第七节-函数的单调性与曲线的凹凸性课件

第七节第七节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定理定理1 1一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得xyOabx1x2ABxyOabx1x2AB容易发现，如果 在 上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即 对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出在 内的导数的零点一般称导数 在区间内部的零点为函数 的驻点 例例1 讨论函数 的单调性 确定函数的单调区间的一般步骤：第一步 求出函数 在考察范围 (除指定范围外，一 般是指函数的定义域)内部的全部驻点和不可导的 点（因为函数 在经过不可导点时也会改变单 调特性，如 在经过 不可导点时，由 单调减少变为单调增加）；第二步 用这些驻点和不可导的点将 分成若干个子区间第三步 确定 在各个子区间上的符号，从而利用定 理3.4判定函数 的单调性为了清楚，常采用列表方式 解题过程例例2 讨论函数 的单调性 解题过程例例3 证明当 时，解题过程(下面内容)函数的极值返回返回返回例例4 4解解单调区间为单调区间为例例5 5证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3x5x6x7BC函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法定义定义定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)证明从略 求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例4求函数 的极值例例5求函数 的极值例例6求函数 的极值(以下内容)函数的最大值与最小值二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3x5x6x7BC步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1,x2,xn,则比较则比较f(a),f(x1),f(xn),f(b)的的大小大小,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值例例3 3解解计算计算比较得比较得求求点点,求求值值,比比较较例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁（图（图3 31717）.问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大能使梁的抗弯截面模量最大.解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图由图3 31717看出，看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：因而因而图图317解得解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在，在（在（0 0，d)内只有一个根内只有一个根当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;(以下内容)曲线的凹凸性与函数图形的描绘二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定理定理2 2注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法拐点的概念拐点的概念 例例2 求曲线 的凹凸区间与拐点 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定义定义定理定理2 2例例7 7解解注意到注意到,注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法证证拐点的概念拐点的概念方法方法1:1:例例8 8解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例9 9解解注意注意:例例1010解解