第三晶体振动与晶体的热学性质剖析课件

第三章第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质3.3 3.3 晶格中振动的量子化和声子晶格中振动的量子化和声子 3.2 3.2 晶格振动的经典理论晶格振动的经典理论3.1 3.1 连续媒质中的弹性波连续媒质中的弹性波3.4 3.4 离子晶体中的长光学波离子晶体中的长光学波3.5 3.5 晶体比热容的量子理论晶体比热容的量子理论3.6 3.6 晶体热膨胀晶体热膨胀3.7 3.7 晶体热传导晶体热传导3.8 3.8 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法3.1 3.1 连续媒质中的弹性波连续媒质中的弹性波连续媒质中弹性波的波动方程：连续媒质中弹性波的波动方程：其中其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿为拉普拉斯算符，在笛卡儿 直角坐标系中直角坐标系中方程解的形式方程解的形式：为波矢量，方向为波的传播方向；为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率为波的角频率或圆频率.色散关系：色散关系：3.1.1 3.1.1 描写波的几个物理量描写波的几个物理量1.周期和频率周期和频率周期：周期：质点完成一次全振动的时间，用质点完成一次全振动的时间，用T表示表示质点角频率质点角频率把把 称为相位，则周期可表述为同一质点相位变化称为相位，则周期可表述为同一质点相位变化所需要的时间所需要的时间.频率：频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用表示表示所以：所以：角频率的意义就是角频率的意义就是 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数.2.波矢和波长波矢和波长等相面等相面（波阵面）（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢：波矢：其方向为其方向为波的传播方向波的传播方向平面波：平面波：等相面为平面的波等相面为平面的波.波长：波长：同一时刻相位相差同一时刻相位相差 的两点之间的长度，用的两点之间的长度，用 表示表示.波矢与波长的关系：波矢与波长的关系：3.相速度和群速度相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：对于弹性波，等相面满足对于弹性波，等相面满足常数常数，求其微分得：，求其微分得：由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.群速度：群速度：振幅传播的速度振幅传播的速度.大小为：大小为：对于连续媒质弹性波，对于连续媒质弹性波，而，而与与无关无关.所以：所以：群速度等于相速度群速度等于相速度.在晶体中传播的格波，色散关系在晶体中传播的格波，色散关系 不是简单的线性关系，不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等群速度和相速度不再相等.当当 不是常数时不是常数时目录目录3.1.2 3.1.2 周期性边界条件和状态密度周期性边界条件和状态密度1.周期性边界条件周期性边界条件波恩卡门边界条件波恩卡门边界条件晶体周期性边界条件晶体周期性边界条件所以波矢只能取所以波矢只能取的整数倍，即只能是一系列分立的值的整数倍，即只能是一系列分立的值.所以：所以：在在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为空间中一个分立的波矢量占据的体积为：注意：这里的注意：这里的 不是波矢量的增量，而是表示不是波矢量的增量，而是表示 空间的一个体积空间的一个体积元，式中元，式中 为所处理的晶体的体积为所处理的晶体的体积.把媒质分成原胞，在把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为方向上的基矢长度分别为a，b，c，原原胞数分别为胞数分别为则：则：为原胞总数为原胞总数为每个原胞体积为每个原胞体积所以：所以：倒格子原倒格子原胞的体积胞的体积目录目录倒格子原胞的体积与第一布里渊区的体积相等倒格子原胞的体积与第一布里渊区的体积相等.