就是激光谐振腔的自再现模课件

第第2章章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论2.1 光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的基本知识 2.2 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗 2.3 光学谐振腔的稳定条件光学谐振腔的稳定条件 第2章 光学谐振腔理论2.1 光学谐振腔的基本知识2.1 光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的基本知识2.1.1 光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类 在激活介质两端适当的放置两个反射镜，在激活介质两端适当的放置两个反射镜，可构成最简可构成最简单的光学谐振腔单的光学谐振腔。由两个或多个反射镜按一定方式组合，。由两个或多个反射镜按一定方式组合，可以构成不同种类的光学谐振腔。可以构成不同种类的光学谐振腔。2.1 光学谐振腔的基本知识2.1.1 光学谐振腔的 根据根据结构结构，性能性能和和机理机理等方面的不同，谐振腔等方面的不同，谐振腔有不同的分类方式：有不同的分类方式：v开腔和闭腔开腔和闭腔v稳定腔和非稳腔稳定腔和非稳腔v球面腔和非球面腔球面腔和非球面腔v简单腔和复合腔简单腔和复合腔v驻波腔和行波腔驻波腔和行波腔v端面反馈腔和分布反馈腔端面反馈腔和分布反馈腔v两镜腔和多镜腔两镜腔和多镜腔 -最简单，最常用最简单，最常用本章讨论：由本章讨论：由两个球面镜两个球面镜构成的构成的开放式开放式光学谐振腔光学谐振腔 根据结构，性能和机理等方面的不同，谐振腔有不同2.1.2 光学谐振腔的作用光学谐振腔的作用（1）提供轴向光波模的光学正反馈；）提供轴向光波模的光学正反馈；（2）控制振荡模式的特性。）控制振荡模式的特性。光学正反馈作用主要取决于光学正反馈作用主要取决于腔镜的反射率腔镜的反射率，几何形状几何形状以及以及之间的组合方式之间的组合方式。有效控制腔内实际振荡的模式数目有效控制腔内实际振荡的模式数目 使大量光子集中在少数几个状态中，从而提高光子使大量光子集中在少数几个状态中，从而提高光子 简并度简并度 获得获得单色性单色性和和方向性好方向性好的相干光的相干光 激光模式的特性由光腔结构决定，激光模式的特性由光腔结构决定，可通过改变腔参可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。数实现对光波模特性的控制。2.1.2 光学谐振腔的作用（1）提供轴向光波模的光学正腔的模式腔的模式v在激光技术术语中，通常将在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态的电磁波的本征态称为腔的模式。称为腔的模式。v腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。等）。2.1.3 腔模腔模腔的模式在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波模式模式：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。纵模纵模：沿腔轴线方向电磁场的本征态。：沿腔轴线方向电磁场的本征态。纵模数表示激光振荡频率数，纵模数多，单色性差。纵模数表示激光振荡频率数，纵模数多，单色性差。单一纵模单一纵模单色性单色性最好。最好。横模横模：在腔中垂直腔轴方向的电磁场的本征态。不同的横模，光：在腔中垂直腔轴方向的电磁场的本征态。不同的横模，光 场分布不同，光束的发散角不同。场分布不同，光束的发散角不同。基横模光强是高斯形，光场分布均匀，发散角最小。基横模光强是高斯形，光场分布均匀，发散角最小。为了改善激光的为了改善激光的方向性方向性，必须选出基横模，必须选出基横模。改善激光的方向性，提高单色性改善激光的方向性，提高单色性是实际应用的要求。是实际应用的要求。模式：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。v模式的模式的基本特征基本特征包括：包括：v每一种模式的电磁场分布，特别是在腔的横截面内每一种模式的电磁场分布，特别是在腔的横截面内的场分布；的场分布；v谐振频率；谐振频率；v在腔内往返一次经受的相对功率损耗；在腔内往返一次经受的相对功率损耗；v相对应的激光束的发散角。相对应的激光束的发散角。光学谐振腔理论研究目的：光学谐振腔理论研究目的：弄清楚激光模式的弄清楚激光模式的基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。只要知道了只要知道了腔的参数腔的参数，就可以唯一地确定，就可以唯一地确定模式的基本特征模式的基本特征。