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第第2424章章 圆圆第第24章章 圆圆1本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积本章知本章知识结识结构构图圆图圆的基本性的基本性质圆圆质圆圆的的对对称性弧、弦称性弧、弦圆圆心角之心角之间间的关系的关系21.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距O一、圆的基本概念1.圆圆的定的定义义:到定点的距离等于定到定点的距离等于定长长的点的集合叫做的点的集合叫做圆圆.2.有关有关31.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是圆是轴对称轴对称图形图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是圆是中心对称中心对称图形图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具有即圆具有旋转不变性旋转不变性.二、圆的基本性质1.圆圆的的对对称性称性:(1)圆圆是是轴对轴对称称图图形形,经过圆经过圆心的每一条直心的每一条直线线都都42.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所对的弧那么它所对的弧相等相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)在圆中在圆中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相等那么它所对的圆心角相等,所对所对的弦相等的弦相等.(3)在一个圆中在一个圆中,如果弦相等如果弦相等,那么它所对的弧相等那么它所对的弧相等,所对所对的圆心角相等的圆心角相等.ABDCO COD=AOBABCD=AB=CD2.同同圆圆或等或等圆圆中中圆圆心角、弧、弦之心角、弧、弦之间间的关系的关系:(1)在同在同圆圆或等或等圆圆53.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧.ADBPC CD是圆是圆O的直径的直径,CD AB AP=BP,ACBC=ADBD=五个中知道任意五个中知道任意两个，其它三个两个，其它三个都成立！（注意都成立！（注意推论中弦不能是推论中弦不能是直径）直径）3.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分这这条弦条弦,并且平分弦所并且平分弦所对对的两条的两条6对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距、圆心到弦的距离离d、圆半径、圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：两个量，如图有：d+h=r垂径定理的垂径定理的应用应用 对对于一个于一个圆圆中的弦中的弦长长a、圆圆心到弦的距离心到弦的距离d、圆圆半径半径71、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长为长为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为_.OABC3AC=BC弦心距弦心距半径半径半弦长半弦长典型例题典型例题2、如图，、如图，P为为O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求O的半径。的半径。MAPBOA1、如、如图图,已知已知O的半径的半径OA长为长为5,弦弦AB的的长长8,OC AB83、如图，、如图，P为为O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求O的半径。的半径。关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段，这是一条非常重要，这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦长径、弦长构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为直，便将问题转化为直角三角形的问题。角三角形的问题。MAPBOA3、如、如图图，P为为O的弦的弦BA延延长线长线上一点，上一点，PAAB2，PO9 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角叫做圆周角.性质性质:(1)在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对的圆周同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半角等于它所对的圆心角的一半.BAC=BOC12 4.圆圆周角周角:定定义义:顶顶点在点在圆圆周上，两周上，两边边和和圆圆相交的角，叫做相交的角，叫做圆圆周周10在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.性质性质(2)：ADB与与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角 ADB=AEB=ACB归纳：归纳：在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两个两个圆周角圆周角两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距中两条弦心距中,有有一组量相等一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分那么它们所对应的其余各组量都分别相等别相等.在同在同圆圆或等或等圆圆中中,同弧或等弧所同弧或等弧所对对的所有的的所有的圆圆周角相等周角相等.相等的相等的圆圆周周11性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.AB是是 O的直径的直径 ACB=900定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一 个外角都等于它的内对角。