所以第一布里渊区所以第一布里渊区内分立波矢量的数目为：内分立波矢量的数目为：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立.2.状态密度状态密度状态密度：状态密度：单位频率间隔内的状态数（状态数等于分立的波矢数）单位频率间隔内的状态数（状态数等于分立的波矢数）角频率是波矢量的函数角频率是波矢量的函数色散关系色散关系所以：所以：为单位波矢间隔内的状态数为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应对于弹性波，一个波矢对应一个状态，而一个状态，而q空间中的波矢大小为空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数的球体内的分立波矢数Z为:目录目录所以：所以：对弹性波，对弹性波，则则:代入代入得：得：弹性波的状态密度曲线弹性波的状态密度曲线目录目录3.2 3.2 晶格振动的经典理论晶格振动的经典理论连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，其状态连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，其状态密度是频率的二次曲线。密度是频率的二次曲线。连续媒质中的弹性波是晶格动力学微观理论的极限。连续媒质中的弹性波是晶格动力学微观理论的极限。为全面了解晶格中的格点的运动情况，需在经典力为全面了解晶格中的格点的运动情况，需在经典力学中建立晶格原子的运动方程，并进而导出其色散学中建立晶格原子的运动方程，并进而导出其色散关系。关系。抛弃原子在平衡位置不动的假设，考虑其微小振动。抛弃原子在平衡位置不动的假设，考虑其微小振动。3.2.1 3.2.1 简谐振动简谐振动在平衡位置附近在平衡位置附近当振动很微小时当振动很微小时很小，只保留到很小，只保留到项，则原子间的相互作用能可表示为：项，则原子间的相互作用能可表示为：对于微小振动，此相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，对于微小振动，此相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.简谐近似简谐近似原子做微小振动时，原子间的相互作用能可以在平衡位置附原子做微小振动时，原子间的相互作用能可以在平衡位置附近展开近展开原子间的相互作用力原子间的相互作用力3.2.2 3.2.2 一维单原子链的振动一维单原子链的振动模型：模型：一维无限长的单原子链，原子间距一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为原子质量为m.最近邻近似下第最近邻近似下第n原子的运动方程原子的运动方程试探解试探解:得色散关系得色散关系:性质性质(1)：长波长波时时,格波成为弹性波格波成为弹性波解释解释:很大很大,本来不连续的晶格可视为连续本来不连续的晶格可视为连续.性质性质(2)：驻波特征：驻波特征当当时，即处于布里渊区边界时时，即处于布里渊区边界时能量不向外边传播能量不向外边传播 驻波驻波原因：入射波和反射波的迭加原因：入射波和反射波的迭加,可证明相邻原子的振动位相相反可证明相邻原子的振动位相相反性质（性质（3）：周期性）：周期性 周期为一个倒格子矢量周期为一个倒格子矢量可把可把q限制在限制在第一第一布里渊区布里渊区波矢相差倒格波矢相差倒格矢整数倍的两矢整数倍的两格波等效格波等效简约波矢简约波矢注：存在简并现象注：存在简并现象 q与与q+分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？两条曲线描写的格点的运动状态完全相同两条曲线描写的格点的运动状态完全相同.唯一不同的就是两格点之间的运唯一不同的就是两格点之间的运动状态动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使所以为了使xq（q）的关系成为单值，限制的关系成为单值，限制q在第一布里渊区，对一维来在第一布里渊区，对一维来说说q的取值的取值性质（性质（4）：）：第一布里渊区的分立波矢数晶体原胞数第一布里渊区的分立波矢数晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数证：使用周期性边界条件证：使用周期性边界条件第一布里渊区的长度：第一布里渊区的长度：第一布里渊区分立波矢数：第一布里渊区分立波矢数：性质（性质（5）：状态密度）：状态密度格波格波连续介质连续介质格波有截止频率格波有截止频率求解格波步骤：求解格波步骤：（4）由久期方程求色散关系由久期方程求色散关系（1）列运动方程列运动方程（2）取试探解取试探解（3）代入原方程，代入原方程，得到久期得到久期 