复变函数-留数在实积分中的应用课件

1 留数在计算定积分中的应用留数在计算定积分中的应用本节主要内容：本节主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算考察三种类型的实函数的定积分的计算.1 留数在计算定积分中的应用本节主要内容：考察三种类型的实函留数在计算定积分中的应用本节主要内容：考察三种类型的实函2这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分.2这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分.3在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复下面用复变函数的方法求解函数的方法求解该题.解：解：例例13在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的下面用复变函数的4于是于是因此因此规则规则1 1规则规则2 24于是因此规则于是因此规则1规则规则25提示：提示：5提示：提示：6另解另解 计算算积分分解解由由都是以都是以为周期的偶函数周期的偶函数则6另解另解 计算积分解由都是以计算积分解由都是以 为周期的偶函数则为周期的偶函数则778不失一般性，设不失一般性，设8不失一般性，设不失一般性，设9根据留数定理，得到根据留数定理，得到xy.-RRO9根据留数定理，得到根据留数定理，得到xy.-RRO10再由（再由（1），得），得10再由（再由（1），得），得11计算计算(1)取辅助函数并求上半平面有限值奇点取辅助函数并求上半平面有限值奇点;(2)计算留数计算留数;(3)带入公式计算积分带入公式计算积分;11计算计算(1)取辅助函数并求上半平面有限值奇点取辅助函数并求上半平面有限值奇点;(2)计计12解：解：因为被积函数是偶函数因为被积函数是偶函数,其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是:（均均为单极点）极点）(1)取辅助函数并求上半平面有限值奇点取辅助函数并求上半平面有限值奇点;(2)计算留数计算留数;12解：因为被积函数是偶函数解：因为被积函数是偶函数,其位于上半平面的奇点是其位于上半平面的奇点是:（均为（均为13解：解：其位于上其位于上半平面半平面的奇点是的奇点是:（均均为单极点）极点）(1)取辅助函数并求上半平面有限值奇点取辅助函数并求上半平面有限值奇点;(2)计算留数计算留数;(3)带入公式计算积分带入公式计算积分;13解：其位于上半平面的奇点是解：其位于上半平面的奇点是:（均为单极点）（均为单极点）(1)取辅助函取辅助函14 问题的的处理方法同第二种理方法同第二种类型一型一样，通，通过引引进辅助半助半圆周，得到一个周，得到一个闭合路径（半合路径（半圆周加周加实轴）上的复上的复变函数的函数的积分，然后取极限（令半径分，然后取极限（令半径趋于无于无穷），并且可），并且可证明：明：14 问题的处理方法同第二种类型一样，通过引进问题的处理方法同第二种类型一样，通过引进15事实上事实上于是于是15事实上于是事实上于是16即：即：16即：即：17例计算例计算思考：思考：0解：解：取辅助函数并求上半平面有限值奇点取辅助函数并求上半平面有限值奇点;17例计算思考：例计算思考：0解：取辅助函数并求上半平面有限值奇点解：取辅助函数并求上半平面有限值奇点;18例例5 计算算积分分解解 在上半平面只有二在上半平面只有二级极点极点又又18例例5 计算积分解计算积分解 在上半平面只有二级极点又在上半平面只有二级极点又19注意注意以上两种以上两种类型的型的积分中，被分中，被积函数在函数在实轴上上无孤立奇点无孤立奇点.19注意注意 以上两种类型的积分中，被积函数在实轴上无孤立奇点以上两种类型的积分中，被积函数在实轴上无孤立奇点20例例6.计算算积分分解：由于被解：由于被积函数函数为偶函数，因此偶函数，因此在上半平面只有一个在上半平面只有一个简单极点，且极点，且由定理由定理3推推论得得因此因此20例例6.计算积分解：由于被积函数为偶函数，因此在上半平面只计算积分解：由于被积函数为偶函数，因此在上半平面只21例例7计算计算例计算例计算解：先考察积分解：先考察积分xy-rrcr-hhch21例例7计算例计算解：先考察积分计算例计算解：先考察积分xy-rrcr-hh22在所示闭合路径上应用留数定理，得在所示闭合路径上应用留数定理，得（因闭合路径内被积函数无奇点因闭合路径内被积函数无奇点.）xy-rrcr-hhch取极限，令：取极限，令：则则下面考察最后一项：下面考察最后一项：22在所示闭合路径上应用留数定理，得（因闭合路径内被积函数无在所示闭合路径上应用留数定理，得（因闭合路径内被积函数无23再注意到再注意到g(z)在原点临近有界，所以在原点临近有界，所以至此，我们得到至此，我们得到23再注意到再注意到g(z)在原点临近有界，所以至此，我们得到在原点临近有界，所以至此，我们得到24本讲主要内容：本讲主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算考察三种类型的实函数的定积分的计算.24本讲主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算本讲主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算.2525谢谢大家谢谢大家26证：首先令证：首先令于是于是即即26证：首先令于是即证：首先令于是即272728即即28即即