个外角都等于它的内对角。性性质质 3:半半圆圆或直径所或直径所对对的的圆圆周角都相等周角都相等,都等于都等于900(直角直角)122.如图，如图，AB是是 O的直径的直径,BD是是 O的弦，延长的弦，延长BD到点到点C,使使 DC=BD,连接连接AC交交 O与点与点F.（1）AB与与AC的大小有什么关的大小有什么关 系系?为什么为什么?（2）按角的大小分类）按角的大小分类,请你判断请你判断 ABC属于哪一类三角形，属于哪一类三角形，并说明理由并说明理由.(05宜昌宜昌)1.在在 O中，弦中，弦AB所对的圆心角所对的圆心角AOB=100，则弦，则弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为_.（05年上海）年上海）500或或1300典型例题典型例题2.如如图图，AB是是O的直径的直径,BD是是1.在在O中，弦中，弦AB所所对对13位置关系位置关系 数量关系数量关系设设O O 的半径为的半径为r r，点，点P P到圆心的距离到圆心的距离OP=OP=d d，则有：则有：点点P在在 O内内 点点P在在 O上上 点点P在在 O外外 dr d=r drrpdprd PrdOOO三、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系位置关系位置关系 数量关系数量关系设设O 的半径的半径为为r，点，点P到到圆圆心心14（2）直线）直线l和和 O相切相切 （1）直线）直线l 和和 O相离相离（3）直线）直线l和和 O相交相交drd=rdrdorldorlodrl两个交点两个交点没有交点没有交点一个交点一个交点2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:（4）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。辅助线：有交点，连圆心，证垂直半径辅助线：有交点，连圆心，证垂直半径辅助线：无交点，作垂直，证等于半径辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.（2）直）直线线l 和和O相切相切 （1）直）直线线l 和和O相离相离153、切线的性质、切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.OAl OA l l 直线直线l l是是 O的切线的切线,切切点为点为A3、切、切线线的性的性质质:(1)圆圆的切的切线线垂直于垂直于经过经过切点的半径切点的半径.(2)经经164、切线长定理：、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。BAPO PA、PB为为 O的切线的切线 PA=PB,APO=BPO从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线连线垂直平分垂直平分切点所成的切点所成的弦弦；平分平分切点所成的切点所成的弧弧。（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点4、切、切线长线长定理：定理：从从圆圆外一点引外一点引圆圆的两条切的两条切线线，它，它们们171.在在Rt ABC中，中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为为AB的中点，的中点，E为为AC的中点，以的中点，以B为圆心，为圆心，BC为半为半径作径作 B，问问：（：（1）A、C、D、E与与 B的位置关系如何？的位置关系如何？（2）AB、AC与与 B的位置关系如何？的位置关系如何？EDCAB典型例题典型例题1.在在Rt ABC中，中，C=90,BC=3cm,AC=4182.在在RtABC中中,B=90,A的平分线交的平分线交BC于于D,以以D为圆心为圆心,DB长为半径作长为半径作 D.试说明试说明:AC是是 D的切线的切线.F F过过D点作点作DFAC于于F点，然后证明点，然后证明DF等于圆等于圆D的半的半径径BD典型例题典型例题2.在在Rt ABC中中,B=90,A的平分的平分线线交交BC于于D,193、如如图图，AB在在 O的的直直径径，点点D在在AB的的延延长长线线上上,且且BD=OB,点点C在在 O上上,CAB=30.(1)CD是是 O的切线吗？说明你的理由的切线吗？说明你的理由;(2)AC=_，请给出合理的解释，请给出合理的解释.只要连接只要连接OC，而后证明，而后证明OC垂直垂直CD典型例题典型例题3、如、如图图，AB在在O的直径，点的直径，点D在在AB的延的延长线长线上上,且且BD=O204、AB是是 O的弦的弦,C是是 O外一点外一点,BC是是 O的切的切线线,AB交过交过C点的直径于点点的直径于点D,OACD,试判断试判断BCD的形状的形状,并说明你的理由并说明你的理由.典型例题典型例题4、AB是是O的弦的弦,C是是O外一点外一点,BC是是O的切的切线线,AB交交21典型例题典型例题5如图，已知ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是ABC的内切圆，切点分别是E、F、G，则AE=，BF=，CG=。典型例典型例题题5如如图图，已知，已知 ABC的三的三边长边长分分别为别为AB=4cm，B22不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA5、三角形的外接圆与内切圆、三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.不在同一直不在同一直线线上的三点确定一个上的三点确定一个圆圆.OCBA5、三角形的、三角形的231.如图如图,是某机械厂的一种零件平面图是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心圆心(要求正确画图要求正确画图,不写做法不写做法,保留痕迹保留痕迹).(2)若弦若弦AB=80cm,AB的中点的中点C到到AB的距离是的距离是20cm,求该零件所在的半径长求该零件所在的半径长.典型例题典型例题1.如如图图,是某机械厂的一种零件平面是某机械厂的一种零件平面图图.