自动化第二章(新)课件

第二章控制系统的数学模型第一节控制系统的微分方程第二节非线性数学模型的线性化第三节拉氏变换与反变换第四节传递函数第五节传递函数的方块图为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。时域模型：微分方程复域(s域)模型：传递函数第二章 控制系统的数学模型建立数学模型的方法：解析法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。(内部工作机制确定)实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。系统辨识。系统辨识。内部工作机制不了解系统模型输入输出误差合理的数学模型是指所建立的数学模型既有准确性，又有简化性。一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的动态本质又能简化分析计算的工作。除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般应尽可能采用线性定常数数学模型描述控制系统。第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程加以描述。系统系统r(t)r(t)c(t)c(t)线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式l不出现变量高次项和交叉项l定常系统：系数是常量一、建立数学模型的一般步骤1.根据基本的物理、化学定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程。2.确定系统的输入与输出量，消去其余的中间量，写成标准化形式，从而求得系统输出与输入的微分方程。二、控制系统微分方程的列写例1质量阻尼弹簧系统弹簧力阻尼力输出量位移y(t)图21质量阻尼弹簧系统输入量外力f(t)根据牛顿第二定律整理得为二阶常系数线性微分方程例2RLC电路图22RLC电路输入电压输出电压消去中间变量i可得为二阶常系数线性微分方程根据基尔霍夫定律例3齿轮传动链图23齿轮传动链输入量轴I的输入转矩输出量轴I的角位移轴I、II轴I、II上总转动惯量轴I轴I、II上粘性阻尼系数轴I、II的角位移齿轮I、II齿数齿轮II对I的阻力转矩齿轮I对II的阻力转矩齿轮的传动比各轴转矩平衡方程得得整理得写成折算到轴I上的总的转动惯量折算到轴I上的总的粘性阻尼系数其中若输出量为则方程变为例4电枢控制式直流电动机图24电枢控制式直流电动机原理图输入量电枢电压输出量电动机角速度激磁电流为恒值电动机产生的转矩电枢电流电枢回路总电感电枢回路总电阻电动机轴上的等效转动惯量电动机轴上的等效粘性阻尼系数负载转矩电枢绕阻的反电势电动机反电势系数电动机的转矩系数绕阻等效电阻电动机产生的转矩反电势安培定律楞次定律电枢回路电压平衡方程克希霍夫定律电机轴上的转矩平衡方程牛顿定律主动力矩：电动机产生的转矩粘性摩擦力矩负载转矩整理得消去中间变量令得：当时负载转矩电枢电压一般电枢电感较小，可以忽略不计，总输出为角位移，上式变成比较以上四例可以看出，物理本质不同的系统，可以有相似的数学模型。以上几例得到的方程均为线性常系数微分方程，它们的一个重要性质是具有齐次性和叠加性。事实上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的，所有的元件和系统在不同程度上都存在着非线性性质。非线性系统一般不能应用叠加原理，数学上处理也比较困难。为了便于研究，对一些可以进行线性化处理的系统转化成线性系统进行分析和研究。2小偏差法假设系统在平衡点附近工作一元函数为输出量为输入量第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化常用的线性化方法有以下两种：1忽略弱的非线性因素如果元件的非线性因素弱，或不在系统线性工作范围内，非线性因素可忽略。例如例如:例1和例3忽略了干摩擦、齿轮传动中的间隙；例4忽略了电枢反应、涡流和磁滞的影响图25某系统的非线性特性如果函数在平衡点A（x,y）处连续可微，则可在A点附近展开成泰勒级数由于很小，略去上式中二阶以上高阶项，得即增量形式的线性化方程是在点（x,y）的导数表示当x由点移到其附近x点时切线的增量由此可见，线性化方程是以切线的增量近似代替曲线的增量。