线性代数课程学习必备的教材课件

线性代数专题课专题课线线性代数性代数一、重点和难点一、重点和难点一、重点和难点一、重点和难点1.行列式的性质及其计算行列式的性质及其计算2.矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化阵相似对角化3.n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组组的极大线性无关组4.齐次、非齐次线性方程组解的结构齐次、非齐次线性方程组解的结构5.用正交变换化二次型为标准型用正交变换化二次型为标准型一、重点和一、重点和难难点行列式的性点行列式的性质质及其及其计计算算二、行列式二、行列式二、行列式二、行列式1 1 1 1n n n n阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义或或其中其中 为排列为排列 的逆序数的逆序数.二、行列式二、行列式1n阶阶行列式的定行列式的定义义或其中或其中 为为排列排列 2 2 2 2n n n n阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零相同，则此行列式为零.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和.性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变2n阶阶行列式的性行列式的性质质性性质质1 行列式与它的行列式与它的转转置行列式相等置行列式相等.即即3 3 3 3 行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当3 行列式按行和列展开余子式与代数余子式行列式按行和列展开余子式与代数余子式记记作作 .划去划去4 Cramer 4 Cramer 4 Cramer 4 Cramer 法则法则法则法则在线性方程组中在线性方程组中 若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方程组为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为齐次线性方程组齐次线性方程组.如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.4 Cramer 法法则则在在线线性方程性方程组组中中 若常数若常数项项 5 5 行列式的求法行列式的求法行列式的求法行列式的求法1 1）、定义法）、定义法2 2）、展开法）、展开法5 行列式的求法行列式的求法1）、定）、定义义法法2）、展开法）、展开法3 3）、加边法）、加边法4 4）、拆分法）、拆分法3）、加）、加边边法法4）、拆分法）、拆分法5 5）、递推法）、递推法5）、）、递递推法推法6 6）、三角法）、三角法7 7）、）、LaplaceLaplace展开定理展开定理6）、三角法）、三角法7）、）、Laplace展开定理展开定理9 9）、综合法）、综合法8 8）、）、Vander mondeVander monde行列式行列式1010）、降阶法）、降阶法 （略）（略）9）、）、综综合法合法8）、）、Vander monde行列式行列式10）、降）、降阶阶1111）、定义证明）、定义证明证明证明11）、定）、定义证义证明明证证明明1212）、数学归纳法）、数学归纳法12）、数学）、数学归纳归纳法法三、矩阵三、矩阵三、矩阵三、矩阵1 1 1 1、矩、矩、矩、矩阵阵的定的定的定的定义义定义定义）排成的）排成的 行行 列的矩形数表，称为数域列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（由数域中的个数（记作：记作：中的一个中的一个矩阵矩阵.F注：注：注：注：实矩矩阵、复矩、复矩阵、行矩、行矩阵、列矩、列矩阵、阶方方阵、方方阵的行列式、两矩的行列式、两矩阵同型、两矩同型、两矩阵相等相等.2 2 2 2、几种特殊的矩、几种特殊的矩、几种特殊的矩、几种特殊的矩阵阵零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形行最简形矩阵、标准形三、矩三、矩阵阵1、矩、矩阵阵的定的定义义定定义义）排成的）排成的 行行 列的矩形数表，称列的矩形数表，称3 3 3 3、矩、矩、矩、矩阵阵的运算的运算的运算的运算1 1）、）、加法加法注意注意:只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算.若若规定规定2 2）、）、数乘数乘 若若规定规定3 3）、）、乘法乘法 若若规定规定其中其中3、矩、矩阵阵的运算的运算1）、加法注意）、加法注意:只有同型矩只有同型矩阵阵才能才能进进行加法运算行加法运算.4 4）、）、幂幂规定规定若若注：注：注：注：1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2 2、只能是正整数只能是正整数.