方程方程（5）加周期边界条件加周期边界条件（6）求状态密度求状态密度或写成或写成3.2.3一维双原子链的振动一维双原子链的振动设设Mm 取平面波试探解取平面波试探解代入得到：代入得到：整理得：整理得：二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零解得：解得：2支格波的最大频率和最小频率及相应的波矢分别为：支格波的最大频率和最小频率及相应的波矢分别为：声学支声学支光学支光学支0q一维双原子晶格的色散关系一维双原子晶格的色散关系讨论讨论：（1），声频支退化为弹性波，声频支退化为弹性波,而光频支不会而光频支不会而而（2），声学波描写原胞质心运动，光学波，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各原子描写原胞中各原子之间的相对运动，并且质心保持不动之间的相对运动，并且质心保持不动.（波长很长）相邻原子的位相差很小（波长很长）相邻原子的位相差很小.表示质心的运动表示质心的运动a.声频支声频支质心不动质心不动b.光频支：光频支：相邻原子反向运动相邻原子反向运动光学波光学波描写原胞中各原描写原胞中各原子之间的相对运动，并子之间的相对运动，并且质心保持不动且质心保持不动.（3）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数晶格中振动的波矢数晶体的原胞数 晶格振动的频率数晶体的自由度数晶格振动的频率数晶体的自由度数证：加周期性边界条件证：加周期性边界条件N为原胞数为原胞数目录目录第一布里渊区：第一布里渊区：波矢数：波矢数：根据根据波矢数等于原胞数波矢数等于原胞数N.每个波矢每个波矢q对应两个频率对应两个频率,故晶格振动的频率数等于故晶格振动的频率数等于2N,也也就等于就等于晶体的自由度数晶体的自由度数.这两条规律对三维也是适用的这两条规律对三维也是适用的.目录目录思考题：思考题：N个原胞组成的晶体，每原胞内有个原胞组成的晶体，每原胞内有n个原子，求：晶个原子，求：晶体的自由度、晶格振动的波矢数、晶格振动的频率数、其中体的自由度、晶格振动的波矢数、晶格振动的频率数、其中声学支和光学支各为多少。声学支和光学支各为多少。3.3 3.3 晶格中振动的量子化和声子晶格中振动的量子化和声子3.3.1 3.3.1 晶格振动的哈密顿量晶格振动的哈密顿量一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：晶体势能：晶体势能：晶体动能：晶体动能：其中其中表示位移对时间的一次导数，也就是速度表示位移对时间的一次导数，也就是速度.系统的总哈密顿量为：系统的总哈密顿量为：格点位移格点位移H为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论.为此引为此引进简正坐标进简正坐标Q.目录目录目录目录该式实为该式实为在在q空间的傅里叶展开空间的傅里叶展开显然显然考虑到考虑到为实函数为实函数所以有所以有代表着一种独立的振动模式，而振动模式对不同格点正交代表着一种独立的振动模式，而振动模式对不同格点正交不同振动模式之间也正交不同振动模式之间也正交作业：证明上两个式子作业：证明上两个式子其逆变换为其逆变换为单个谐振子的哈密顿量单个谐振子的哈密顿量化简后可得化简后可得系统总能量：系统总能量：由量子力学，一个谐振子的能量与由量子力学，一个谐振子的能量与 的关系为：的关系为：证明利用了正则坐标证明利用了正则坐标Q的正交关的正交关系，参见系，参见P67目录目录将将的展开式代入系统的哈密顿量表达式的展开式代入系统的哈密顿量表达式三维复式格子三维复式格子N个原胞，每个原胞中含有个原胞，每个原胞中含有n个粒子个粒子结论：结论：（1）独立波矢数原胞数）独立波矢数原胞数N振动状态数晶体自由度数振动状态数晶体自由度数3nN（2）3nN独立振动分为独立振动分为3支声学波，支声学波，3(n-1)支光学支光学波波.3支声学波中有一支纵波，两支横波支声学波中有一支纵波，两支横波.n=1没有光学没有光学波，即波，即Bravais格子中不含有光学波格子中不含有光学波.n=2，3既有声既有声学波，又有光学波学波，又有光学波3.3.2 声子声子声子声子晶格振动的能量量子晶格振动的能量量子(准粒子准粒子)能量能量动量动量目录目录用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样.