复变函数-解析函数课件

1 解析函数是复变函数研究的主要对象。解析函数是复变函数研究的主要对象。这里首先介绍复变函数导数的概念，然后这里首先介绍复变函数导数的概念，然后讨论复变函数在解析的概念和充要条件，讨论复变函数在解析的概念和充要条件，最后介绍几个常见初等函数的解析性。最后介绍几个常见初等函数的解析性。解解 析析 函函 数数1解析函数是复变函数研究的主要对象。这里首先介绍复变2 形式上可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对 于于求导的四则运算和复合运算也都有效。求导的四则运算和复合运算也都有效。一个函数的导数定义为一个特殊的极限一个函数的导数定义为一个特殊的极限 例如：例如：1）设）设f(z)为在为在z=a处可导的复变量的实函数，由上述处可导的复变量的实函数，由上述定义可得定义可得f(z)在在a处不可导或导数为处不可导或导数为0.实的自变量与复的自变量之间到底有无区别呢实的自变量与复的自变量之间到底有无区别呢?2）一个实变量的复函数可以转化为实的情形）一个实变量的复函数可以转化为实的情形3）复变量的复函数的导数的存在对函数的结构性）复变量的复函数的导数的存在对函数的结构性质有着新而深远的意义质有着新而深远的意义-复函数论的重要主题复函数论的重要主题2形式上可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对32-1 2-1 解析函数的定义与柯西解析函数的定义与柯西-黎曼方程黎曼方程(1)导数的定义导数的定义链接链接-导数定义导数定义.ppt(2)可导与连续及可微的关系可导与连续及可微的关系链接链接-可导与连续可导与连续.ppt(3)求导法则求导法则链接链接-求导法则求导法则.ppt(4)解析函数的定义解析函数的定义一一 解析函数的概念解析函数的概念32-1解析函数的定义与柯西-黎曼方程(1)导数的4(4)解析函数的定义解析函数的定义 由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导不等价，但在不等价，但在区域内解析区域内解析与在该与在该区域内可导区域内可导是是等等价价的的.4(4)解析函数的定义由定义可得：复变函数在一点5 证明：证明：事实上，复变函数在区域内解析事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导显然在该区域内可导.5证明：事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内6解解6解778定理定理1 函数的解析点一定是它的可导点函数的解析点一定是它的可导点反之不真；点反之不真；点 为函数为函数 的解析点的充的解析点的充分必要条件是点分必要条件是点 为其可导点所构成的为其可导点所构成的集合的内点。集合的内点。推论推论2 2 复变函数不会只在有限个点或者一复变函数不会只在有限个点或者一条曲线上解析，它的条曲线上解析，它的全体解析点的集合全体解析点的集合一定是开集一定是开集。定定 理理 3 在区域在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商内解析的两个函数的和，差，积，商(除除分母为零的点分母为零的点)在在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解内解析；解析函数的复合函数仍然是解析函数。析函数。8定理1函数的解析点一定是它的可导点反之不真；点9（5 5）函数解析的充要条件函数解析的充要条件Cauchy-Rieman方程方程9（5）函数解析的充要条件Cauchy-Rieman方程10定理定理1 1 复变函数复变函数 点点 可导（可微）可导（可微）的的必要条件必要条件是：是：函数函数 与与 在在 存在偏导数存在偏导数 在该点满足方程在该点满足方程 当当 在在 可导时，它在该点的导数为可导时，它在该点的导数为条件（条件（*）常称为）常称为柯西柯西黎曼方程黎曼方程（C.C.R.R.方方程程）教材教材(P 52-53)10定理1复变函数点11定理定理2 2 复变函数复变函数 点点 可导可导的的充分必要条件充分必要条件是：是：函数函数 与与 在在 可微可微 在该点满足方程在该点满足方程 当当 在在 可导时，它在该点的导数为可导时，它在该点的导数为条件（条件（*）常称为）常称为柯西柯西黎曼方程黎曼方程（C.C.R.R.方方程程）教材教材P 54-5511定理2复变函数点12解析函数的第二等价定理解析函数的第二等价定理 P126解析函数的第三等价定理解析函数的第三等价定理 P12812解析函数的第二等价定理P126解析函数的第三等价定13推论推论 设设 。若。若 和和 的四个一阶偏导函数在点的四个一阶偏导函数在点 均连续并且均连续并且满足满足 C-R C-R 方程，方程，则则 在点在点 处可导。处可导。由于一个二元实函数在某点可微的由于一个二元实函数在某点可微的充充分分条件是：它的两个一阶偏导数在该点条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。由此可得：不仅存在，而且是连续。由此可得：由于由于复变函数在复变函数在区域内解析区域内解析与在该与在该区域内可导区域内可导是是等价等价的，我们有的，我们有13推论设。若和141415例题例题例例 1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解不满足不满足Cauchy-Riemann方程方程,此时此时15例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析16且四个偏导数均连续且四个偏导数均连续此时此时16且四个偏导数均连续此时17此时此时17此时18例例2 2 解解18例2解19例例3 3证证19例3证20例例4 4解解20例4解21参照以上例题可以证明参照以上例题可以证明:21参照以上例题可以证明:22例例5 5解解22例5解232324例例6 6证明证明24例6证明25利用柯西利用柯西-黎曼方程，综合以上得黎曼方程，综合以上得25利用柯西-黎曼方程，综合以上得26解析函数的判定方法解析函数的判定方法:26解析函数的判定方法:27容易得到容易得到27容易得到28从而，可知从而，可知(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.28从而，可知(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.29解解29解30例例6 6证明证明同理可得：同理可得：30例6证明同理可得：31例例6 6证明证明31例6证明322-2 2-2 初等解析函数初等解析函数1.