因此，小偏差线性化的方法，从几何意义上来说，就是在工作点附近的一个小范围内，用切线来代替曲线。如果把坐标原点取在平衡点A处，系统的初始条件就等于零,即这时线性方程变成但应该理解到，线性化的微分方程是从平衡点算起的增量方程。二元函数在系统工作点附近，也可将其展开成泰勒级数，即其中，略去高次项得二元函数的线性化方程为在工作点处对的偏导数为在工作点处对的偏导数例5通过滑阀节流口的流量公式设滑阀的工作点为可得流量流量系数系数滑阀面滑阀面积梯度积梯度阀芯阀芯位移位移油液油液密度密度节流节流口压口压力降力降线性化方程注意下列几点：1）必须明确系统平衡工作点对不同的工作点，线性化的结果不同因不同工作点的切线斜率不同2）线性化是在系统平衡点附近小范围内进行3）对于某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦特性等，当它们对系统影响很小时，可忽略不计微分方程解微分方程f(t)代数方程F(s)解代数方程L求解微分方程求解微分方程第三节第三节 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换复数的相关概念复数的相关概念1）复数）复数2）复函数）复函数例例模、相角模、相角共轭复数共轭复数模相角一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义以时间t为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是当时，f(t)=0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为式中，s为复变数（、均为实数）F(s)是函数f(t)的拉氏变换，是一个复变函数，通常也称F(s)为f(t)的象函数f(t)为F(s)的原函数拉氏反变换为二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1（t）2.指数函数3.正弦函数和余弦函数欧拉公式3.正弦函数和余弦函数4.单位脉冲函数且5.单位速度函数6.单位加速度函数7.t的幂函数简单常用函数的拉氏变换和反变换可查表21。三、拉氏变换的主要定理三、拉氏变换的主要定理1.叠加性质（线性性质）(1)齐次性设则（a常数）(2)叠加性设则式中a和b为常数2.微分定理设则当初始条件为零时，则有式中，是原函数各阶导数在t=0时刻的值。3.积分定理设则式中，是积分在t=0时刻的值。当初始条件为零时，对于多重积分是当初始条件为零时，则有4.延迟定理设，且t0时，则函数为原函数沿时间轴的轴向平移。如图2-6所示图26平移函数5.位移定理设则位移定理在工程上很有用处，它可以简化一些复杂的拉氏变换运算。例如6.初值定理它表明原函数在时的数值，即既原函数的初值等于s 乘以象函数的终值。7.终值定理它表明原函数在时的数值。设且存在，则既原函数的终值等于s 乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。8.相似定理设，则有式中，a为常数四、应用拉氏变换解线性微分方程四、应用拉氏变换解线性微分方程图27拉氏变换求解微分方程示意图根据定义计算拉氏反变换，要进行复变函数积分，一般很难直接计算，通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数1部分分式法在控制理论中，常遇到的象函数是s的有理分式，即为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有式中是的根的负值，称为的极点。按照这些根的性质，可以分为以下几种情况来研究。（1）的极点为各不相同的实数时式中是待定系数再根据拉氏反变换的叠加定理，求原函数例6求的原函数。解将写成部分分式形式，则有所以（2）含有共轭复数极点时如果有一对共轭复数极点、，其余极点均为各不相同的实数极点。将展开成式中A1和A2通过用令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联列求解，即得A1、A2两个常数。而求得乘以上式的两边例7求的原函数。解将的分母因式分解,得则利用方程两边实部、虚部分别相等得：解之得查表2-1中第17序号式，得则所以（3）中含有重极点时，设有r个重根将上式展开成部分分式式中的求法与单实数极点情况下相同的求法如下：因为则解将展开成部分分式上式中各项系数为例8求的原函数。