模式的基本特征包括：光学谐振腔理论研究目的：弄清纵模纵模 以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对于平行平面腔（简称平平腔）来说，当满足条件于平行平面腔（简称平平腔）来说，当满足条件时，可近似认为时，可近似认为均匀平面波均匀平面波是它的一种本征模。式中，是它的一种本征模。式中，代表腔的横向尺寸，如圆形反射镜的半径；代表腔的横向尺寸，如圆形反射镜的半径；为谐振为谐振腔的腔长；腔的腔长；为激光波长。为激光波长。纵模 以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对于平v利用利用均匀平面波均匀平面波讨论开腔中傍轴传播模式的谐振讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件条件v考察考察均匀平面波均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传播的情在腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而要求波能因干涉而得到加强。得到加强。利用均匀平面波讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件v发生发生相长干涉相长干涉的条件是：波从某一点出发，的条件是：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相（即相差是始出发波同相（即相差是2 的整数倍）。的整数倍）。发生相长干涉的条件是：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原结论：结论：一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐振波才能提供正反馈，使之谐振。（1）式和（）式和（2）式就）式就是平平腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。是平平腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。称为称为腔的腔的谐振波长谐振波长，称为腔的称为腔的谐振频率谐振频率，谐振频率是分谐振频率是分立的。立的。（1）（2）结论：一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光波才能提腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。特点特点：腔内光强沿腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。光强最强的明亮区，称为地分布着。光强最强的明亮区，称为波腹波腹；最弱的黑暗；最弱的黑暗区，称为区，称为波节波节。通常将由整数通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不同的纵模，不同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。腹的个数。腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。特点：腔 腔的两个相邻纵模频率之差腔的两个相邻纵模频率之差 与与 无关，只与无关，只与腔长腔长和和腔内介质的折射率腔内介质的折射率有关，腔长和折射率越小，有关，腔长和折射率越小，纵模间隔越大。纵模间隔越大。腔的两个相邻纵模频率之差腔的两个相邻纵模频率之差 称为纵模的频率称为纵模的频率间隔，简称纵模间隔。间隔，简称纵模间隔。腔的两个相邻纵模频率之差 横模横模 稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同样稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种在的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布称为定场分布称为自再现模或横模自再现模或横模。理论分析表明，经过足够多次的往返传播之后，腔内理论分析表明，经过足够多次的往返传播之后，腔内形成一种稳定场，其分布不再受衍射影响，在腔内往返一形成一种稳定场，其分布不再受衍射影响，在腔内往返一次后能够次后能够“自再现自再现”出发时的出发时的场分布场分布。横模 稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同 激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往返传播，能保持相对稳定不变的）光场的各种横向稳定分返传播，能保持相对稳定不变的）光场的各种横向稳定分布。布。孔阑传输线孔阑传输线 为了更形象的理解开腔中自再现模的形成过程为了更形象的理解开腔中自再现模的形成过程，用，用光波在孔阑传输线中的传播来模拟光波在平行平面腔中光波在孔阑传输线中的传播来模拟光波在平行平面腔中的往返传播过程。