把矩阵把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做叫做的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 .5 5）、）、转置转置设设为阶方阵，若为阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么称为称为对称矩阵对称矩阵.设设为阶方阵，若为阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么称为称为反反对称矩阵对称矩阵.4）、）、幂规幂规定若注：定若注：1、一般矩、一般矩阵阵的的幂幂无意无意义义，除了方，除了方阵阵.2、只、只行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置所构成矩阵的转置.）、伴随矩阵）、伴随矩阵记作记作)、共轭矩阵、共轭矩阵当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.6 6）、方阵的行列式）、方阵的行列式行列式行列式（各元素的位置不变）叫做（各元素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式.记作记作由阶方阵由阶方阵的元素所构成的的元素所构成的行列式行列式 的各个元素的代数余子式）、伴随矩的各个元素的代数余子式）、伴随矩阵记阵记作作)、共、共4 4 4 4、逆矩、逆矩、逆矩、逆矩阵阵的概念和性的概念和性的概念和性的概念和性质质使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作1)1)、定义、定义对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 ，则称矩阵则称矩阵 是是可逆可逆的，的，并把矩阵并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.定理定理1 1若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则定理定理2 2矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵.2)2)2)2)、性性质4、逆矩、逆矩阵阵的概念和性的概念和性质质使得的逆矩使得的逆矩阵记阵记作作1)、定、定义对义对于于 阶阶矩矩5 5 5 5、矩阵的分块、矩阵的分块、矩阵的分块、矩阵的分块及运算规则及运算规则及运算规则及运算规则对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块子块，以子块为，以子块为元素的形式上的矩阵称为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵都是方阵都是方阵.5、矩、矩阵阵的分的分块块及运算及运算规则对规则对于行数和列数于行数和列数较较高的矩高的矩阵阵，为为了了简简化运化运1 1 1 1）2 2 2 2）3 3 3 3）若若则有则有若若 ，则有，则有分分分分块对块对角矩角矩角矩角矩阵阵的性的性的性的性质质：1）2）3）若）若则则有若有若 ，则则有分有分块对块对角矩角矩阵阵的性的性质质：4 4 4 4）若若则则均为可逆方阵均为可逆方阵.5 5 5 5）若若则则4）若）若则则均均为为可逆方可逆方阵阵.5）若）若则则6 6 6 6、矩、矩、矩、矩阵阵的初等的初等的初等的初等变换变换（Elementary TransformationElementary TransformationElementary TransformationElementary Transformation）1 1）、定义）、定义 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换.（1 1）互换两行：）互换两行：（2 2）数乘某行：）数乘某行：（3 3）倍加某行：）倍加某行：同理，把同理，把 换成换成 可定义矩阵的可定义矩阵的初等列变换初等列变换.ERTERTERTERTECTECTECTECT定义定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的的初等变换初等变换ETETETET定义定义经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵就称矩阵就称矩阵，记作，记作等价关系的性质：等价关系的性质：反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性.6、矩、矩阵阵的初等的初等变换变换（Elementary Transform2 2）、初等矩阵的概念）、初等矩阵的概念相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.