所以则2用拉氏变换求解线性微分方程1）代入初始条件，对微分方程中的每一项进行拉氏变换，经过整理，得到输出变量的拉氏变换表达式。2）用部分分式法求拉氏反变换，得到微分方程的时域解。例2-10设某控制系统的微分方程为若求零初始条件时稳态分量终值定理第四节第四节 传递函数传递函数 在初始条件一定时，拉氏变换与微分方程有对应的关系。既然微分方程可以表示系统或元件的运动特性，拉氏变换也可以表示。引入系统在复数域的数学模型传递函数。一、定义一、定义传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统微分方程的一般形式为式中c(t)为系统的输出量；r(t)为系统的输入量；以及为系统的结构参数所决定的实常数。设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，可得系统的传递函数的一般形式令s=0，则有系统的放大系数也称系统的增益二、特征方程、零点和极点二、特征方程、零点和极点令系统传递函数的分母等于零，即有系统的特征方程，其根为系统特征根特征方程决定着系统的动态过程。根据多项式定理，系统传递函数的一般形式可以写成式中，B（s）=0的根，称为传递函数的零点；A（s）=0的根，称为传递函数的极点。显然，系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统诸参数和，即取决于系统的结构参数。一般地说，零点和极点可为实数或复数，也可为零。若为复数，必共轭成对出现。把传递函数的零、极点表示在复平面上，称为传递函数的零、极点分布图。图中零点用“o”,极点用“x”表示。零、极点分布图三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明1)传递函数的概念只适用于线性定常系统。2)传递函数中各项系数值完全决定于系统的结构参数，表达了系统的固有特性，与外加信号的大小和形式无关。3)由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统（或元件）的运动情况。4)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，而不能反映系统内部的特性。5)传递函数一般分为复变量S的有理形式，分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即。这是因为系统中总包含着惯性元件以及受到能源功率的限制之故。四典型环节及其传递函数四典型环节及其传递函数组成控制系统的元件千差万别，它们具有不同的结构类型、工作原理和功用,但描述它们动态特性的数学模型有时却具有相同的性质。典型环节具有相同数学模型的部分许许多多的元件，经过典型环节归并后，只有为数不多的几种一个元件可以是几个典型环节，也可能是几个元件是一个典型环节。表表22 典型环节表典型环节表序号环节名称数学表达式12345678比例环节积分环节微分环节惯性环节振荡环节一阶微分环节二阶微分环节延迟环节1放大（比例）环节微分方程K放大系数或增益传递函数例：各类放大器测速发电机输入角速度输出电压u2积分环节微分方程传递函数例：液压缸图28积分环节例输入流量q(t)输出活塞位移y(t)忽略压缩、泄漏A活塞有效作用面积3.微分环节微分方程传递函数例：离心测速机图29微分环节例输出飞锤的位置y(t)，输入角位移(t)测速发电机输出电压u(t)输入若为发电机转角(t)4.惯性环节微分方程传递函数T时间常数例：RC无源网络输入输出得T=RC电路的时间常数惯性环节若则单位阶跃响应不是瞬时达到稳态响应具有惯性，惯性环节由此得名由于响应是非周期增长的，故也称非周期环节5.一阶微分环节微分方程传递函数T时间常数例：RC无源网络输入输出其中6.振荡环节微分方程传递函数T时间常数阻尼比另一种标准形式无阻尼固有频率例如例21质量阻尼弹簧系统微分方程传递函数式中强迫振动无阻尼自由振动自由振动无阻尼固有频率又比如例22无源RLC网络微分方程传递函数式中等幅的周期振荡由初始条件决定的常数7.二阶微分环节微分方程传递函数T时间常数阻尼比实际中，很难见到二阶微分环节，它是一种数学抽象。8.延迟环节微分方程纯延迟时间传递函数应用拉氏变换的延迟定理例延迟环节常见于液压、气动系统中，施加输入后，往往由于管道长度而延迟了信号传递的时间。