光子光子可以解释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而且可以解释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而且能解释晶体导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声能解释晶体导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声子吸收光子的能量而变热，晶体散射则可以理解为声子子吸收光子的能量而变热，晶体散射则可以理解为声子与光子的碰撞与光子的碰撞.电子与晶格的相互作用可以理解为电子电子与晶格的相互作用可以理解为电子与声子的相互作用与声子的相互作用声子是玻色声子是玻色(Bose)子，满足玻色分布子，满足玻色分布喻住房高层人喻住房高层人少，底层人多少，底层人多目录目录3.4 3.4 离子晶体中的长光学波离子晶体中的长光学波3.4.1 3.4.1 黄昆方程黄昆方程声学波描述原胞质心的运动声学波描述原胞质心的运动,光学波描述原胞中原子间的相对运光学波描述原胞中原子间的相对运动动.对晶体性质影响最大的格波是长声学波和长光学波对晶体性质影响最大的格波是长声学波和长光学波.如果如果 表示表示 的正离子的位移的正离子的位移，表示质量表示质量 的负离子的位的负离子的位移移.由正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为由正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为 ，这时作，这时作用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用.但是作用在但是作用在某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场.从宏观场强从宏观场强 中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强 .得到：得到：目录目录黄昆于黄昆于19511951年引进，称年引进，称黄昆方程黄昆方程目录目录令令利用约化质量利用约化质量可将方程组化为可将方程组化为引进约化位移引进约化位移可以得到如下的方程组可以得到如下的方程组物理物理意义意义：第一个方程代表振动方程第一个方程代表振动方程.第二个方程代表极化方程第二个方程代表极化方程.3.4.2 3.4.2 LSTLST关系关系设黄昆方程的解具有设黄昆方程的解具有平面波形式，即：平面波形式，即：目录目录其中其中 为波矢为波矢.位移位移 与波矢与波矢 垂直的部分构成横波，记为垂直的部分构成横波，记为 .位位移与波矢平行的部分构成纵波移与波矢平行的部分构成纵波,记为记为 .存在下列关系：存在下列关系：对对P和和 同样可分为纵场和横场同样可分为纵场和横场,纵纵场场(如库仑场如库仑场)旋度为旋度为0,横场横场(如感应如感应电场电场)散度为散度为0.在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移D D无散，即：无散，即：又因为纵场的旋度为又因为纵场的旋度为0 0，即：，即：将式子将式子代入代入得：得：目录目录的纵向方程的纵向方程将振动方程将振动方程分解为横向和纵向两个方程分解为横向和纵向两个方程和和得：得：代表横向振动方程代表横向振动方程代表纵向振动方程代表纵向振动方程所以：所以：（1 1）对于静电场）对于静电场这时这时可化为：可化为：目录目录考虑考虑并将并将代入纵向方程代入纵向方程代入代入（2 2）对于光频电场，）对于光频电场，W W0 0，晶体静电介电常数晶体静电介电常数可化为：可化为：晶体光频介电常数晶体光频介电常数得：得：这就这就LSTLST关系关系.