第三章-平面问题的直角坐标解答--课件

主主 要要 内内 容容3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-5 3-5 级数式解答级数式解答3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷1ppt课件3-1 3-1 多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目目 的：的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能，能解决什么样的力学问题。解决什么样的力学问题。逆解法逆解法 a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：显然显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。1一、一、一次多项式一次多项式22ppt课件3对应的应力分量：对应的应力分量：若体力若体力=0=0，则有：，则有：结论结论1 1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。应力无影响。3ppt课件二、二、二次多项式二次多项式1 a、b、c 为待定系数。为待定系数。(假定：假定：体力为 0;0;a 0,b 0,c 0)检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有2(可作为应力函数可作为应力函数 )3计算应力分量：计算应力分量：4ppt课件(1)对应于 ，应力分量 结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（a）。5ppt课件(2)对应于 ，应力分量 结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。6ppt课件(3)应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。7ppt课件xy2c2c2a结论结论2 2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。8ppt课件xy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy9ppt课件三、三、三次多项式三次多项式（1）a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数可作为应力函数 )(假定：假定：体力=0)=0)（3）计算应力分量：计算应力分量：10ppt课件对应的应力分量：结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）图图3-2a 的系数决定于力偶矩的大小。11ppt课件取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为 。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为 ，这就要求：前一式总能满足，而后一式要求：代入式（a）将式（a）中的 代入，上列二式成为：图3-212ppt课件因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改写为：结果与材料力学中完全相同。注意：注意：对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。13ppt课件但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。较小。xy1llMM说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M M 的面力的面力须须线性分布线性分布，且中心处为零，且中心处为零，结果才是结果才是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误则此结果不精确，有误差；差；(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。14ppt课件检验检验(x,y)是否满足双调和方程是否满足双调和方程2代入：代入：得得可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：四、四、四次多项式四次多项式115ppt课件3应力分量：应力分量：应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。4 4特例：特例：（须满足：（须满足：a+e=0）16ppt课件总结总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数(x,y)上加上加上或减去一个上或减去一个一次多项式一次多项式，对应力无影响。，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于对应于线性分布应力线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y)的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单直直线应力边界线应力边界问题）。问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说，本节说明如何由明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？问题：问题：以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量求出形变分量、位移分量？17ppt课件例：例：图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l，高为，高为 h，体力不计，试证以下函数，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。为常数。xyOlh解：解：(1)应力分量：应力分量：边界条件：边界条件：显然，上下边界无面力作用。显然，上下边界无面力作用。上下边界上下边界(2)18ppt课件xyOlh左边界左边界k右边界右边界kkl结论：结论：可解决悬臂梁可解决悬臂梁左端受集中力左端受集中力问题。问题。19ppt课件3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出xyl1hMM一、一、形变分量与位移分量形变分量与位移分量平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：1 1、形变分量、形变分量(a)将式（将式（a a）代入得：）代入得：(b)20ppt课件二、位移分量二、位移分量将式（将式（b b）代入几何方程）代入几何方程得：得：(c)将式（将式（c c）前两式积分，得：）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：为待定函数。为待定函数。整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）21ppt课件(f)式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。