用应力法许用应力法。