指数函数指数函数4.对数函数对数函数5.幂函数幂函数2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数3.根式函数根式函数322-2初等解析函数1.指数函数4.对数函数331.1.指数函数指数函数定义定义显然显然为简便，常用下面记号为简便，常用下面记号与指数函数符号一致与Euler公式相一致331.指数函数定义显然为简便，常用下面记号与指数函数符号34定理定理 指数函数具有如下性质：指数函数具有如下性质：34定理指数函数具有如下性质：35例例 1 解解35例1解36例例 2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:36例2解求出下列复数的辐角主值:372.2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数将两式相加与相减将两式相加与相减,得得 下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况自变数取复值的情况.372.三角函数和双曲函数将两式相加与相减,得38(3)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.但与实函数完全不同的是：但与实函数完全不同的是：sin z,cos z 无界无界38(3)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.但与实函393940为周期的周期函数为周期的周期函数.双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内也都是解析函数也都是解析函数40为周期的周期函数.双曲正弦函数和双曲余弦41一些常用的重要公式：一些常用的重要公式：41一些常用的重要公式：42但与实函数完全不同的是：但与实函数完全不同的是：sin z,cos z 无界无界42但与实函数完全不同的是：sinz,cosz无界43例例 1 1解解z)Re(tan=43例1解z)Re(tan=44解解例例 2 244解例245例例 3 3解解45例3解463.3.对数函数对数函数这样这样或或因此因此463.对数函数这样或因此474748例例 4 解解注意注意:在实函数中，负数无对数，而复变数对在实函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实对数函数的拓广数函数是实对数函数的拓广.48例4解注意:在实函数中，负数无对数，而49例例 5解解49例5解50对数函数的性质对数函数的性质对于某一固定分支，有对于某一固定分支，有否否50对数函数的性质对于某一固定分支，有否514.4.幂函数幂函数注注 意意:514.幂函数注意:52例例 7 7解解例例 8 8解解52例7解例8解53 幂函数的解析性幂函数的解析性 它的各它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,53幂函数的解析性545.5.反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数两端取对数得两端取对数得545.反三角函数和反双曲函数两端取对数得55反正弦函数反正弦函数反正切函数反正切函数55反正弦函数反正切函数56解解例例 121256解例1257本章主要内容本章主要内容复复变变函函数数连续连续解析函数解析函数初等解析函数初等解析函数判判别别方方法法可导可导解析解析指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数双曲函数双曲函数幂幂 函函 数数反三角函数反三角函数57本章主要内容复变函数连续解析函数初等解析函数判别方法可导58解解58解5959603 3月月1010号号 第四周第四周第二章第二章 P91-95P91-95 6-6-（3 3）,13-,13-（1 1）,24,24603月10号第四周611010月月1515号练习号练习第二章第二章 P66-67P66-67 7,10-(1),12-(2),15,18 7,10-(1),12-(2),15,186110月15号练习621010月月1616号练习号练习第二章第二章 P66-67P66-67 7,10-(1),12-(2),15,18 7,10-(1),12-(2),15,186210月16号练习631789.8.211789.8.21生于法国、巴黎生于法国、巴黎1857.5.231857.5.23卒于法国、斯科卒于法国、斯科A.L.Cauchy(A.L.Cauchy(柯西柯西)简介简介数学分析严格化的开拓者数学分析严格化的开拓者复变函数论的奠基人复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也何、光学、天体力学等也有出色贡献。有出色贡献。多产的科学家多产的科学家(800(800多篇论文多篇论文)，分析大师，分析大师。631789.8.21生于法国、巴黎A.L.Cauchy64Riemann(Riemann(黎曼黎曼)简介简介1826.9.171826.9.17生于德国、汉诺威生于德国、汉诺威1866.7.201866.7.20卒于意大利卒于意大利除博士论文外，生前发表除博士论文外，生前发表1010篇篇论文，遗作论文，遗作1010多篇，对现代数多篇，对现代数学影响最大的数学家之一学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函数开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、解论、常微分方程解析理论、解析数论。析数论。实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。64Riemann(黎曼)简介1826.9.17生于德国、汉65例例6 6 研究研究 在在 的可导性。（说的可导性。（说明在上面定理中明在上面定理中 的的可微性不可去可微性不可去）65例6研究在的可导性