的往返传播过程。激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往 不同的横模用横模序数不同的横模用横模序数m，n描述。对于方形镜谐振描述。对于方形镜谐振腔，腔，m，n分别表示腔镜面直角坐标系的水平和垂直坐标分别表示腔镜面直角坐标系的水平和垂直坐标轴的光场节点数。对于圆形镜谐振腔，轴的光场节点数。对于圆形镜谐振腔，m，n分别表示腔分别表示腔镜面极坐标的角向和径向的光场节线数。镜面极坐标的角向和径向的光场节线数。一个激光模对应三个独立的模序数，用符号一个激光模对应三个独立的模序数，用符号 表示。表示。不同的横模用横模序数m，n描述。对于方形镜谐振2.2 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗 光学谐振腔一方面具有光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用光学正反馈作用,另一方面也另一方面也存在存在各种损耗各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标，决定损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标，决定了了激光振荡的阈值激光振荡的阈值和和激光的输出能量激光的输出能量。2.2 光学谐振腔的损耗 光学谐振腔一方面损耗类型：损耗类型：1、几何损耗、几何损耗2、衍射损耗、衍射损耗3、输出腔镜的透射损耗、输出腔镜的透射损耗4、非激活吸收，散射等其他损耗、非激活吸收，散射等其他损耗2.2.1 光腔的损耗及其描述光腔的损耗及其描述损耗类型：2.2.1 光腔的损耗及其描述v光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。损耗。v取决于腔的类型和几何尺寸取决于腔的类型和几何尺寸v几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶横模损几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶横模损耗大于低阶横模损耗耗大于低阶横模损耗v是非稳腔的主要损耗是非稳腔的主要损耗1、几何损耗、几何损耗光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。1、几何损耗 腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍射时形成的损耗射时形成的损耗与腔的菲涅尔数（与腔的菲涅尔数（）有关，）有关，N愈大，损耗愈大，损耗愈小（愈小（a:腔镜半径）腔镜半径）与腔的几何参数有关与腔的几何参数有关与横模阶次有关与横模阶次有关2、衍射损耗、衍射损耗 2、衍射损耗v通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得必要的输出耦合。这部分有用损耗称为光腔的透射必要的输出耦合。这部分有用损耗称为光腔的透射损耗，它与输出镜的透射率有关。损耗，它与输出镜的透射率有关。3、输出腔镜的透射损耗、输出腔镜的透射损耗通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得必要的输出耦合。v这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中所有光学元件时，发生非激活吸收，散射等而引起所有光学元件时，发生非激活吸收，散射等而引起的，也称为内损耗。的，也称为内损耗。4、非激活吸收，散射等其他损耗、非激活吸收，散射等其他损耗这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中所有光学元件时，v几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。几何损耗和衍射损耗各不相同。v后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。各个模式大体一样。几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何损耗和衍射损耗平均单程损耗因子平均单程损耗因子 不论损耗的起源如何，均可用不论损耗的起源如何，均可用“平均单程损耗因平均单程损耗因子子”（简称单程损耗因子）（简称单程损耗因子）来定量描述。来定量描述。的定义：光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。的定义：光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。