定义定义就称为就称为初等矩阵初等矩阵.、对调对调2）、初等矩）、初等矩阵阵的概念相的概念相应应的，三种初等的，三种初等变换对应变换对应着三种初等方着三种初等方阵阵.、数乘、数乘、数乘、数乘、倍加、倍加、倍加、倍加、数乘、倍加、数乘、倍加7 7 7 7、矩、矩、矩、矩阵阵的秩的秩的秩的秩定定定定义义（1 1）（2 2）则则 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式.记为记为 或或 .最高阶非零子式最高阶非零子式的的阶数称数称为矩矩阵的的秩秩，则称，则称 定定定定义义阶方阵阶方阵 ，为为满秩阵满秩阵.定定定定义义，则称，则称 为为行满秩阵行满秩阵；，则称，则称 为为列满秩阵列满秩阵；，则称，则称 为为降秩阵降秩阵.定定定定义义所有与所有与等价的矩阵的集合称为一个等价的矩阵的集合称为一个等价类等价类.7、矩、矩阵阵的秩定的秩定义义（1）（）（2）则则 称称为为矩矩阵阵 的最高的最高阶阶非零子非零子8 8 8 8、初等矩、初等矩、初等矩、初等矩阵阵的的的的应应用用用用1 1）、求逆）、求逆2 2）、求方程）、求方程8、初等矩、初等矩阵阵的的应应用用1）、求逆）、求逆2）、求方程）、求方程矩阵方程矩阵方程解解矩矩阵阵方程解方程解9 9 9 9、方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量定定定定义义为阶方阵，为阶方阵，为数，为数，为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对于方阵；，特征值问题只针对于方阵；有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值定定定定义义称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程9、方、方阵阵的特征的特征值值与特征向量定与特征向量定义义为为阶阶方方阵阵，为为数，数，为为维维非非定定定定义义称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式定理定理定理定理设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则的特征值与特征向量的求法的特征值与特征向量的求法(1)由特征方程由特征方程求出矩阵求出矩阵的全部特征值的全部特征值 1,2,n，其中，其中r重根重根对应的的r个数个数值相同的特征根。相同的特征根。(2)把特征把特征值代入代入(I-)X=0，求其特征向量。，求其特征向量。定定义义称以称以为变为变量的一元次多量的一元次多项项式式为为的特征多的特征多项项式定理式定理设设阶阶101010101010、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化1 1）定义定义 设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵与与相似相似称为对称为对进行进行相似变换相似变换，对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作：记作：2 2 2 2）矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化矩阵相似对角化若能寻得相似变换矩阵使若能寻得相似变换矩阵使对阶方阵对阶方阵，称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的的全部特征值全部特征值；是是的个的个线性无关的特征向量线性无关的特征向量。10、矩、矩阵阵相似相似对对角化角化1）定定义设义设、都是、都是阶阶矩矩阵阵，若有可逆，若有可逆四四、维向量空间维向量空间）、定义）、定义 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）.记作记作维向量写成一行称为维向量写成一行称为行向量行向量，记作记作维向量写成一列称为维向量写成一列称为列向量列向量，）、几种特殊向量）、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清者必须分清.）、）、矩阵与向量的关系、维向量、维向量四、四、维维向量空向量空间间）、定）、定义义个数个数组组成的有序数成的有序数组组称称为为 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组）、）、向量组）、）、向量空间设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称集合那么就称集合为为向量空间向量空间.）、）、向量的运算向量的运算采用与矩阵相同的运算规律向量的运算采用与矩阵相同的运算规律.