目录目录 由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学纵波的频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波纵波的频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率.1 1结论结论：当当 ，而，而 时，则意味着晶体内时，则意味着晶体内部出现自发极化部出现自发极化.把趋向于零的把趋向于零的 称为光学软模称为光学软模.由由LSTLST关关系所发展出来的自发极化理论，叫做系所发展出来的自发极化理论，叫做“铁电软模理论铁电软模理论”.”.2 2目录目录3.4.33.4.3 介电常数与频率的关系介电常数与频率的关系消去消去W W得：得：另外：另外：从而有：从而有：目录目录所以：所以：联立：联立：利用利用LSTLST关系，上式可表示为：关系，上式可表示为：这个表达式表明：这个表达式表明：是介电常数是介电常数 的极点，的极点，是介电常数是介电常数 的零点的零点.目录目录3.4.43.4.4 极化激元极化激元实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振动模动模.真空中的电磁波色散关系：真空中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：实质上实质上,求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：目录目录只要将只要将代入代入就相当于将电磁波振动与光学格波振动进行了耦合就相当于将电磁波振动与光学格波振动进行了耦合从而可求得从而可求得2 2支振动的色散关系支振动的色散关系和和这种耦合的量子称为极化激元这种耦合的量子称为极化激元.由图可以看出：由图可以看出：一支耦合振动模一支耦合振动模时为纯时为纯TO振动模，频率即为无耦合时的横光学波振动模，频率即为无耦合时的横光学波为纯为纯TO振动模，但频率为振动模，但频率为时为高频电磁时为高频电磁频率频率.在中间在中间k值区域，值区域，代表的振动模是电磁波代表的振动模是电磁波与横光学格波的混和模式，不能区分出格波和电磁波与横光学格波的混和模式，不能区分出格波和电磁波.是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体.满足满足时低频电磁波，时低频电磁波，波波.另一支耦合模另一支耦合模目录目录3.5 3.5 晶格比热容的量子理论晶格比热容的量子理论固体物理学中的比热容一般指定容热容：固体物理学中的比热容一般指定容热容：为固体在温度为固体在温度T时的热力学平均能量时的热力学平均能量.由两部分组成由两部分组成其中其中 是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比热容；是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比热容；是电是电子热运动的结果，称为电子比热容子热运动的结果，称为电子比热容,仅在低温才起作用仅在低温才起作用.3.5.1 3.5.1 经典理论的困难经典理论的困难能量按自由度均分能量按自由度均分,每个简谐振动的平均能量为每个简谐振动的平均能量为(N个粒子个粒子,3N个自由度个自由度)目录目录杜隆杜隆-珀替定律珀替定律:摩尔比热容摩尔比热容:是一个与材料性质和温度无关的常数是一个与材料性质和温度无关的常数.实验结果实验结果:当当3.5.2 3.5.2 晶格比热容的一般公式晶格比热容的一般公式由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不再是由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不再是 ，如果忽，如果忽略零点能，而成为略零点能，而成为得：得：目录目录晶体的总能量为晶体的总能量为设设表示角频率在表示角频率在 之间的格波数之间的格波数式中：式中：是最大的角频率是最大的角频率，为晶体中的原子数为晶体中的原子数而晶体的比热容成为：而晶体的比热容成为：目录目录3.5.2 3.5.2 爱因斯坦模型爱因斯坦模型爱因斯坦假设爱因斯坦假设:晶体中各原子的振动均是相互独立的晶体中各原子的振动均是相互独立的.且且振动频率相同振动频率相同(或者说或者说,晶体中各原子均以一种频率振动晶体中各原子均以一种频率振动)目录目录爱因斯坦爱因斯坦 比热函数比热函数目录目录1.高温时高温时杜隆杜隆-珀替定律珀替定律2.