初始光强为初始光强为 ，在无源腔内往返一次后，在无源腔内往返一次后，光强衰减为光强衰减为 ，光强的平均衰减百分，光强的平均衰减百分数为数为平均单程损耗因子平均单程损耗因子 为为损耗参数损耗参数：平均单程损耗因子 不论损耗的起源如何，均可当损耗很小时，当损耗很小时，1另一种指数定义形式：另一种指数定义形式：如果初始光强为如果初始光强为I0，在无源腔内往返一周后光在无源腔内往返一周后光强衰减到强衰减到I1，则则-两种定义形式是一致的。两种定义形式是一致的。每种因素引起的单程损耗因子用每种因素引起的单程损耗因子用 i来表示，则总的单来表示，则总的单程损耗是程损耗是=i。当损耗很小时，1另一种指数定义形式：如果初始光强为I一一、谐振腔失调时的几何损耗谐振腔失调时的几何损耗设光线在腔内往返设光线在腔内往返m次后逸出腔外，则有次后逸出腔外，则有式中，式中，D为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜的直径）。的直径）。由于光在腔内经过由于光在腔内经过m次往返后逸出腔外，因此往返一次的损耗次往返后逸出腔外，因此往返一次的损耗为为1/m，可得相应的单程损耗为，可得相应的单程损耗为一、谐振腔失调时的几何损耗设光线在腔内往返m次后逸出腔外，则二、衍射二、衍射损耗损耗 按照单程损耗因子的定义，相应按照单程损耗因子的定义，相应的单程衍射损耗应为射到圆孔之外的的单程衍射损耗应为射到圆孔之外的光能与到达第二个孔的总能量之比。光能与到达第二个孔的总能量之比。式中，式中，为衍射角，根据夫琅和费衍射公式，为衍射角，根据夫琅和费衍射公式，式中 N为为菲涅耳数菲涅耳数，它是从一个镜面中心看到，它是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数。也是衍射光在腔内的最大往返次数。二、衍射损耗 按照单程损耗因子的定义，相应式中，三、透射三、透射损耗损耗 以以r1和和r2分别表示腔的两个镜面的反射率，则初分别表示腔的两个镜面的反射率，则初始光强为始光强为I0的光在腔内往返一周经两个镜面反射后，的光在腔内往返一周经两个镜面反射后，其强度其强度I1应为应为 按按 的定义，的定义，三、透射损耗 以r1和r2分别表示腔的两个四、吸收四、吸收损耗损耗四、吸收损耗就是激光谐振腔的自再现模课件谐振腔的品质因数谐振腔的品质因数平均单程损耗因子平均单程损耗因子 腔内光子的平均寿命腔内光子的平均寿命描述谐振腔损耗的参数描述谐振腔损耗的参数：谐振腔的品质因数平均单程损耗因子腔内光子的平均寿命描述谐振2.2.2 光子在腔内的平均寿命光子在腔内的平均寿命光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数为光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数为 将将 代入上式，得代入上式，得解得解得式中式中-腔的时间常数（也称为腔的寿命）腔的时间常数（也称为腔的寿命）2.2.2 光子在腔内的平均寿命光在腔内通过单位距离后光强 的物理意义：经过的物理意义：经过 时间后，腔内的光强衰减为时间后，腔内的光强衰减为 初始值的初始值的1/e。愈大，愈大，愈小愈小腔的损耗愈大，腔内光强腔的损耗愈大，腔内光强衰减愈快。衰减愈快。的物理意义：经过 时间后，腔内的光强衰减为 求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均 寿命寿命v设设t时刻腔内光子数密度为时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示表示t=0时刻光子时刻光子数密度数密度求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均 寿命设t时刻腔内光子 腔的品质因数表示腔的品质因数表示光腔的储能光腔的储能与与损耗损耗的特征。的特征。损损耗愈小，耗愈小，Q值愈大，光腔的储能性愈好，腔内光子寿命值愈大，光腔的储能性愈好，腔内光子寿命愈长愈长。2.2.3 无源腔的品质因数无源腔的品质因数Q 腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。v平均单程损耗因子平均单程损耗因子 v光子在腔内的平均寿命光子在腔内的平均寿命 Rv无源谐振腔的品质因数无源谐振腔的品质因数Q小结：小结：三者之间的关系：三者之间的关系：平均单程损耗因子小结：三者之间的关系：2.3 光学谐振腔的稳定条件光学谐振腔的稳定条件 若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外，若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外，将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简称将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔稳定腔。利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔中光线往利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔中光线往返传播的规律。