若干个同若干个同维维数的列向量（或同数的列向量（或同维维数的行向量）所数的行向量）所组组成的集合成的集合2 2 2 2、向量的线性相关性向量的线性相关性1 1）、）、基本概念定义定义给定向量组给定向量组，对于任何一组数，对于任何一组数，称向量，称向量为向量组的为向量组的一个线性组合（Linear CombinationLinear Combination）.为组合的组合系数(Combination Coefficient).(Combination Coefficient).定义定义设向量组设向量组及向量及向量有关系有关系则则称为向量组的一个称为向量组的一个线性组合线性组合，或称，或称可由向量组可由向量组线性表示（Linear ExpressionLinear Expression）.称为称为在该在该线线性组合下的组合系数性组合下的组合系数.2、向量的、向量的线线性相关性性相关性1）、基本概念定）、基本概念定义义给给定向量定向量组组，对对于任于任定义定义设两向量组设两向量组若向量组若向量组中每一个向量皆可由向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，线性表示，则称则称向量组向量组可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.定义定义设维向量组设维向量组为零的数为零的数，使得，使得则称向量组则称向量组，如果存在不全，如果存在不全线性相关(Linear Dependent).Linear Dependent).反之，若当且仅当反之，若当且仅当，才有，才有则称向量组则称向量组线性无关(Linear Independent).Linear Independent).即存在矩阵即存在矩阵定定义义设设两向量两向量组组若向量若向量组组中每一个向量皆可由向量中每一个向量皆可由向量组组线线性表性表3 3 3 3、向量组的秩、向量组的秩、向量组的秩、向量组的秩)、极大线性无关组线性相关线性相关.若若满足：足：设是一个向量组，它的某一个部分组是一个向量组，它的某一个部分组)、向量组的秩、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩向量组的秩记作：记作：()或或线性无关；线性无关；则称为则称为的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组.3、向量、向量组组的秩的秩)、极大、极大线线性无关性无关组组)、向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系定义定义矩阵矩阵的列向量组的秩称为列秩，记为：的列向量组的秩称为列秩，记为：的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为行行秩，记为：秩，记为：定理定理结论结论，则所在行（列）向量组线性无关，则所在行（列）向量组线性无关.，则则的任的任行（列）向量组线性相关行（列）向量组线性相关.，且含有的，则且含有的，则.)、向量、向量组组的秩与矩的秩与矩阵阵的秩的关系定的秩的关系定义义矩矩阵阵的列向量的列向量组组的秩称的秩称为为定理定理有相同的有相同的线性关系线性关系.相同的相同的线性关系线性关系是指：是指：已知维列向量组已知维列向量组若对若对施行初等行变换把施行初等行变换把化为化为则则向量组向量组线性表示，且表达式的系数对应相同线性表示，且表达式的系数对应相同.线性表示，对应的线性表示，对应的极大无关组相对应极大无关组相对应.定理有相同的定理有相同的线线性关系性关系.相同的相同的线线性关系是指：已知性关系是指：已知维维列向量列向量组组若若4 4 4 4、向量空间、向量空间、向量空间、向量空间1)1)1)1)定义定义线性相关线性相关.若若满足：足：设是一个向量空间，它的某个向量是一个向量空间，它的某个向量中的任一向量均可以表示成中的任一向量均可以表示成基向量基向量的线性组合，的线性组合，记作：记作：dimdim.线性无关；线性无关；则称为则称为的一个的一个基基.称为称为的的维数维数.且表达式唯一，其组合系数且表达式唯一，其组合系数称为称为向量在该基下的坐标向量在该基下的坐标.2)2)2)2)向量空间的坐标向量空间的坐标4、向量空、向量空间间1)定定义义线线性相关性相关.若若满满设为向量空间设为向量空间的一个基，则任取的一个基，则任取 ，可可唯一地表示为唯一地表示为 =x1 1+x2 2+xr r=1,2,rx1 x2 xr.则则X=x1,x2,xrT称为称为 关于基关于基 1,2,r的的坐标向量坐标向量简称简称坐标坐标。设设为为向量空向量空间间的一个基，的一个基，则则任取任取，可可 =x3）坐坐标变换 1 2 rX =对任意向量任意向量 V，设 在两在两组基下坐基下坐标分分别为X和和Y，即，即 =1 2 rY则则=1 2 rCY=1 2 rYX=CY定理定理3.9设向量空向量空间V的一的一组基基 1,2,r到另一到另一组基基 1,2,r的的过渡矩渡矩阵为C。且。