第七章-机器人运动学-课件

第七章 机器人运动学n机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩n将机器人的解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系n本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。机器人技术及空间应用机器人技术及空间应用2020/10/2817.1机器人运动学所讨论的问题7.1.1研究的对象机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人。PUMA560HexapodFanuc manipulator2020/10/282精品资料2020/10/283n n这两种机器人有所不同：这两种机器人有所不同：串串联联机机器器人人：工工作作空空间间大大，灵灵活活，刚刚度度差差，负负载载小小，误误差累积并放大。差累积并放大。并并联联机机器器人人：刚刚性性好好，负负载载大大，误误差差不不积积累累，工工作作空空间间小，姿态范围不大。小，姿态范围不大。本章讲解以本章讲解以串联机器人串联机器人为主。为主。2020/10/2847.1.2运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学逆问题2020/10/285研究的两类问题:n运动学正问题-已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐次变换问题）。n运动学逆问题-已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位置），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？2020/10/2867.2机器人杆件，关节和它们的参数7.2.1杆件与关节n操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成n每一对关节杆件构成一个自由度，因此N个自由度的操作机就有N对关节杆件。n0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连n关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。关关关关节节节节杆件杆件杆件杆件末端操作手末端操作手末端操作手末端操作手机座机座机座机座两自由度关节两自由度关节两自由度关节两自由度关节2020/10/287关节：n一般说来，两个杆件间是用低副相联的n只可能有6种低副关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：旋转旋转棱柱形棱柱形柱形柱形球形球形螺旋形螺旋形平面平面2020/10/2887.2.27.2.2杆件参数的设定杆件参数的设定条件条件n n关节串联关节串联n n每每个个杆杆件件最最多多与与2 2个个杆杆件件相相连连，如如A Ai i与与A Ai i-1-1和和 A Ai i+1+1相相连连。第第 i i 关关节节的的关关节节轴轴 A Ai i 位位于于2 2个个杆杆件件相相连连接接处处，如如图图所所示，示，i i-1-1关节和关节和 i i+1+1关节也各有一个关节轴关节也各有一个关节轴 A Ai i-1-1 和和 A Ai i+1+1。AiAi+1Ai-12020/10/289杆件参数的定义、和n li i 和 li i-1-1 在 Ai i 轴 线上的交点之间 的距离。AiAi+1Ai-1n li i 和和 li i-1-1 之间的夹之间的夹 角，按右手定则角，按右手定则 由由li i-1-1 转向转向 li i。由由运运动动学学的的观观点点来来看看，杆杆件件保保持持其其两两端端关关节节间间的的形形态态不不变变，这这种种形形态态由由两两个个参参数数决决定定：杆杆件件长长度度 li 和和杆杆件件扭扭转转角角 。杆杆件件的的相相对对位位置置关关系系，由由另另外外两两个个参参数数决决定定：杆件的距离杆件的距离 di 和杆件的回转角和杆件的回转角 。n li 关节关节关节关节 A Ai i 轴和轴和轴和轴和 A Ai i+1+1 轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。轴线公法线的长度。n n 关节关节关节关节i i 轴线与轴线与轴线与轴线与i i+1+1轴线在垂直于轴线在垂直于轴线在垂直于轴线在垂直于l li 平面内的夹角。平面内的夹角。平面内的夹角。平面内的夹角。2020/10/2810v 上述上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系。在转动关节中，对位置关系。在转动关节中，li,i,di是固定值，是固定值，i是变量。是变量。在移动关节中，在移动关节中，li,i,i是固定值，是固定值，d i 是变量。是变量。2020/10/28117.3 机器人关节坐标系的建立n对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（儿坐标系（xi,yi,zi），（），（i=1,2,n），），n是自由度是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。）个坐标系。n基座坐标系基座坐标系 O0定义为定义为0号坐标系（号坐标系（x0,y0,z0）,它也是它也是机器人的惯性坐标系，机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但方向可任选，但z0轴线必须与关节轴线必须与关节1的轴线重合，位的轴线重合，位置和方向可任选；置和方向可任选；n最后一个坐标系（最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，关节），可以设在手的任意部位，但必须保证但必须保证 zn与与zn-1 垂直。垂直。2020/10/28127.3.1D-H关节坐标系建立原则n机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。