返传播的规律。谐振腔的稳定性条件谐振腔的稳定性条件2.3 光学谐振腔的稳定条件 若光线在谐振2.3.1 光线传播的矩阵表示光线传播的矩阵表示一、光线矩阵一、光线矩阵列阵列阵 称为光线在某一截面处称为光线在某一截面处的光线矩阵。的光线矩阵。2.3.1 光线传播的矩阵表示一、光线矩阵列阵 称为二、光线变换矩阵二、光线变换矩阵 称为称为该光学系统的光线变换矩阵该光学系统的光线变换矩阵，它描述了光学系，它描述了光学系统对傍轴光线的变换作用。统对傍轴光线的变换作用。二、光线变换矩阵 称为该光学系统的光线变换矩就是激光谐振腔的自再现模课件推导一些光学系统的光线变换矩阵：推导一些光学系统的光线变换矩阵：1.一段自由空间的光线变换矩阵一段自由空间的光线变换矩阵推导一些光学系统的光线变换矩阵：1.一段自由空间的光线变换就是激光谐振腔的自再现模课件就是激光谐振腔的自再现模课件三、光线在腔内往返传播的矩阵三、光线在腔内往返传播的矩阵1.往返传播一次的光线变换矩阵往返传播一次的光线变换矩阵三、光线在腔内往返传播的矩阵1.往返传播一次的光线变换矩阵就是激光谐振腔的自再现模课件3.往返传播往返传播n次的光线变换矩阵次的光线变换矩阵3.往返传播n次的光线变换矩阵2.3.2 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件谐振腔的稳定性条件为：谐振腔的稳定性条件为：2.3.2 共轴球面腔的稳定性条件谐振腔的稳定性条件为：满足条件：满足条件：的谐振腔为非稳腔。的谐振腔为非稳腔。满足条件：的谐振腔为非稳腔。临界腔的判定条件为：临界腔的判定条件为：临界腔的判定条件为：2.3.3 稳区图稳区图 由坐标轴由坐标轴 ，和和 双曲线双曲线 的两支的两支围城的区域属于腔的稳定工作区域。围城的区域属于腔的稳定工作区域。2.3.3 稳区图 由坐标轴 ，作业作业2：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为曲率半径为2m，凹面镜曲率半径为，凹面镜曲率半径为3m，腔长，腔长L为为1m，腔内介质折射率为腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔，此球面镜腔是何种腔（稳定腔，临界腔，非稳腔）？临界腔，非稳腔）？作业作业1：试利用往返矩阵证明共焦腔试利用往返矩阵证明共焦腔(腔的中心为两个镜腔的中心为两个镜面的公共焦点面的公共焦点,)为稳定腔，即任意傍轴光线为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。作业2：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为252第二章 光学谐振腔理论2.4 谐振腔的衍射振腔的衍射积分理分理论2.5 平行平面腔的自再平行平面腔的自再现模模2.6 对称共焦腔的自再称共焦腔的自再现模模52第二章 光学谐振腔理论2.4 谐振腔的衍射积分理论53 谐振腔的几何光学理论利用谐振腔的几何光学理论利用“光线光线”概念概念描述描述腔内腔内光的传播光的传播，推导出了，推导出了谐振腔的稳定性条件谐振腔的稳定性条件。但要定量描述腔内辐射场的但要定量描述腔内辐射场的振幅振幅和和相位分布相位分布以及以及无源无源开腔的其他一些主要特征开腔的其他一些主要特征，必须用更为严格的，必须用更为严格的衍射理论衍射理论进行讨论。进行讨论。2.4 谐振腔的衍射积分理论 本节从本节从菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式出发，建立出发，建立谐振腔谐振腔自再现模满足的积分方程自再现模满足的积分方程，并讨论该，并讨论该方程解的方程解的物理意义物理意义。53 谐振腔的几何光学理论利用“光线”概念描述腔内542.4.1 菲涅菲涅尔-基基尔霍夫衍射霍夫衍射积分分 波前上每一点可看作次球面子波的波源，下一波前上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。场是各子波干涉叠加的结果。惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理（光的衍射理论基础）（光的衍射理论基础）利用基尔霍夫积分定理，并作菲涅尔近似处理，利用基尔霍夫积分定理，并作菲涅尔近似处理，可得到该原理的严格数学表达式，即可得到该原理的严格数学表达式，即菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式射积分公式。该积分公式表明，如果知道光波场在任意空间该积分公式表明，如果知道光波场在任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在其他曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在其他任意位置处的振幅和相位分布。