且V中一个向量在两中一个向量在两组基下的坐基下的坐标分分别为X和和Y，则X=CY坐标变换公示坐标变换公示3）坐坐标变换标变换 1 2 rX =对对任意向量任意向量5 5 5 5、欧式空间、欧式空间、欧式空间、欧式空间Rn1 1 1 1）、内积）、内积）、内积）、内积设维实向量设维实向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作2 2 2 2）、长度）、长度）、长度）、长度令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）.5、欧式空、欧式空间间Rn1）、内）、内积设积设维实维实向量称向量称实实数数为为向量向量与与的内的内3)3)3)3)、夹角夹角设 与 为维空间的两个非零向量，与 的夹角的余弦为角的余弦为因此 与 的夹角为4)4)4)4)、正交向量组、正交向量组、正交向量组、正交向量组当当，称与正交.5)5)5)5)、施密特施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化法向量空间的基向量空间的基标准正交化标准正交化.3)、夹夹角角设设与与为为维维空空间间的两个非零向量，的两个非零向量，与与的的夹夹角的余角的余设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价线性无关线性无关.满足满足的数当且仅当全为零的数当且仅当全为零.都不可由其余向量线性表示都不可由其余向量线性表示.向量组向量组的极大线性无关组是其本身的极大线性无关组是其本身.设设则矩阵则矩阵的秩为的秩为.向量方程向量方程只有零解只有零解.设设则方程则方程只有零解只有零解.不线性相关不线性相关.设为设为维维向量向量组组，下面命，下面命题题等价等价线线性无关性无关.满满足的数当且足的数当且仅仅当当设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价线性相关线性相关.满足满足的数至少有组不为零的数至少有组不为零.可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示.向量组向量组的极大线性无关组是真子集的极大线性无关组是真子集.设设矩阵矩阵的秩小于的秩小于.向量方程向量方程有非零解有非零解.设设则方程则方程有非零解有非零解.不线性无关不线性无关.设为设为维维向量向量组组，下面命，下面命题题等价等价线线性相关性相关.满满足的数至少有足的数至少有组组设设为维向量组，下面命题等价为维向量组，下面命题等价线性表示线性表示.非奇次线性方程非奇次线性方程有解有解.向量组向量组的极大线性无关组也是的极大线性无关组也是向量方程向量方程有解有解.的极大线性无关组的极大线性无关组.向量组向量组可由可由线性表示，则线性表示，则若，则若，则线性相关线性相关.线性无关，线性无关，则则.()().等价向量组必有同秩（反之则不然）等价向量组必有同秩（反之则不然）存在矩阵存在矩阵设为设为维维向量向量组组，下面命，下面命题题等价等价线线性表示性表示.非奇次非奇次线线性方程性方程定理定理 如果向量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一线性表示唯一线性表示.线性无关，而向量组线性无关，而向量组定理定理 设向量组设向量组若若线性相关线性相关,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关.定理定理 设向量组设向量组若若线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关；反之，若也线性无关；反之，若向量组向量组线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关.其中其中定理如果向量定理如果向量组线组线性相关，性相关，则则可由唯一可由唯一线线性表示性表示.线线性无关，而性无关，而设元线性方程组的系数矩阵为设元线性方程组的系数矩阵为，增广，增广）线性方程组）线性方程组 有唯一解有唯一解矩阵矩阵为为，则，则）线性方程组）线性方程组 有无穷解有无穷解）线性方程组）线性方程组 无解无解五、线性方程组五、线性方程组五、线性方程组五、线性方程组1 1 1 1、线性方程组的解、线性方程组的解、线性方程组的解、线性方程组的解设设元元线线性方程性方程组组的系数矩的系数矩阵为阵为，增广），增广）线线性方程性方程组组 定义定义4.2 对线性方程组施行的下列三种变换对线性方程组施行的下列三种变换(1)交换两个方程的位置交换两个方程的位置(2)用一个非零数乘某一个方程用一个非零数乘某一个方程(3)把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。称为线性方程组的初等变换。称为线性方程组的初等变换。用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型的线性方程组的过程称为的线性方程组的过程称为Gauss消元法消元法。