自动控制采样系统课件

第八章第八章 采样系统理论采样系统理论 8.1 8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念8.2 8.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 8.3 8.3 Z Z变换与变换与Z Z反变换反变换 8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.5 8.5 稳定性与稳态误差稳定性与稳态误差8.6 8.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 End End 本章作业本章作业.A/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t)u*(t)uh(t)c(t)_计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图2.离散系统：离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：1.离散信号：离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。号以脉冲或数码的形式呈现。8.1 8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念系统分为连续系统、采样系统和数字系统。另外还有离散事件系统。采样系统、断续系统、离散控制系统基本等价，从实现手段上又称计算机控制系统，在取值上数字化，又称数字系统。.A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。散的数字信号。包括采样与量化两过程。D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。续的模拟信号。包括解码与复现两过程。(a)连连续续信信号号t(b)离散信离散信号号t(c)离散量化信号离散量化信号t.v离散控制系统的特点离散控制系统的特点1.校校正正装装置置效效果果比比连连续续式式校校正正装装置置好好，且且由由软软件件实实现的控制规律易于改变，控制灵活。现的控制规律易于改变，控制灵活。2.采采样样信信号号，特特别别是是数数字字信信号号的的传传递递能能有有效效地地抑抑制制噪声，从而提高系统抗干扰能力。噪声，从而提高系统抗干扰能力。3.可可用用一一台台计计算算机机分分时时控控制制若若干干个个系系统统，提提高高设设备备利用率。利用率。4.可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。响应参数。.e*(t)=e(t)T(t),其中其中为理想单位脉冲序列。则：为理想单位脉冲序列。则：8.2 8.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换,得得例例8.18.1e(t)=eat,试写出试写出e*(t)表达式。表达式。在图中，T(t)为载波信号；e(t)为调制信号；e*(t)为理想输出脉冲序列。8.2.1采样过程与采样定理采样过程与采样定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S采样过程采样过程采样过程采样过程 数学描述：数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。8.18.38.48.58.68.2.2.-设计控制系统必须严格遵守的一条准则。1.问题的提出问题的提出 连续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含的信息。采样定理采样定理怎样才能使采样信号e*(t)大体上反映e(t)的变化规律呢？.(a)连连 续续 信信号号t(b)离散信离散信号号t 2.定性分析定性分析 如果连续信号e(t)变化缓慢（最大角频率max较低，而采样角频率s比较高（即采样周期T=2/s较小，则e*(t)基本上能反映e(t)的变化规律。3.采样定理采样定理（香农定理）（香农定理）如果采样器的输入信号最高角频率为如果采样器的输入信号最高角频率为max，则只有当采样频率，则只有当采样频率s2max,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。.8.2.2信号复现及零阶保持器信号复现及零阶保持器信号复现信号复现将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。复现。该装置称为保持器或复现滤波器。eh(t)e*(t)e*(t)t零阶保持器零阶保持器eh(t)t零零阶阶保保持持器器的的数数学学表表达达式式为为e(nT+t)=e(nT)；其其脉脉冲冲响响应应为为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为，传递函数为零阶保持器零阶保持器零零阶阶保保持持器器是是最最简简单单也也是是工工程程中中使使用用最最广广泛泛的的保保持持器器。零零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。阶保持器的输入输出特性可用下图描述。8.2.1.频率特性：可以看出，零阶保持器对部分高频信号不能衰减，同时存在不同滞后。.一阶保持器和三角形保持器一阶保持器：示意图和频率特性图三角形保持器：实际上是不能实现的，一般只有采用滞后一步的三角形保持器：所以一般采用最简单的零阶保持器。.零阶保持器的工程实现所以采用RC电路即可以实现零阶保持.8.3 Z8.3 Z变换与变换与Z Z反变换反变换8.3.1Z变换性质变换性质1.Z1.Z变换的定义变换的定义令令z=eTs,则则=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+即为Z变换的定义式。称称E(z)为为e*(t)的的Z变换变换,记作记作Ze*(t)=E(z),或或Ze(t)=E(z)注意的问题注意的问题:(1)Z变换只在采样点定义变换只在采样点定义.z=eTs 或s=1/T.lnz不是等价关系.(2)Z带有明显的时间信息带有明显的时间信息,z-1称为一步延迟因子称为一步延迟因子,S不具有这个性不具有这个性质质.