低温时低温时3.5.4 德拜模型德拜模型假设：把晶格视为各向同性连续介质假设：把晶格视为各向同性连续介质.即把格波视为弹性波，即把格波视为弹性波，且纵波与横波具有相同的相速度且纵波与横波具有相同的相速度.德拜不认为所有振动模为单一频率德拜不认为所有振动模为单一频率,而应有一个宽广的分布而应有一个宽广的分布其中其中是是1支纵波支纵波,2支横波的传播速度的总效果支横波的传播速度的总效果态密度态密度见第一节，见第一节，Vc为晶体体积为晶体体积.上限频率上限频率德拜温度德拜温度:最大波矢量最大波矢量由由(85)可得系可得系统总能量：统总能量：目录目录因此：因此：讨讨论论（1）低温）低温目录目录说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波.因为只有因为只有长声学波才能视晶体为弹性介质长声学波才能视晶体为弹性介质.（2）高温）高温杜隆珀替定律杜隆珀替定律（4）上限波矢上限波矢:低温被激发的声子：低温被激发的声子：这一性质刚好与电子相反，在第五章我们会注意到首先被激发的电子是这一性质刚好与电子相反，在第五章我们会注意到首先被激发的电子是波矢比较大的即费米面附近的电子波矢比较大的即费米面附近的电子.3.6 3.6 晶体热膨胀晶体热膨胀，对晶格动力学无影响，取对晶格动力学无影响，取令：令：则则目录目录简谐近似时简谐近似时,势能关于平衡位置势能关于平衡位置对称对称,原子间距离的平均值不随原子间距离的平均值不随温度升高增大温度升高增大.但计入非谐效应但计入非谐效应时时,势能不对称势能不对称,温度升高时温度升高时,平平均距离会增大均距离会增大-热膨胀热膨胀按玻尔兹曼统计，按玻尔兹曼统计，平均位移是：平均位移是：对简谐近似对简谐近似,U是二次函数是二次函数,故分子中被积函数是奇函数故分子中被积函数是奇函数,积分为积分为0考虑非谐项时考虑非谐项时,有有近似下，线胀系数与温度无关，在更高级近似下，近似下，线胀系数与温度无关，在更高级近似下，线胀系数与温度有关线胀系数与温度有关.目录目录线胀系数线胀系数:分子间平均距离随温度升高而增大分子间平均距离随温度升高而增大-热膨胀热膨胀3.7 3.7 晶体热传导晶体热传导 简谐近似，格波是独立的，某一格波处于某一能级不简谐近似，格波是独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现.实际晶体，势能的非谐振项的存在，振子相互间要发生实际晶体，势能的非谐振项的存在，振子相互间要发生作用，声子间有能量交换作用，声子间有能量交换.一种频率的声子将会转换成另一种频率的声子将会转换成另一种频率的声子，即一种声子湮灭，另一种声子产生，经一种频率的声子，即一种声子湮灭，另一种声子产生，经过一定的时间后，各种声子的分布就能达到平衡过一定的时间后，各种声子的分布就能达到平衡.3.7.1 3.7.1 声子散射、声子散射、N N过程和过程和U U过程过程2个声子相互作用而湮灭，产生第个声子相互作用而湮灭，产生第3个声子，在这过程中满足能量守个声子，在这过程中满足能量守恒和波矢选择定则：恒和波矢选择定则：,正常过程（正常过程（N过程）过程）,满足能量守恒和动量守恒；满足能量守恒和动量守恒；,倒逆过程（倒逆过程（U过程）能量守恒，动量发生明显变化过程）能量守恒，动量发生明显变化3.7.2 3.7.2 热导率热导率在在U过程中过程中 已超出第一布里渊区，已超出第一布里渊区，只有加上某个倒格子矢量才能回到第只有加上某个倒格子矢量才能回到第一布里渊区一布里渊区.晶体晶体振动振动格波格波声子气声子气简谐近似简谐近似理想气体理想气体热传导率为无穷大热传导率为无穷大非谐作用非谐作用声子有相互作用声子有相互作用非理想气体非理想气体U过程中声子作用前后动量变化大过程中声子作用前后动量变化大,动量方向几乎相反动量方向几乎相反,是产生晶是产生晶格热阻的主要物理机制格热阻的主要物理机制.N过程中过程中,较小较小,未未超出第一布里渊区超出第一布里渊区,总动量不变总动量不变,不影不影响热流方向响热流方向,对热阻无贡献对热阻无贡献.U过程过程产生热传导的条件产生热传导的条件:存在温度梯度存在温度梯度热流密度热流密度单位时间内单位时间内通过垂直温度梯度方向的单位面积的能量通过垂直温度梯度方向的单位面积的能量.为热传导系数为热传导系数目录目录热阻形成的原因分析热阻形成的原因分析:力学观点不能解释力学观点不能解释.如将格波视为机械波如将格波视为机械波,其传播时不需要温其传播时不需要温度梯度度梯度,即热导率无限大即热导率无限大,不存在热阻不存在热阻.N过程也不能解释热阻的形成过程也不能解释热阻的形成.