第三章-势流理论课件

第三章有旋（涡）流与无旋流（有势流）3.1有旋流动涡量机翼尾涡、龙卷风等直观上的旋涡现象是大尺度流体团的强烈有旋流动。在有旋流动中，只有当流体团积聚较强涡量并绕某一公共轴线旋转时，才形成旋涡。有旋流动中，强烈旋涡运动主宰流动。从涡动力学出发研究旋涡运动，比用N-S方程来研究更加方便。涡面与涡管涡线1 涡量场涡通量速度环量Stokes定理沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等1 22 涡旋的运动学特性涡旋场内无源无汇对一个确定的涡管，它的任意截面上的涡通量是一个常数。该常数称为涡管强度J1 J2涡线和涡管都不能在流体内部中断所以有3 涡量连续性方程对理想流体得到亥尔姆霍兹方程4 不可压粘性流体质量力有势时涡量输运方程习题 已知速度场求（1）涡量及涡线方程 （2）在平面上通过单位面积的涡通量。3.2 无旋流动的势函数 1 无旋流动的势函数在无旋流动中：存在函数 ：函数 称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，称为有势流动，简称势流。无旋流动必然是有势流动！速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数。2 势函数的性质 势函数是调和函数不可压缩流体的连续性方程为：即拉普拉斯方程3 基本解叠加法势流叠加原理线性方程叠加原理基本流动2基本流动1新的复杂流动（1）基本解均匀直线流点源汇 流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。设坐标原点在点源处，径向流速偶极子：等强度的源汇无限靠近 若存在 （M为偶极强度），这样的源汇点叫偶极点。（2）圆球绕流设坐标原点在球心，求速度势边条件：物面不可穿透无穷远来流用基本解叠加求速度势时，据流动特征选择适当的基本解均匀来流+偶极子无穷远来流条件满足，再由物面条件求得偶极子强度速度场球面速度前后驻点球面压强球面压力系数01.0090180-1.25理想无旋绕流，球面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的，合力为零。与实际绕流相比，迎风面符合较好。大约从顶部开始，实际压强分布偏离理想情况。尤其在圆球后部，实际压强远低于理论压强。其原因在于流体粘性导致的尾部分离，产生压差阻力（形状阻力）。在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良好近似。3.3不可压流体的平面势流1 流函数 在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：存在流函数 ：一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数。流函数的性质：（1）等流函数线即是流线。流线（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。（3）平面势流的流函数是调和函数 。2 无旋流动 （1）势函数为调和函数。（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。3 流函数与势函数的关系（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交。柯西-黎曼条件4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之 比；如取 则网格成正方形。流网的性质：组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与 等势线互相垂直。流网内任一点A，的增值方向与 方向一致；的增值 方向为 方向向正 y 轴旋转90后所得的方向。3.4平面势流的复势问题1 复势 为复自变量复势是解析函数复势是解析函数势函数、流函数均为调和函数，且满足柯西-黎曼条件，故为一对共轭调和函数。其组成的复变函数是解析函数。复势的意义在于把两个二元实函数变换成复变量的一元复函数。2 解析复函数的性质（1）解析函数的方向导数和求导方向无关。（2）解析函数的和是解析函数。（3）解析函数的导数是解析函数，即可以无限求导。（4）解析函数的积分是解析函数。（5）在不包含原点的有限域中，解析函数的一般展开式为罗朗级数（6）留数公式：L为包含z0的封闭周线.3 复速度 复势的导数等于复速度的共轭4 绕流问题的复势提法 任一解析函数，其实、虚部均满足LAPLACE方程，必对应一个平面势流。具体绕流问题，考虑边界条件即可确定唯一复势：物面不可穿透：无穷远处：给定环量3.5平面势流的基本解1 均匀直线运动流场内速度的大小和方向均为常值的流动。实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。