任意位置处的振幅和相位分布。542.4.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分 波前55已知空间某一曲面已知空间某一曲面S S上光波场的振幅和相位分布函数上光波场的振幅和相位分布函数 ，求它在空，求它在空间任一观察点间任一观察点P P处产生的光场分布处产生的光场分布 。一一.菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式 为波矢的模，为波矢的模，：源点：源点 与观察点与观察点 之间的距离；之间的距离；：源点：源点 处的波面法线处的波面法线 与上述连线与上述连线 的夹角；的夹角；：源点源点 处的面元，积分沿整个处的面元，积分沿整个S S面进行。面进行。55已知空间某一曲面S上光波场的振幅和相位分布函数 56二二.衍射积分公式在谐振腔中的应用衍射积分公式在谐振腔中的应用经过经过j j次渡越后生成的场次渡越后生成的场 与产生它的场与产生它的场 之间应满足之间应满足类似的迭代关系：类似的迭代关系：对于一般谐振腔而言，通常满足对于一般谐振腔而言，通常满足 和和 56二.衍射积分公式在谐振腔中的应用经过j次渡越后生成的57自再自再现模概念模概念特点特点1：当反射次数足当反射次数足够多多时（大（大约三百多次反射）光束的横向三百多次反射）光束的横向场分分布便布便趋于于稳定，分布不再受衍射的影响。定，分布不再受衍射的影响。特点特点2：场分布在腔内往返分布在腔内往返传播一次后能播一次后能够“再再现”出来，反射只改出来，反射只改变光的光的强度大小，而不改度大小，而不改变光的光的强度分布。度分布。这种种稳态场经一次往返后，唯一的一次往返后，唯一的变化是，化是，镜面上各点的面上各点的场振幅按同振幅按同样的比例衰减，各点的相位的比例衰减，各点的相位发生同生同样大小的滞后。大小的滞后。这个个稳定的横向定的横向场分布，就是激光分布，就是激光谐振腔的振腔的自再自再现模模。2.4.2 自再现模满足的积分方程式自再现模满足的积分方程式57自再现模概念2.4.2 自再现模满足的积分方程式58 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，振幅衰减和相位移动的常数因子以外，应能够将应能够将 再现再现出来，两者之间应有关系：出来，两者之间应有关系：58 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振5959602.4.3 积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义一个本征函数就描述腔的一个自再现模或横模。一个本征函数就描述腔的一个自再现模或横模。本征函数一般为复函数，其本征函数一般为复函数，其模模描述开腔镜面上光场的描述开腔镜面上光场的振幅分布振幅分布，辐角辐角则描述镜面上光场的则描述镜面上光场的相位分布相位分布。602.4.3 积分方程解的物理意义一个本征函数就描述腔的61 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用耗，用 表示。定义为表示。定义为 单程损耗、单程相移和本征值 本征本征值 的模反映了自再的模反映了自再现模在腔内模在腔内单程渡越程渡越时所引起的功率所引起的功率损耗耗.自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为（由于（由于 ）61 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程622.5 2.5 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模平行平面腔的平行平面腔的优点优点：光束方向性极好（发散：光束方向性极好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模；角小）、模体积大、比较容易获得单横模；平行平面腔的平行平面腔的缺点缺点：调整精度要求极高，损：调整精度要求极高，损耗也较大；耗也较大；平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解。程至今尚得不到精确的解析解。622.5 平行平面腔的自再现模平行平面腔的优点：光束方向性632.5.1 平行平面腔的模式积分方程平行平面腔的模式积分方程632.5.1 平行平面腔的模式积分方程6464652.5.2 平行平面腔的数值迭代解法平行平面腔的数值迭代解法 首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将它代入上式，计算，将它代入上式，计算u2、u3、u4等。如此反复运等。如此反复运算经过足够多次后，判断能否满足下述算经过足够多次后，判断能否满足下述关系式关系式652.5.2 平行平面腔的数值迭代解法 首先，66 便是自再现模积分方程式的本征函数，也是腔的便是自再现模积分方程式的本征函数，也是腔的自再现模或横模。