典型例典型例题题242 2、小红家的锅盖坏了、小红家的锅盖坏了、小红家的锅盖坏了、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖,需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的直径直径直径直径(锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径),),而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长20cm20cm 的直尺的直尺的直尺的直尺,根本不够长根本不够长根本不够长根本不够长,怎么办呢怎么办呢怎么办呢怎么办呢?小红想了想小红想了想小红想了想小红想了想,采取以下方采取以下方采取以下方采取以下方法法法法:首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴墙面量得墙面量得墙面量得墙面量得MAMA的长的长的长的长,即可求出即可求出即可求出即可求出锅盖锅盖锅盖锅盖的直径的直径的直径的直径,请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙,说说说说明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理.典型例题典型例题2、小、小红红家的家的锅锅盖坏了盖坏了,为为了配一个了配一个锅锅盖盖,需要需要测测量量锅锅盖的典型例盖的典型例题题252.半径：半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径边形的半径.中心：中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心个正多边形的中心3.中心角：中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距个正多边形的边心距OABFDCEG四、正多边形 各边相等各边相等,各角也相等的各角也相等的多边形是正多边形多边形是正多边形.2.半径：正多半径：正多边边形外接形外接圆圆的半径叫做的半径叫做这这个正多个正多边边形的半径形的半径.中中261.等边三角形的高为等边三角形的高为6，则它的边心距，则它的边心距，半径是半径是；2.正方形的边心距是正方形的边心距是4，则它的半径是，则它的半径是，边长是边长是；3.正六边形的半径是正六边形的半径是8，则它的边长是，则它的边长是，边心距是，边心距是，面积是，面积是；典型例题典型例题1.等等边边三角形的高三角形的高为为6，则则它的它的边边心距心距 ，半径是，半径是271.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或周长周长C=2r面积面积s=r2Or五、弧长、扇形面积1.圆圆的周的周长长和面和面积积公式公式2.弧弧长长的的计计算公式算公式3.扇形的面扇形的面积积公式公式S284.圆柱的展开图圆柱的展开图:rhS侧侧=2r hS全全=2r h+2 r24.圆圆柱的展开柱的展开图图:rhS侧侧=2r hS全全=2r h+2295.圆锥的展开图圆锥的展开图:rh5.圆锥圆锥的展开的展开图图:rh301、扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm,AOB=120,求扇求扇形的面积和周长形的面积和周长.典型例题典型例题2、圆锥的母线为圆锥的母线为5cm，底面半径为，底面半径为3cm，则圆锥，则圆锥的表面积为的表面积为_3、已知：在、已知：在RtABC,ABC,求以求以AB为轴旋转一周所得到的为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。几何体的全面积。1、扇形扇形AOB的半径的半径为为12cm,AOB=120,求扇形求扇形314、如图，圆锥的底面半径为、如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆出发，沿圆锥侧面爬行一周回到锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？线长是多少？BAOA典型例题典型例题4、如、如图图，圆锥圆锥的底面半径的底面半径为为2cm，母，母线长为线长为8cm，一只，一只蚂蚁蚂蚁从从32ECBAOD1.如图如图,在以在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S=AB2六、常见的基本图形及结论ECBAOD1.如如图图,在以在以O为圆为圆心的两个同心心的两个同心圆圆中中,大大圆圆332.如图如图,以等腰以等腰ABC的腰的腰AB为直径作为直径作 O交底边交底边BC于点于点D,则则:OCBAD点点D是是BC的中点的中点.2.如如图图,以等腰以等腰 ABC的腰的腰AB为为直径作直径作O交底交底边边BC于点于点D34OPBADC3.如图如图,已知已知PA、PB切圆切圆O于点于点A,B,过弧过弧AB上上任一点任一点E作圆作圆O的切线的切线,交交PA,PB于点于点C,D,则则:(1)PCD的周长的周长=2PA(2)COD=900-APBEOPBADC3.如如图图,已知已知PA、PB切切圆圆O于点于点A,B35OABCOABCDFEDFE4.如图如图,ABC各边分别切圆各边分别切圆O于点于点D、E、F.(1)DEF=900-A(3)S ABC=(a+b+c)r(2)BOC=900+AOABCOABCDFEDFE4.如如图图,A36ABCOEFD5.在在Rt ABC中中,ACB是直角是直角,三边分三边分别是别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c2a+b+cab或或r=ABCOEFD5.在在Rt ABC中中,ACB是直是直376.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为切线为切线,则则:(1)DC=AD+BC(2)DOC=9006.如如图图,AB是是圆圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为为切切线线,则则:(38课堂小结课堂小结课课堂小堂小结谈谈结谈谈你你对圆对圆的的认识认识！39
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