复变函数复变函数课件

11-3 1-3 复变函数、极限和连续性复变函数、极限和连续性11-3复变函数、极限和连续性复变函数、极限和连续性2定义定义：设在复平面上已给点集：设在复平面上已给点集D，如果存在一个法，如果存在一个法则则f 使得对于每点使得对于每点z=x+yiD,都有确定的复数都有确定的复数w=u+vi与之对应与之对应,则称在则称在D上确定一个上确定一个复变函数复变函数，记作记作:w=f(z)若依若依f 对于对于zD只有一个确定的只有一个确定的w与之对应，则称与之对应，则称f 为为单值函数单值函数。否则，称否则，称f 为为多值函数多值函数。例如，例如，一、复变函数的概念一、复变函数的概念复变函数复变函数w=f(z)常写成常写成w=u(x,y)+v(x,y)i为单值函数为单值函数为多值函数为多值函数注意：注意：如不特别提醒，我们往后考虑的都是单值函数如不特别提醒，我们往后考虑的都是单值函数。2定义：设在复平面上已给点集定义：设在复平面上已给点集D，如果存在一个法例如，如果存在一个法例如，3 同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合D 为函为函数的数的定义域定义域，称复数集，称复数集C的子集的子集G(f(D)为函数的为函数的值域值域，z 与与w 分别称为函数的分别称为函数的自变量自变量(原像原像)与与因变量（像点）因变量（像点）。看成变换的复变函数还有入变换、满变换、反函数等概看成变换的复变函数还有入变换、满变换、反函数等概念，参见教材念，参见教材P30-31页。以后在点集拓扑中会特别介绍。页。以后在点集拓扑中会特别介绍。3同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合同实变函数一样，在上述定义中，我们称集合D为函数的定义为函数的定义4例例1求下列区域在映射求下列区域在映射下的象。下的象。(1)圆域圆域；(2)角形域角形域例例2 2 求下列曲线在映射求下列曲线在映射 下的象下的象 1)以原点为心，以原点为心，2位半径，在第一象限里的圆弧；位半径，在第一象限里的圆弧；2）倾角倾角的直线的直线3)双曲线双曲线4例例1求下列区域在映射求下列区域在映射下的象下的象5注意注意:二、二、复变函数的极限及性质复变函数的极限及性质1.上述定义与上述定义与一元实变函数的极限一元实变函数的极限定义类似，因而定义类似，因而后者后者的的极限运算性质对于复变函数也成立。如极限运算性质对于复变函数也成立。如链接链接-极限性质极限性质.ppt5注意注意:二、二、复变函数的极限及性质复变函数的极限及性质1.上述定义与一元实变函数上述定义与一元实变函数6证明证明6证明证明7三、函数的连续性三、函数的连续性7三、函数的连续性三、函数的连续性8举例说明如下：举例说明如下：8举例说明如下：举例说明如下：9例例 2 2证证9例例2证证10(1)多项式多项式(2)有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.10(1)多项式多项式(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零有理分式函数在复平面内使分母不为零11关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以参阅教材参阅教材P37-3811关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以参关于连续函数在有界闭集上的其它性质可以参12例例3 3试证明函数试证明函数在角形在角形域域内连续内连续。证明证明设设f(z)=u(x,y)+iv(x,y).显然区域显然区域D 为割去为割去原点和负实轴的复平面，且原点和负实轴的复平面，且在除去坐标原点外的点连续，只须证明在除去坐标原点外的点连续，只须证明 v(x,y)=arg(z)在在D连续连续。12例例3试证明函数在角形域内连续。证明试证明函数在角形域内连续。证明设设f(z13在在D内连续。内连续。13在在D内连续。内连续。14例例 4 4证证另一证明见另一证明见P3614例例4证另一证明见证另一证明见P3615复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容向量表示法向量表示法15复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域球面表示法复复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域球面表示法复161707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞尔生于瑞士，巴塞尔1783.9.181783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡卒于俄罗斯，彼得堡L.EulerL.Euler(欧拉欧拉)简介简介 EulerEuler是是1818世纪的数学巨世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，科星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上几学界的代表人物。历史上几乎可与乎可与ArchimedesArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齐名齐名。他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说大贡献。可以说 NewtonNewton、LeibnizLeibniz发明了微积分，发明了微积分，而而EulerEuler则是数学大厦的主要建筑师则是数学大厦的主要建筑师。161707.4.15生于瑞士，巴塞尔生于瑞士，巴塞尔L.Euler(欧拉欧拉17A.de Moivre A.de Moivre 棣莫佛简介棣莫佛简介1667.1667.5.265.26生于法国生于法国1754.11.271754.11.27卒于英国卒于英国在概率论、复数理论等领域在概率论、复数理论等领域做了一些出色的工作。做了一些出色的工作。解决斐波那契数列的通项问题。解决斐波那契数列的通项问题。L.FibonacciL.Fibonacci(1170-1250)(1170-1250)17A.deMoivre棣莫佛简介棣莫佛简介5.26生于法国在生于法国在