如开始动量沿如开始动量沿x方向方向,N过程动过程动量不变量不变,晶体携能量沿晶体携能量沿x方向传播方向传播,无需温度梯度无需温度梯度,无热阻无热阻.U过程可解释热阻的成因过程可解释热阻的成因.U过程可以改变声子气的波矢过程可以改变声子气的波矢,无规无规碰撞使波矢在小范围达到热平衡碰撞使波矢在小范围达到热平衡,只有存在温度梯度时只有存在温度梯度时,不同小范不同小范围内才能交换声子围内才能交换声子.无温度梯度则无热流无温度梯度则无热流,有热阻有热阻.研究发现热流密度与晶体中的温度梯度成正比研究发现热流密度与晶体中的温度梯度成正比气体热导系数气体热导系数:声子气也具有同样的规律声子气也具有同样的规律证明：证明：声子在声子在x方向上的运动速度方向上的运动速度:平均自由时间平均自由时间:自由时间内所走路程自由时间内所走路程:热导率的定量讨论热导率的定量讨论:两次碰撞之间温度的变化为两次碰撞之间温度的变化为:平均自由程平均自由程,为平均速率，为平均速率，单位体积内声子的比热容单位体积内声子的比热容单位时间内通过单位面积的热量：单位时间内通过单位面积的热量：目录目录 令声子密度为令声子密度为n,一个声子对比热容的贡献一个声子对比热容的贡献c,单位体积内声单位体积内声子的比热容为子的比热容为C=nc,体积内声子的比热容为体积内声子的比热容为体积内声子温度改变体积内声子温度改变时时,热量的增量为热量的增量为3.83.8 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法方法：方法：利用光子及中子束入射到晶体中利用光子及中子束入射到晶体中,观察中子、光子入射前观察中子、光子入射前后方向及能量的变化，可以求得声子的能量及其后方向及能量的变化，可以求得声子的能量及其 波矢量波矢量.原理原理：光子、中子、声子相互作用遵守能量守恒和波矢选择定则：光子、中子、声子相互作用遵守能量守恒和波矢选择定则.振动谱振动谱色散关系：色散关系：光散射分两类：光散射分两类：发射或吸收光学声子的散射发射或吸收光学声子的散射喇曼散射喇曼散射 发射或吸收声学声子的散射发射或吸收声学声子的散射布里渊散射布里渊散射3.8.13.8.1光子的非弹性散射光子的非弹性散射散射过程遵守能量守恒和波矢选择定则散射过程遵守能量守恒和波矢选择定则目录目录散射前光子：散射前光子：参与散射的声子：参与散射的声子：散射后光子：散射后光子：“+”发射一个声子发射一个声子“”吸收一个声子吸收一个声子正常过程正常过程非正常过程非正常过程布里渊散射：布里渊散射：光子受长声学声子的散射光子受长声学声子的散射喇曼散射：喇曼散射：光子受长光学声子的散射光子受长光学声子的散射布里渊情况下：布里渊情况下：声子声子光子光子目录目录的方向可以由实验测定，因此可以计算出的方向可以由实验测定，因此可以计算出 只要测得光子的前后频率变化就可以计算出只要测得光子的前后频率变化就可以计算出由由 可以得到声子的振动谱可以得到声子的振动谱.利用红外线、可见光只能研究长波声子与光子的相互作用；利用利用红外线、可见光只能研究长波声子与光子的相互作用；利用x光可得到整个波长范围中的振动谱，但光可得到整个波长范围中的振动谱，但x光散射前后频率变化的准光散射前后频率变化的准确测定技术上有困难，中子散射就能解决此问题。确测定技术上有困难，中子散射就能解决此问题。目录目录能量守恒：能量守恒：动量守恒：动量守恒：发射声子发射声子 吸收声子吸收声子如果中子能量很小，波矢限于第一布里渊区时：如果中子能量很小，波矢限于第一布里渊区时：目录目录中子散射前后的方向关系可计算出声子的波矢中子散射前后的方向关系可计算出声子的波矢q，这样就可以测定声子的振动谱这样就可以测定声子的振动谱测定了中子前后能量差，即可计算出声子的频率测定了中子前后能量差，即可计算出声子的频率3.8.3.8.2 2 中子的非弹性散射中子的非弹性散射a.原理：波粒二象性：原理：波粒二象性：不发射也不吸收时：不发射也不吸收时：如果如果时，动量关系就只能写成时，动量关系就只能写成即即时，只能吸收声子，而此时中子时，只能吸收声子，而此时中子能量为：能量为：其中其中是晶格倒格子点阵中最小的倒格矢是晶格倒格子点阵中最小的倒格矢.目录目录b.保证不发射声子的条件保证不发射声子的条件例：一条原子链：例：一条原子链：倒格矢倒格矢设设时，光子（时，光子（x光）的能量光）的能量目录目录