自再现模或横模。和和 的比值即是相应的本征值的比值即是相应的本征值 。66 便是自再现模积分方程式的本征函数，也是腔的67腔的具体数据：腔的具体数据：67腔的具体数据：68 随随N N的增大而减小。的增大而减小。对于同一对于同一N N值，值，随模阶次的随模阶次的增大而增大，其中基模的增大而增大，其中基模的 最低。最低。68 随N的增大而减小。692.62.6 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模 当构成谐振腔的两个球面镜的曲率半径相等且等于当构成谐振腔的两个球面镜的曲率半径相等且等于腔腔长时，长时，两个镜面的焦点重合且位于腔的中心两个镜面的焦点重合且位于腔的中心。这类谐振腔。这类谐振腔称为对称共焦谐振腔，简称称为对称共焦谐振腔，简称共焦腔共焦腔。692.6 对称共焦腔的自再现模 当构成谐振腔的两70方形方形镜面共焦腔模式面共焦腔模式积分方程的解析解分方程的解析解(1)(1)设方镜每边长为设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为，共焦腔的腔长为L，光波波长为，光波波长为，并把，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解情况下，积分方程有本征函数近似解析解 本征值近似解本征值近似解Hm(X)和和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：均为厄密多项式，其表示式为：2.6.1 方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解70方形镜面共焦腔模式积分方程的解析解(1)设方镜每边长71一一.振幅分布振幅分布:令令 ,则有有图图(3-5)(3-5)画出了画出了m m=0=0，1 1，2 2和和n n=0=0，1 1的的 的变化曲线，的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布 图(3-5)的变化曲线及相应的光强分布 激光模式的符号：激光模式的符号：TEM00是基横模是基横模。m、n的数值正好分别等的数值正好分别等于光强在于光强在x，y方向上的节方向上的节线线(光强为零的线光强为零的线)数目，数目，而且而且m、n的数值越大，光的数值越大，光场也越向外扩展。场也越向外扩展。2.6.2 方形球面镜共焦腔自再现模的特征方形球面镜共焦腔自再现模的特征71一.振幅分布:令 72振幅分布振幅分布:基横模基横模TEM00场分布分布为：镜面上基模的面上基模的“光斑有效截面半径光斑有效截面半径”二二.相位分布相位分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。面。72振幅分布:二.相位分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的73三三.单程损耗：单程损耗：（1 1）方形球面镜共焦腔模的损耗随）方形球面镜共焦腔模的损耗随N N的的增加迅速下降。增加迅速下降。（2 2）方形球面镜共焦腔模的损耗比平面）方形球面镜共焦腔模的损耗比平面镜模的损耗低好几个量级。镜模的损耗低好几个量级。（3 3）衍射损耗随模阶次的增高迅速增大。）衍射损耗随模阶次的增高迅速增大。73三.单程损耗：（1）方形球面镜共焦腔模的损耗随N的74单程相移：程相移：共焦腔的共焦腔的频率率间隔：隔：共焦腔共焦腔谐振振频率的率的简并性并性：只要保只要保证（2q+m+n+1）不不变,对应的的谐振振频率是率是可以相同的可以相同的.图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱四四.单程相移与谐振频率：单程相移与谐振频率：74单程相移：图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱四.单75 腔内的光腔内的光场:可以通可以通过基基尔霍夫衍射公式霍夫衍射公式计算由算由镜面面M1上的上的场分布在分布在腔内造成的行波求得，行波被反射腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射反射产生生传播方向相反的另一列播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成行波，两列行波在腔内迭加成驻波。波。腔外的光腔外的光场:则就是腔内沿一个方向就是腔内沿一个方向传播的行波透播的行波透过镜面的部分。即面的部分。即行波函数乘以行波函数乘以镜面的透射率面的透射率t。求空求空间场分布的关分布的关键是：是：求出求出镜面面场分布生成的行波在任意空分布生成的行波在任意空间点的点的表达式。表达式。2.6.3 方形球面镜共焦腔的行波场方形球面镜共焦腔的行波场75 腔内的光场:可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上