特例：若 ，则 若 ，则极坐标表示？复势2 点源及点汇（1）点源 设某平面有一产生流体的源泉O，流体自源泉O点流出后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。实例：泉眼向各方的流动；离心式水泵叶轮内的流体运动。极坐标表示为:复势复势（2）点汇 当产生流体的源泉O改为吸收流体的汇聚点O，四周流体均匀的向汇聚点集中，这种运动叫着点汇运动。点汇运动与点源运动仅符号相反。实例：地下水向井中的流动。极坐标表示为：3 点涡 流场中各流体质点均绕某点O以辐向流速 （c为常数）作圆周运动，因而流线为同心圆簇，而等势线则为自圆心O发出的射线簇，这种流动称为点涡(环流)。实例：自然界中龙卷风；离心式水泵;离心式除尘器等。极坐标表示为：复势4 角域流动复势为幂函数A为实数，n是正实数极坐标系中（1）n=1，w=Az，均匀流（2）n=1/2,当时，为两条零流线即该流动为绕角流动。(3)1/2n1时，为两条零流线即该流动是绕内角流动。例n=2时，为直角绕流3.6平面势流叠加举例1 源环流动点源流动与点涡流动叠加。实例：容器底部小孔旋转出流，旋风除尘器、旋风燃烧室、离心式水泵叶轮内流体。复势流线是一簇对数螺形线；等势线是与流线正交的螺形线。流线方程为：等势线方程为：2 偶极流 偶极流是把源点及汇点间距无穷小的等强度点源和点汇叠加起来形成的流动。设点源（Q）与点汇（Q）间的距离为2a，则任意点M的速度势为：若存在 （M为偶极强度），这样的源汇点叫偶极点。流线方程为：偶极流的流线是一族圆心在 y 轴上的圆族，并在坐标原点与 x 轴相切；等势线是一族圆心在 x 轴上的圆周族，并在坐标原点与 y 轴相切。复势3 均匀直线流中的偶极流无环量圆柱绕流 偶极点在坐标原点的偶极流与沿 x 轴的均匀直线流（）叠加而成。实例：河水流过桥墩，风吹过烟囱。复势流线方程为：其中，零流线方程为：解零流线方程得：零流线是由 x 轴和圆心在坐标原点，半径为 的圆组成。速度场物面速度前后驻点物面压强物面压力系数01.0090180-3.0理想无旋绕流，物面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的，合力为零。与实际绕流相比，迎风面符合较好。大约从顶部开始，实际压强分布偏离理想情况。尤其在圆柱后部，实际压强远低于理论压强。其原因在于流体粘性导致的尾部分离，产生压差阻力（形状阻力）。在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良好近似。4 均匀直线流+偶极流+点涡有环量圆柱绕流 r=r0是一条流线，圆。由伯努利方程可以确定圆面压力分布，积分只有升力，而没有阻力习题1 已知不可压平面势流的流函数求复势。习题2 无环量圆柱绕流的复势证明物面压强分布若图示水压差计读数求空气来流速度h3.7求解平面无旋绕流问题的保角变换法基本思想：利用复变函数的解析变换寻求满足边界条件的复势基本思想：利用复变函数的解析变换寻求满足边界条件的复势。1 解析变换是保角变换 任意两条曲线的夹角在解析变换下保持不变。xyk1k2k1k2解析复变函数2 基本方法 利用圆柱绕流的复势为基本流动，通过解析变换，构造各种平面无旋绕流的复势。给定物面线方程寻求解析变换满足无穷远点对应、无穷远处导数为常数的条件，使得即将给定的物面线型变换成半径为将给定的物面线型变换成半径为的圆的圆。然后将代入圆柱绕流基本解，即可得到绕给定物形流动之复势。3 常用解析变换（1）线性变换平面平面线性变换将平面上圆柱绕流变换成平面上一个新的圆柱绕流，圆心在，半径，来流速度，来流方向与轴夹角。（2）幂函数为实数。平面上的均匀流平面上的绕角流（3）儒可夫斯基变换逆变换平面平面该变换的几何性质：.是奇点，对应平面上的无穷远点。.无穷远点对应。无穷远处线段长度缩小1/2，但方向不变。圆，变换到z平面上往返线段。圆，变换到z平面上即.即为一椭圆，焦距长轴短轴射线变换到z平面即双曲线平面上圆周线与射线正交平面上圆周线与射线正交平面上椭圆线与双曲线正交平面上椭圆线与双曲线正交即保角变换习题：已知椭圆柱来流平行于椭圆的长轴，速度，已知环量。求该绕流的复势。3.8解有界域中平面无旋绕流问题的镜像法1 基本思想 当物体在贴近地面运动，或绕流物体下面有一固壁，则无旋绕流不仅要满足物面不可穿透条件，还要满足固壁不可穿透条件：xy设想壁面为一面镜子，将物体对设想壁面为一面镜子，将物体对称映射出一镜像，然后求解无解称映射出一镜像，然后求解无解域中二者的组合绕流，域中二者的组合绕流，x轴必是轴必是流线，即满足了固壁不可穿透条流线，即满足了固壁不可穿透条件。件。2 平面镜像定理 设不可压平面势流的无界域中，处有奇点，复势为则满足平壁边界条件的复势为式中即奇点的镜像关于平壁对称，而强度等于原奇点的共轭数。即奇点的镜像关于平壁对称，而强度等于原奇点的共轭数。例1 点源的镜像例2 点涡的镜像习题：求上述二流动的复势。习题：求上述二流动的复势。