A|bC|d(行阶梯型或行标准型行阶梯型或行标准型)行初等变换行初等变换2 2 2 2、GaussGauss消元法消元法消元法消元法定定义义4.2 对线对线性方程性方程组组施行的下列三种施行的下列三种变换变换(1)交交换换两两3 3、齐次线性方程组的解、齐次线性方程组的解、齐次线性方程组的解、齐次线性方程组的解1 1）、基础解系）、基础解系基础解系，基础解系，则方程组的则方程组的通解通解可表示为：可表示为：方程组的解空间中，方程组的解空间中，它的某一个部分组它的某一个部分组线性相关线性相关.线性无关；线性无关；则称为齐次线性则称为齐次线性方程组方程组的一组的一组基础解系基础解系.满足：满足：如果为齐次线性如果为齐次线性方程组方程组的的其中为任意实数其中为任意实数.3、齐齐次次线线性方程性方程组组的解的解1）、基）、基础础解系基解系基础础解系，解系，则则方程方程组组2 2）、基础解系的求法）、基础解系的求法、对系数矩阵、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形进行初等变换，将其化为最简形、得出，同时也可知方程组的一个基础解、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量系含有个线性无关的解向量2）、基）、基础础解系的求法、解系的求法、对对系数矩系数矩阵阵进进行初等行初等变换变换，将其化，将其化为为最最故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.就为方程组的就为方程组的通解通解.故故为齐为齐次次线线性方程性方程组组的一个基的一个基础础解系解系.就就为为方程方程组组的通解的通解.其中为其导出组的通解，其中为其导出组的通解，4 4 4 4、非齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为非齐次线性方程组的通解为为非齐次线性方程组的任意一个特解为非齐次线性方程组的任意一个特解.线性方程组线性方程组 有解，则以下命题等价：有解，则以下命题等价：向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示.向量组向量组等价等价.与向量组与向量组其中其中为为其其导导出出组组的通解，的通解，4、非、非齐齐次次线线性方性方六、元二次型六、元二次型六、元二次型六、元二次型1 1 1 1、二次型定、二次型定、二次型定、二次型定义义的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型或记为或记为六、元二次型六、元二次型1、二次型定、二次型定义义的二次的二次齐齐次多次多项项式含有个式含有个变变量量称称、二次型的矩、二次型的矩、二次型的矩、二次型的矩阵阵表示表示表示表示2n 则则二次型二次型其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵.对称对称矩阵矩阵向量向量 X、二次型的矩、二次型的矩阵阵表示表示2n 则则二次型其中矩二次型其中矩阵阵为为定定定定义义1 1 1 1 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形或法式标准形或法式定定定定义义2 2 2 2 特别地，称特别地，称 为二次型的为二次型的规范形规范形3 3、二次型的标准形、二次型的标准形、二次型的标准形、二次型的标准形a11a22ann.11.-1-100.定定义义1只含有平方只含有平方项项的二次型称的二次型称为为二次型的二次型的标标准形或法式定准形或法式定义义2 4 4、矩阵的合同、矩阵的合同、矩阵的合同、矩阵的合同1 1）定）定）定）定义义设设,为为阶方阵，若存在阶可逆阵阶方阵，若存在阶可逆阵，使得，使得则称则称合同于合同于,记为记为反身性反身性对称性对称性传递性传递性2 2）性性性性质质合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价等价A B5、化二次型为标准形的方法有、化二次型为标准形的方法有拉格朗日配方法拉格朗日配方法行列对称初等变换行列对称初等变换正交变换法正交变换法4、矩、矩阵阵的合同的合同1）定）定义设义设,为为阶阶方方阵阵，若存在，若存在阶阶可逆可逆阵阵EP1P2PmAEDPPmTP2TP1TAP1P2Pm PmTP2TP1TAP1P2PmD EP1P2Pm=PP1TAP表示对表示对A作一次列初等变换的同时还必须对作一次列初等变换的同时还必须对A作一作一次同类型行初等变换，即对次同类型行初等变换，即对A作作行列对称初等变换行列对称初等变换。6 6、行列对称初等变换、行列对称初等变换、行列对称初等变换、行列对称初等变换设对称矩阵设对称矩阵A可由可逆矩阵可由可逆矩阵P合同于对角矩阵，即合同于对角矩阵，即EP1P2PmAEDPPmTP2TP1TAP1P2Pm7 7 7 7、用正交、用正交、用正交、用正交变换变换化二次型化二次型化二次型化二次型为标为标准形的具体步准形的具体步准形的具体步准形的具体步骤骤7、用正交、用正交变换变换化二次型化二次型为标为标准形的具体步准形的具体步骤骤线线性代数性代数课课程学程学习习必必备备的教材的教材课课件件60