(e)式中：式中：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d d），得），得要使上式成立，须有要使上式成立，须有22ppt课件（1）讨论：讨论：当当 x=x0=常数常数 u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立。的假设成立。23ppt课件（2）将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程24ppt课件将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)(f)式，有式，有(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：与材力结果相同与材力结果相同三、三、位移边界条件的利用位移边界条件的利用1 1 两端简支两端简支、(f)25ppt课件2 2 悬臂梁悬臂梁(f)边界条件边界条件h/2h/2由式（由式（f f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。（中点不动）（中点不动）（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入式（代入式（f f），有），有可求得：可求得：26ppt课件(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程（b b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程（c c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界条件，确定常数。27ppt课件（2）若为平面应变问题，则将材料常数若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：（中点不动）（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）得到：得到：求得：求得：此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。（为什么？为什么？）28ppt课件 已知悬挂的单位厚度板，其长度为，宽度为板材料的比重为，试求在自重作用下板的应力分量和位移分量。解：将应力分量带入物理方程带入几何方程上两式积分后可得（a）（b）（c）29ppt课件将（c）式带入（b）式后可得移项后可得边界条件：（d）30ppt课件将（d）式代入边界条件代入可得31ppt课件EX4试检验能否做为应力函数?若能，试求应力分量(不计体力)，并画出如图所示杆件上的面力，指出该应力函数所能解的问题。32ppt课件 满足双调和方程,能作为应力函数。应力分量为：x方向的合力为，若偏心距为e，则弯矩为，由弯矩产生的最大正应力为，可以求得因此，所解的问题是偏心距为e的拉伸问题 33ppt课件3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q一、应力函数的确定一、应力函数的确定1分析：分析：主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：34ppt课件2由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数(3)由由 确定：确定：35ppt课件代入相容方程：代入相容方程：方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同的一、二次的系数、自由项同时为零。即：时为零。即：36ppt课件对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：积分得：积分得：(d)37ppt课件(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c)(d)(c)(d)代入代入 (b)(b)，有，有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9 9个待定常数。个待定常数。38ppt课件(e)2.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)39ppt课件3.3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1 1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：40ppt课件（2 2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)(a)上下边界（主要边界）上下边界（主要边界）由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式xyllqlqlq41ppt课件(i)(j)(k)(b)(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：xyllqlql42ppt课件(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。43ppt课件xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：三次抛物线三次抛物线44ppt课件4.4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1=1,截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式 (p)，有，有（3-6）45ppt课件xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比较，得：比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该项误差很小，可略；当，该项误差很小，可略；当 h/l较大时，须修正。较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-63-6），梁的左右边界存在水平面力：），梁的左右边界存在水平面力：说明式（说明式（3-63-6）在两端不适用。）在两端不适用。46ppt课件解题步骤小结：解题步骤小结：（1 1）（2 2）（3 3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。）的变化形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式，求得应力函数的关系式，求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。（4 4）（5 5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程：确定确定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式求得应力分量的关系式求得应力分量 。由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：47ppt课件附：附：应力函数确定的应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要点：要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。应力分量的函数形式。适用性：适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：设法由边界面力先确定设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其其中之一，然后将其代入代入 确定另外一个函数。