典型环节与元部件之间并不存在一一对应的关系。一个控制元件的传递函数，可能是几个典型环节的组和一个典型环节，也可能代表几个实际元部件的组合例：放大环节可以是几级放大器串联的总增益另外，同一元件在不同的系统中的作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。第五节第五节 传递函数的方块图及运算传递函数的方块图及运算方块图又称动态结构图。采用方块图，更便于求传递函数，直观形象，且表达了各信号之间的联系，有助于了解元件参数对系统动态性能的影响。一一、方块图符号方块图符号1.方块图单元2.加点法（又称比较点）3.引出点同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。任何控制系统都可以由上述符号组成的方块图来表示。二、系统方块图的绘制二、系统方块图的绘制根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个子方程都用基本符号表示，并将各个图形正确地连接起来，即为方块图。例211试绘制例24所述电枢控制直流电动机的方块图。解由例24，列出该直流电动机的微分方程对上述各式在零初始条件下进行拉氏变换可得根据以上各式可得到如图216a、b、c、d所示的单元方块图，由单元方块图可得到该直流电动机的方块图如图216e所示。216e)例212试绘制图217所示无源网络的方块图解先列写出该网络的微分方程对上述各式在零初始条件下分别进行拉氏变换作适当变换，消去中间变量可得图2-18网络方块图根据这两个关系式可画出它的方块图单元如图218a、b所示。然后再根据信号流向将各传递方块图连接起来，便可得到网络的方块图218c。值得指出的是，一个系统或者一个元件、一个网络，其方块图不是唯一的，可以绘出不同的形式，但经过变换后求出的总传递函数应该是完全相同的。图2-19例2-12网络方框图的另一形式例212所示网络的方块图还可用图219表示。由（2）、（4）由（3）代入（1）得：方块图的另一种画法三三、方块图的等效变换方块图的等效变换等效对方块图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出之间总的数学关系应保持不变。系统环节之间一般有三种基本连接方式，即串联、并联和反馈连接。1.串联连接特点：前一个环节的输出量是后一个环节的输入量。图2-20环节的串联连接得等效传递函数由此得n相串联环节数2.并联连接特点：所有环节的输入量是共同的，连接后的输出量为各环节输出量的代数和。图2-21环节的并联连接于是得由此得n并联环节的个数3.反馈连接图2-22环节的反馈连接消去E(s)、B(s)得上式中分母上的加号对应于负反馈；上式中分母上的减号对应于正反馈。单位反馈系统，H(s)=1，此时用上述三种基本法则，可求出系统的传递函数。得闭环传递函数例2-12如图2-18同样，利用等效变换法则，可求得图2-19方块图的传递函数图2-19例2-12网络方框图的另一形式可以看出，虽然图218和图219的方块图形式不同，但求出的传递函数是相同的。由于实际系统一般较为复杂,在系统的方块图中常出现传输信号的相互交叉，这样，就不能直接应用上述三种等效法则对系统化简。通常需要移动比较点或引出点，以消除信号的相互交叉。在对比较点或引出点作移动时，同样需要遵守等效法则。表23列出了方块图的等效变换的基本法则。表中没有给出比较点和引出点交换的法则，因为它们的交换往往会使方块图变得复杂，所以在一般的情况下，两者不宜交换位置。表2-3方块图的等效变换法则例213用简化方块图的方法,求图223a所示系统的传递函数。解本题的解法之一是把图中的比较点b向前移到比较点a之前,如图223b所示。然后从内环到外环逐步化简，最后求得该系统的传递函数为图2-23方框图的化简上式可写成如下通式式中，n为反馈回路数；P为前向通道传递函数，即从输入到输出的通道上各传递函数之积;为第条反馈回路的传递函数，注意，负反馈时为负值。但是，应该指出，该公式只适用于有一条前向通道，且所有反馈回路都相互接触时的场合。例2-14用化简方块图的方法，求图224a所示系统的传递函数。图2-24方框图的化简解对于本题，将加法点a跨越方块左移，将引出点b跨越方块右移，并在反馈通道中串联方块后，就可根据串联和反馈运算法则，很容易地逐步化简到图2-24d所示，故得该系统的总的传递函数为由此可见，该系统不能用上面通式直接求出它的总的传递函数，其原因在于这个系统中有两个互相不接触的回和，路对于这种系统的传递函数可以利用梅逊公式直接求解。