如如:y(z)=z-1x(z),则则:y(n)=x(n-1)(3)收敛特性收敛特性,通常通常|z|1,所以级数是收敛的所以级数是收敛的.8.18.48.58.68.28.3.2.2.Z2.Z变换方法变换方法 (1)1)级数求和法级数求和法 将Z变换的定义式展开：E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+e(nT)z-n+(2)(2)部分分式法部分分式法 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)；将E(s)展开成部分分式之和的形式；求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。.对比(2)中结果，有(4)单位斜坡信号单位斜坡信号 e(t)=t，则则3.3.典型信号的典型信号的Z Z变换变换 两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换两端对z求导数，得（3）单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列 e(t)=T(t)（1）单位脉冲函数单位脉冲函数 e(t)=(t)（2）单位阶跃函数单位阶跃函数 e(t)=1(t).(5)(5)指数函数指数函数 e(t)=e-at(a为实常数，则为实常数，则这是一个公比为这是一个公比为(e-aT z-1)的的等比级数，当等比级数，当|e-aT z-1|1时，级数时，级数收敛收敛,则则可写成闭合形式可写成闭合形式所以利用(*)、(*)式，有(6)(6)正弦信号正弦信号 e(t)=sin t,因为.进行部分分式展开，有进行部分分式展开，有再取拉氏反变换再取拉氏反变换参照参照(2)和和(5),得得.4.Z4.Z变换的性质变换的性质 （1）线性线性定理定理若若E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数，则为常数，则 Ze1(t)+e2(t)=E1(z)+E2(z)，Zae(t)=aE(z)例例8.28.2 已知已知e(t)=1()=1(t-T),),求求Z变换变换E(z)。(3)复数位移复数位移定理定理 已知已知e(t)的的z变换为变换为E(z)，则有，则有根据复数位移定理，有 例8.3 已知e(t)=t e-at,求Z变换E(z)。Ze(t)=E(z eat)（2）实数位移实数位移定理定理若若E(z)=Ze(t)，则则Ze(t-kT)=z-kE(z),Ze(t+kT)=解：解：解：已知单位斜坡信号的z变换为8.3.28.3.1.(4)z域微分域微分定理定理若若 e(t)的的z变换为变换为E(z)，则，则若若 e(t)的的z变换为变换为E(z)，则，则zan e(t)=E(z/a),a为常数为常数 例8.4 试求ncost的Z变换。(5)z z域尺度域尺度定理定理解：由变换表.(6)初值初值定理定理 若若e(t)的的z变换为变换为E(z)，函数序列，函数序列e(nT)为有限值为有限值(n=0,1,2,)，且极限且极限存在，则存在，则设设x(nT)和和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)y(nT)=，则卷积定理为：，则卷积定理为：Zx(nT)y(nT)=X(z)Y(z)若若e(t)的的z变换为变换为E(z)，并有极限，并有极限存在，则存在，则(7)终值终值定理定理（8）卷积卷积定理定理.8.3.2Z反变换反变换从从Z域函数域函数E(z)求时域函数求时域函数e*(t)，叫做，叫做Z反变换。反变换。记作记作Z-1E(z)=e*(t)。例8.5 已知z变换函数 ，试求其z反变换。解：首先将E(z)/z展开成部分分式所以所以e(nT)=(-1+2n)10e*(t)=e(0)(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+=0+100+10(t-T)+)+3030(t-2T)+)+7070(t-3-3T)+)+1 1.部分分式展开法部分分式展开法 部分分式展开法是将E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的e*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以应将E(z)/z展开成部分分式。性质性质8.3.1.例8.6 已知z变换函数 解：因为所以 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+=0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+2 2.幂级数法（综合除法幂级数法（综合除法)查表得e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT由Z变换的定义而则c0,c1,c2,就是脉冲序列e*(t)各采样点的值e(nT),所以试求其z反变换。.例8.7 已知z变换函数试求其z反变换。解：.3.3.反演积分法反演积分法(留数法留数法)其中围线C为包围X(Z)所有极点的闭合围线 在复变理论中，积分值的计算是借助于留数定理来获得的。由于围线C包围了X(z)的所有极点，所以利用留数定理可以得到：其中，z=zk为第k个极点值，Res*为X(z)关于极点z=zk的留数。.例8.8 已知z变换函数试求其z反变换。解：X(z)有两个极点z1=2,z2=2,由围线积分公式得：.8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.4.1线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法式中：式中：k第第k个采样周期；个采样周期；n系统的阶次。系统的阶次。一般一般n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用可用n阶常系数差分方程描述。阶常系数差分方程描述。8.18.38.58.68.2 对于n阶连续时间系统，输出和输入之间的关系，可用n阶常系数微分方程描述。.J差分方程求解：差分方程求解：1 1.迭代法迭代法 根据给定差分方程和输出序列的初值，则利用递推关系，一步步算出输出序列，因此，主要由计算机完成迭代法的求解。