n为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法），建立原则如下：u右手坐标系右手坐标系u原点原点Oi：设在：设在li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 uZi轴：轴：与与Ai+1关节轴重合，指向任意关节轴重合，指向任意 uXi轴：轴：与公法线与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 uYi轴：轴：按右手定则按右手定则 2020/10/28137.3.2关节坐标系的建立方法n原点Oi：设在li与Ai+1轴线的交点上 nzi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 nxi轴：与公法线li重合，指向沿li由Ai轴线指向Ai+1轴线 nyi轴：按右手定则 AiAi+1Ai-1 杆件长度杆件长度杆件长度杆件长度l li i 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆件扭杆件扭杆件扭杆件扭转转角角角角 i i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量 d di i 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回杆件回杆件回杆件回转转角角角角 i i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi2020/10/2814两种特殊情况n两轴相交，怎么建立坐标系？Oi Ai与Ai+1关节轴线的 交点；zi Ai+1轴线；xi zi和zi-1构成的平面的 法线 ；yi 右手定则；AiAi+1zi-1zixiyiOi2020/10/2815n两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立 Oi-1然后建立Oi+1最后建立 Oi注意：注意：由于由于Ai和和Ai+1平行，所以公法线平行，所以公法线 任意点在任意点在A点位置；点位置；按按照照先先前前的的定定义义，di为为Oi-1点点和和A点点之之间间的的距距离离，di+1为为B点点和和C点点间间的的距距离离，这这样样设设定定可可以以的的，但但我我们们可可以以变变更更一一下下，将将0i点点放放在在C点点，定义定义Oi在在li+1和和Ai+1轴的交点上，这样使轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时使计算简便，此时di=2020/10/28167.4相邻关节坐标系间的齐次变换过程机器人运动学正解n将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；n沿 zi-1轴平移距离 di，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；n沿 xi 轴平移距离 li，使两坐标系原点及x轴重合；n绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合AiAi+1Ai-12020/10/2817机器人的运动学正解方程 D-H变换矩阵变换矩阵=2020/10/2818例题试求立方体中心在机座坐标系0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于0的姿态是什么？在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。xyz2020/10/2819解1：因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。2020/10/2820解2：X机2020/10/2821例：Stanford机器人运动学方程2020/10/2822d3A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5z6x6y6O6d6z0y0 x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线yi轴：按右手定则 li 沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到Oi 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至Oi 1 坐标坐标 系原点的距离系原点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi2020/10/2823解：解：2020/10/28242020/10/28252020/10/28262020/10/28277.5工作空间n工作空间:末端操作手可以到达的空间位置集合。n如何获得工作空间:利用正运动学模型,改变关节变量值。n灵活空间:末端操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合。n可达空间:末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置集合。n 空洞：空洞：在在 zi轴周围，参考点轴周围，参考点Pn沿沿z的全长均不能达到的空间。的全长均不能达到的空间。n 空腔：空腔：参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。空洞空洞空腔空腔2020/10/2828如何确定可达空间如何确定可达空间?首先，首先，令令 3 3变化变化示例:平面3连杆机器人l l2 2l l3 3l l1 1然后然后然后然后 2 2变化变化变化变化2020/10/28297.6机器人末端操作器位姿的其它描述方法n n用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9 9个元素个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。直接得出一组完备的广义坐标。n n一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为向，被称为欧拉角欧拉角的三个角度，的三个角度，、就是这种广就是这种广义坐标。义坐标。