四、梅逊公式四、梅逊公式对于连接关系比较复杂的系统方块图，利用梅逊公式可由方块图直接求取系统的传递函数。梅逊公式式中，为系统的传递函数；为特征式；为反馈回路传递函数（负反馈时为负值）；为两个反馈回路相互不接触时，该两反馈回路的传递函数之积；为三个反馈回路相互不接触时，该三反馈回路的传递函数之积；为第k条前向通道传递函数；为从中去掉与第k条前向通道相接触的相关项后的余项。例2-15利用梅逊公式，求图2-25所示系统的传递函数。图2-25用梅逊公式求系统的传递函数解本系统有两条前向通道，即该系统有五个反馈回路，其传递函数分别为：上述这五个反馈回路均相互接触，所以没有互不接触的反馈回路，即又因为所有五个反馈回路均与两条前向通道接触，所以系统的传递函数为例2-16利用梅逊公式计算例2-14中系统的总的传递函数。解该系统有一条前向通道，即；有三个反馈回路：这三个回路中和相互不接触，所以该回路中又因为所有三个反馈回路均与前向通道接触，所以求得该系统的传递函数为例2-17利用梅逊公式求图2-26所示系统的传递函数图2-26用梅逊公式求系统的传递函数解本系统只有一条前向通道，其传递函数为该系统有五个反馈回路，其传递函数均为，故在这五个反馈回路中，有6对彼此不接触的回路。这6对回路是：回路与；回路与；回路与；回路与；回路与和回路与。这6对彼此不接触的回路，每对回路的传递函数之积都是，故这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回路，它们是回路、和，故这五个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回路，故又因五个反馈通道均与前向通道接触，故所以可求得该系统的传递函数为五五 控制系统的传递函数控制系统的传递函数设控制系统的方块图如图2-27所示。图中R(s)为参考输入，N(s)为干扰信号。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。图2-27闭环系统典型方框图1前向通道传递函数从参考输入到输出的通道称为前向通道，前向通道上的各传递函数之积称为前向通道传递函数。即式中G(s)为前向通道传递函数。2.开环传递函数系统的开环传递函数定义为前向通道传递函数G(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积，即应当指出，系统的开环传递函数不是指开环系统的传递函数。以后在分析闭环传递函数的性能时，并不一定要求取系统的闭环传递函数。在许多场合，可以利用开环传递函数G(s)H(s)来分析闭环系统的性能。3.在参考输入R(s)作用下的闭环传递函数当仅考虑输入R(s)与输出关系时，可令N(s)=0，为在R(s)作用下的输出。于是由图227可知，在参考输入R(s)作用下的闭环传递函数为4.在干扰N(s)作用下的闭环传递函数当仅考虑干扰N(s)与输出的关系时,可令R(s)=0这时可将图227画成如图228所示的形式。表示由干扰引起的系统输出。图2-28在N(s)作用下的系统方框图于是可得干扰作用下的闭环传递函数为5系统在参考输入R(s)和干扰N(s)同时作用下的输出因为我们所讨论的系统均为线性定常系统，故可根据叠加原理求得在参考输入R(s)和干扰N(s)同时作用下的输出6在参考输入R(s)作用下系统的偏差传递函数系统的偏差信号是指参考输入信号R(s)与反馈信号B(s)之差，即E(s)=R(s)-B(s)。E(s)对R(s)之比被称为在参考输入作用下系统的偏差传递函数，为求这一传递函数，可令N(s)=0，由图227画出如图229所示的形式。图2-29在R(s)作用下的偏差传递函数方块图由此可求出偏差传递函数为7在干扰N(s)作用下系统的偏差传递函数在干扰N(s)作用下系统的偏差传递函数定义为E(s)对N(s)之比。求取这一传递函数时，可令R(s)=0，故可将图227的方块图画成如图230所示。图2-30在N(s)作用下的偏差传递函数方块图由图可求得偏差传递函数为从以上求出的表达式，可以发现一个共同的规律，即它们的分母是相同的，都等于1+G(s)H(s),而分子分别等于对应所求的闭环传递函数的输入信号到输出信号所经过的传递函数的乘积。8在参考输入R(s)和干扰N(s)共同作用下系统的偏差求得