2.Z2.Z变换法变换法 用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取Z反变换即求得输出序列。例8.8 已知差分方程和初始条件为：试用z变换法求差分方程的解yk。解：方程两边作z变换得：得到输出量：方程两边作反z变换得：.8.4.2脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数的定义和意义脉冲传递函数的定义和意义零初始条件下，系统输出零初始条件下，系统输出C(t)的的z变换变换C(z)与输入与输入r(t)的的z变换变换R(z)之比，称为之比，称为脉冲传递函数脉冲传递函数，即，即G(z)=C(z)/R(z)。若输入若输入r(t)=(t),则则C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1G(z)。即即连续系统的脉冲响应采样后的连续系统的脉冲响应采样后的Z变换即为变换即为脉冲传递函数脉冲传递函数。.对于连续系统G(S),.2、脉冲传递函数的求取由以上思路：其他还有诸如双线性变换法等.开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数1.串联环节串联环节3 各种情况下系统的离散化.2.有零阶保持器的情况有零阶保持器的情况3.连续信号进入连续环节连续信号进入连续环节一般不能写出G（Z）.-闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数.8.5 8.5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差8.5.1稳定性判据稳定性判据一、一、S S域到域到Z Z域的映射域的映射1.S域的虚轴映射成域的虚轴映射成Z域的圆周；左半域的圆周；左半S平面映射在圆周内，平面映射在圆周内，右半右半S平面映射在圆周外。其中平面映射在圆周外。其中S域的多点对应于域的多点对应于Z域的一点域的一点（实部相同，虚部呈周期性）（实部相同，虚部呈周期性）.设系统的结构图如下图所示，采样周期设系统的结构图如下图所示，采样周期T=1s。设。设K=10,试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。例例8.7解：解：由图得由图得由此由此得系统得系统特征方程为特征方程为z2+2.31z+3=0求解得一对共轭复根求解得一对共轭复根 1=-1.156j1.29 2=-1.156-j1.29分布在单位圆外，因此系统是不稳定的分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。C(s)R(s)二、离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件Z域中：特征方程域中：特征方程1+HG(Z)=0的模的模Zi1(牢固掌握牢固掌握).三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据1.双线性变换与劳氏判据，用于解决双线性变换与劳氏判据，用于解决S对对Z的一对多问题的一对多问题双线性变换双线性变换劳斯判据：同前连续系统劳斯判据：同前连续系统.求得系统特征方程为求得系统特征方程为z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K)=0例：例：由系统开环脉冲传递函数由系统开环脉冲传递函数得到系统的临界放大系数为得到系统的临界放大系数为:Kc=2.4列劳氏表计算列劳氏表计算w22.736-0.104K0.632Kw11.264-0.528K0w00.632K为使系统稳定，须有为使系统稳定，须有进行进行w变换得变换得(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0.1.终值定理法终值定理法8.5.2稳态误差的计算稳态误差的计算2.误差系数法误差系数法(1)单位阶跃输入时单位阶跃输入时r(t)=1(t)(2)单位斜坡输入时单位斜坡输入时r(t)=t(3)单位加速度输入时单位加速度输入时r(t)=t2/28.5.1例例.设系统的结构图如下图所示，设系统的结构图如下图所示，K=1,=1,T=0.1=0.1s,r(t)=1()=1(t)+)+t,求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。例例8.8系统的稳态误差为系统的稳态误差为 解：解：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为把把T=0.1代入化简得代入化简得C(s)R(s).一般假定外作用为单位阶跃函数一般假定外作用为单位阶跃函数r(t)=1(t)，此时，此时R(z)=z/(z-1)，则系统输出量的则系统输出量的Z变换函数为变换函数为8.6 8.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析一、时间响应一、时间响应然后用长除法，将然后用长除法，将C(z)展成无穷幂级数：展成无穷幂级数：C(z)=C0+C1z-1+C2z-2+Cnz-n在在C*(t)t坐标中描出点坐标中描出点(kT,Ck),k=0,1,2,n，则得阶跃，则得阶跃响应脉冲序列。响应脉冲序列。则得单位阶跃作用下的输出序列为则得单位阶跃作用下的输出序列为C(kT)=Ck,k=0,1,2,n将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。8.18.38.48.58.2.闭环复极点与动态响应的关系闭环复极点与动态响应的关系二、闭环极点与动态响应的关系二、闭环极点与动态响应的关系.闭环实极点与动态响应的关系闭环实极点与动态响应的关系.本本 章章 作作 业业(P436)8-1(1)8-2(3,6)8-48-9(1)8-10.数字PIDfor(;)Sens=out;Err=set-sens;Derr=(err-posterr)/T;Posterr=err;Sumerr=Sumerr+errCtr=k(err+Td*Derr+T*Sumerr/Ti);Out=U(out(n-1),out(n-2),ctr(n);Out(n-2)=out(n-1);Out(n-1)=out(n).