n n有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中在表中 2020/10/2830 3种最常见的欧拉角类型uvwx(u)y(v)z(w)ouvwuvW类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 2020/10/2831类型类型2：所得的转动矩阵为右乘所得的转动矩阵为右乘 2020/10/2832类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）2020/10/28337.7运动学逆问题n正运动学问题正运动学问题:已知关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿.n逆运动学问题逆运动学问题:已知末端操作手的位姿，求解对应的关节变量.n为为什么逆运什么逆运动动学学问题问题更困更困难难?可能存在多解或无解通常需多次求解非线性超越方程2020/10/2834解的存在性n n目标目标点点应应位于工作空位于工作空间间内内n n工作空间的计算通常较困难，通过机器人结构设计工作空间的计算通常较困难，通过机器人结构设计时的考虑可以简化时的考虑可以简化n n可能存在多解，如何选择最合适的解？可能存在多解，如何选择最合适的解？存在双解存在双解!2020/10/2835求解方法n n如果各关节可用某算法获得，一个机械手是有解的如果各关节可用某算法获得，一个机械手是有解的.算法算法应包含所有可能解应包含所有可能解.封闭形式解数值解n方法n我们对封闭形式的解法更感兴趣 代数方法 几何方法2020/10/2836n可解性的重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，其通解一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于 0 或 90的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。n对于给定的机器人，能否求得它的运动学逆解的解析式（也叫封闭解）。运动学逆问题的可解性2020/10/2837 运动学逆问题的多解性n机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与实际情况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。n通常采用如下方法剔除多余解：若该关节运动空间为 ，则应选 。1根据关节运动空间合适的解。例如求得机器人某关节角的两个解为2020/10/2838 2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：若该关节运动空间为 ，且 ，则应选 3根据避障要求得选择合适的解4逐级剔除多余解 对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中选择合适的解。2020/10/2839n逆运动学的定义n逆运动学的存在性n逆运动学的可解性n逆运动学的多解性（剔除办法）n逆运动学解法（数值解、解析解）运动学逆问题How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学逆问题2020/10/2840 运动学逆问题解法运动学逆问题解法n n用未知的逆变换逐次用未知的逆变换逐次左乘左乘，由乘得的矩阵方程的元，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边程的右边移到左边n n考察方程式左、右端两端对应元素相等，以产生一考察方程式左、右端两端对应元素相等，以产生一个有效方程式。个有效方程式。n n然后求这个三角函数方程式，以求解未知数然后求这个三角函数方程式，以求解未知数 n n把下一个未知数移到左边把下一个未知数移到左边n n重复上述过程，直到解出所有解重复上述过程，直到解出所有解n n无法有数种可能解中直接得出合适的解，需要通过无法有数种可能解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择人为的选择Paul 等人提出的方法(1981年，解析解):2020/10/2841 Paul 等人提出的方法2020/10/2842 因此，通常用反正切函数 来确定 值，它可把 校正到适当的象限，其定义为：不能用反余弦 来求解关节角，因为这样求解不仅关节角的符号不确定（），而且角的精度也难以保证（）。2020/10/2843例：欧拉角第一种类型，求逆类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 2020/10/2844解：2020/10/2845由式中矩阵（由式中矩阵（由式中矩阵（由式中矩阵（1 1，3 3）元素相等，有）元素相等，有）元素相等，有）元素相等，有2020/10/2846 斯坦福机器人运动学逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解2020/10/2847式中：式中：由两端矩阵对应元素相等可得：由两端矩阵对应元素相等可得：2020/10/2848作三角变换：作三角变换：式中：式中：得到：得到：即有：即有：（）2020/10/2849由由1,4和和2,4元素对应相等，得：元素对应相等，得：2020/10/2850式中第四列：式中第四列：式中第四列：式中第四列：2020/10/2851式中第三列：式中第三列：2020/10/2852高腕高腕低腕低腕2020/10/28537.8雅克比矩阵 雅可比矩阵定义雅可比矩阵定义2020/10/2854上式上式 雅可比矩阵性质雅可比矩阵性质1、建立起机器人末端笛卡尔速度与关节速度的映射关系；、建立起机器人末端笛卡尔速度与关节速度的映射关系；2、雅可比矩阵是时变的线性变换；、雅可比矩阵是时变的线性变换；3、矩阵的行数对应机器人在笛卡尔空间的操作自由度数，、矩阵的行数对应机器人在笛卡尔空间的操作自由度数，列数对应机器人的关节数；列数对应机器人的关节数；4、当雅可比矩阵的行列式值、当雅可比矩阵的行列式值 时，机器人时，机器人 处于奇异状态，此时机器人将失去一个或几个自由度。处于奇异状态，此时机器人将失去一个或几个自由度。2020/10/2855 雅可比矩阵构造方法雅可比矩阵构造方法2020/10/2856 zi-1轴上的单位矢量。轴上的单位矢量。2020/10/2857 操作器末端点在操作器末端点在i-1坐标系中的位置矢量。坐标系中的位置矢量。2020/10/2858 例：构造图示机器人雅克比矩阵例：构造图示机器人雅克比矩阵2020/10/28592020/10/28602020/10/2861