确定另外一个函数。材力中，应力分量与梁内力的关系为：材力中，应力分量与梁内力的关系为：式中：式中：M(x)弯矩方程；弯矩方程；Q(x)剪力方程。剪力方程。48ppt课件例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1 1，=常数。常数。求：应力函数求：应力函数 及梁内应力。及梁内应力。xyObl解：解：(1)(1)应力函数的确定应力函数的确定xQM取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：（a）f(y)为待定函数为待定函数由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：（b）对对 x 积分一次，有：积分一次，有：49ppt课件对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：其中：其中：（c）由双调和方程确定待定函数：由双调和方程确定待定函数：（d）50ppt课件要使上式对任意的要使上式对任意的x，y成立，有成立，有（e）（f）由式由式（e）求得求得（g）由式由式（f）得得（h）（i）积分式积分式（h）和和（i）得得（j）（k）51ppt课件xyOblxQ QM M(l)包含包含9 9个待定常数，由边界条件确定。个待定常数，由边界条件确定。(2)(2)应力分量的确定应力分量的确定(m)(3)(3)利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数52ppt课件xyOblxQM(3)(3)利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数(o)代入可确定常数为：代入可确定常数为：代入式（代入式（m）得）得53ppt课件xyOblxQM注：注：也可利用也可利用 M（x）=0，考虑考虑进行分析。此时有：进行分析。此时有：为待定函数，由相容方程确定。为待定函数，由相容方程确定。54ppt课件llqlql1yzh/2h/2q剪力：剪力：可假设剪应力：可假设剪应力：55ppt课件 图示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：求简支梁的应力分量(体力不计)。56ppt课件解解 (1)由满足相容方程确定系数A与B的关系：(2)含待定系数的应力分量为 57ppt课件(3)由边界条件确定待定系数 ,58ppt课件由以上式子可求得 由此可解得 59ppt课件(4)应力分量为 (5)分析a.因对x取任意值时都成立，边界条件式(6)可分解为以下两个等式：,b.在处,能精确满足，由此得知在简支梁左端为精确解。60ppt课件3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点半逆解法半逆解法（因次或量纲分析法）（因次或量纲分析法）xyO问题的提法：问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：（楔形体的容重）；（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 (1)(1)分析：分析：61ppt课件(a)的量纲为：的量纲为：的形式应为：的形式应为：的线性组合。的线性组合。的量纲为：的量纲为：(b)由由 推理得：推理得：应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：xyO考虑到：考虑到：（常体力）（常体力）一、应力函数及应力分量一、应力函数及应力分量62ppt课件(a)显然，上述应力函数满足相容方程。显然，上述应力函数满足相容方程。2.2.边界条件的利用边界条件的利用(1)(1)x=0 （应力边界）：（应力边界）：代入式（代入式（a a），则应力分量为：），则应力分量为：(2)(2)应力分量应力分量63ppt课件xyON(b)(2)(2)（应力边界）：（应力边界）：其中：其中：将将(b)代入，有代入，有代入，可求得：代入，可求得：64ppt课件xyO(b)代入式（代入式（b），有：），有：(3-7)李维（李维（Levy）解答）解答沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布与材力结与材力结果比较：果比较：沿水平方向不变，在材力中无法求得沿水平方向不变，在材力中无法求得。沿水平方向线性分布，与材力中沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式偏心受压公式算得算得结果相同。结果相同。沿水平方向沿水平方向线性分布线性分布，材力中为，材力中为抛物线分布抛物线分布。65ppt课件结果的适用性：结果的适用性：（1 1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。其结果误差较大。（2 2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。部处结果误差较大。（3 3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。果误差较大。三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。法求解。求使坝稳定时的角度求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。，称为安息角。66ppt课件（1）（2）1.1.试按材料力学中确定应力的方法，写出图示试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）EX567ppt课件平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答习题课习题课逆解法与半逆解法1、逆解法：在求解弹性力学的一般问题中，假设基本未知函数(按位移求解中的位移分量，按应力求解中的应力分量)为已知函数，若在物体内部它们满足平衡方程，在物体的表面上满足给定的边界条件，则所假设的基本未知函数就是该问题的解。当用应力函数表示应力分量时，先假设一个应力函数，使它满足协调方程，然后求出应力分量，并根据边界条件确定物体表面受力状况，从而可知所假设的应力函数可以解决什么样的问题。这种求解弹性力学问题的方法叫做逆解法。（多项式解法）68ppt课件2、半逆解法：若假设基本未知函数中的一部分为已知，根据基本方程求出其余部分的未知函数，并使所有应力和位移分量满足给定的边界条件，则所设的来知函数和求得的未知函数就是该问题的解。当用应力函数求解问题时，根据边界形状及受力情况，先假设一部分应力分量，由此求出应力函数，使应力函数满足协调方程，由应力函数求出其余应力分量，并使所有应力分量满足静力边界条件，则所设的和求得的应力分量就是该问题的解。这种求解弹性力学问题的方法做半逆解法。69ppt课件是一个应力函数，并指出它在图中所示矩形板和作标系中能解决什么问题。（设矩形板长为 ，高为 ,体力不计)试证函数70ppt课件解 因为双协调方程为 其中显然满足，故可作为应力函数。应力分量为 71ppt课件在板的上边界处：在板的下边界处：72ppt课件在板的左端边界处：在板的右端边界处：73ppt课件由以上各式经过分析它能解决悬臂梁在上边界受均布载荷的问题，如图所示 74ppt课件矩形截面梁右端固定，左端受力偶M作用，且在O点受铰支承。求梁内应力分量。采用半逆解法，可设满足双调和方程后得，75ppt课件上下边界：得：76ppt课件左边界77ppt课件78ppt课件