第七章--离散控制系统教学课件

1首页上页下页末页结束自动控制理论7.1 7.1 绪言绪言一、连续系统与离散系统一、连续系统与离散系统 连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通 过对连续信号采样得到的，故又称采样信号。过对连续信号采样得到的，故又称采样信号。计算机控制系统及其特点：计算机控制系统及其特点：2首页上页下页末页结束自动控制理论二、采样过程与采样定理二、采样过程与采样定理将连续信号变为离散信号的过程称为将连续信号变为离散信号的过程称为采样采样。实现采样的装置。实现采样的装置叫叫采样器，采样器，或采样开关。图中，相邻两次采样的时间间隔称或采样开关。图中，相邻两次采样的时间间隔称为为采样周期采样周期。3首页上页下页末页结束自动控制理论采样开关每经过一定的时间采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次闭合闭合一次，每次闭合的时间为的时间为 ，T为采样周期为采样周期。由于采样持续时间由于采样持续时间 远小于采样周期远小于采样周期T，故可以认故可以认为为 ，理想采样器。，理想采样器。理想采开关的输出理想采开关的输出 是一脉冲系列，用数学公式是一脉冲系列，用数学公式表达则为：表达则为：采样频率采样角频率脉冲信号4首页上页下页末页结束自动控制理论采样器的输出信号采样器的输出信号 为：为：在实际的控制系统中，通常当在实际的控制系统中，通常当t0时，时，e(t)=0，因此，上式改写为：因此，上式改写为：其拉氏变换为：其拉氏变换为：5首页上页下页末页结束自动控制理论采样周期对采样效果的影响采样周期对采样效果的影响 6首页上页下页末页结束自动控制理论由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信号，每由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信号，每个脉冲信号之后有一段无信号的时间间隔，该时间个脉冲信号之后有一段无信号的时间间隔，该时间间隔内，控制系统实际上工作在开环状态。如果采间隔内，控制系统实际上工作在开环状态。如果采样频率太低，包含在连续信号中的信息经过采样以样频率太低，包含在连续信号中的信息经过采样以后将丢失。后将丢失。因此，有采样定理（香农定理）采样定理（香农定理）如下：如下：在采样过程中，只有当采样频率在采样过程中，只有当采样频率 时，才时，才能将采样后的离散信号能将采样后的离散信号 无失真地恢复为原来的无失真地恢复为原来的连续信号连续信号e(t)。其中，其中，为连续信号频谱的最大带为连续信号频谱的最大带宽。宽。7首页上页下页末页结束自动控制理论三、信号恢复与保持器三、信号恢复与保持器 信号恢复信号恢复就是将就是将离散信号恢复为连续信号离散信号恢复为连续信号，它，它是是通过保持器通过保持器来来实现实现的。的。保持器通过在采样间隔处插值来得到连续信号。保持器通过在采样间隔处插值来得到连续信号。根据外推原理的不同可分为根据外推原理的不同可分为零阶保持器零阶保持器和和一阶保持一阶保持器。器。a)零阶保持器零阶保持器 零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。它零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。它把前一个采样时刻把前一个采样时刻nT的采样值的采样值e(nT)恒值地保持恒值地保持到下一个采样时刻到下一个采样时刻(n+1)T 它的输入信号和输出信号关系如图所示。它的输入信号和输出信号关系如图所示。8首页上页下页末页结束自动控制理论零阶保持器的传递函数为：b)一阶保持器一阶保持器一阶保持器是按照线性规律外推的保持器，其输出信号如图所示。9首页上页下页末页结束自动控制理论四、数字控制的优点：四、数字控制的优点：1，占用空间小；2，成本低；3，灵敏、抗干扰性强；4，方便控制算法的重构与复用。在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设：1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样时间为0，周期为T。2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。本课程中假设保持器均为0阶保持器7/13/202410首页上页下页末页结束自动控制理论7.2 z变换和变换和z反变换反变换 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，但对序列拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，但对序列u*(t)和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏变换为分析工具在运算中会出现变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，而的超越函数，带来不便，而采用采用z变换则可避免这一问题。变换则可避免这一问题。Z变换是分析离散系统的常用变换是分析离散系统的常用方法，是由拉氏变换演变而来。方法，是由拉氏变换演变而来。一、一、z变换的定义变换的定义若令若令 或或 ，则，则 可见可见Z变换可视为拉氏变换的一种特殊形式。变换可视为拉氏变换的一种特殊形式。11首页上页下页末页结束自动控制理论二、求二、求z变换的三种常用方法变换的三种常用方法（一）级数求和法（一）级数求和法 如果已知各采样时刻的采样值如果已知各采样时刻的采样值 ，则可按离散，则可按离散函数展开如下函数展开如下12首页上页下页末页结束自动控制理论【例【例1 1】求单位阶跃函数的】求单位阶跃函数的z z变换变换解：对单位阶跃函数有解：对单位阶跃函数有 f(t)=1,t0f(t)=1,t0故故13首页上页下页末页结束自动控制理论【例【例2 2】求】求 的的z z变换变换解：解：14首页上页下页末页结束自动控制理论（二）部分分式法（二）部分分式法(由由拉氏变换求拉氏变换求Z变换变换)若函数若函数f(t)的拉氏变换可以展开为部分分式的形式的拉氏变换可以展开为部分分式的形式方法实质：方法实质：15首页上页下页末页结束自动控制理论【例【例3 3】设连续函数的拉氏变换为】设连续函数的拉氏变换为 试求其试求其z z变换。变换。解：解：F(s)F(s)可展开为部分分式：可展开为部分分式：故有故有：参考参考P285 常用常用z变换与拉氏变换表变换与拉氏变换表16首页上页下页末页结束自动控制理论（三）留数计算法（三）留数计算法 用信号的拉氏变换式用信号的拉氏变换式F(s)求其求其z变换式变换式F（z）。）。计算公式：计算公式：留数计算公式：留数计算公式：当 为F(s)的一阶极点时17首页上页下页末页结束自动控制理论当当F(s)具有具有q阶重极点时，留数计算公式为：阶重极点时，留数计算公式为：【例4】设连续函数的拉氏变换为 试求其z变换。解：F(s)具有两个单根极点：s1=0;s2=-a18首页上页下页末页结束自动控制理论【例【例5 5】求】求 的的z z变换变换解：有解：有2 2阶重极点阶重极点s=0s=0，其留数为：，其留数为：所以，所以，19首页上页下页末页结束自动控制理论5，复位移 三、三、z变换的性质：变换的性质：1，线性2，位移3，初值4，终值（只有 时x(k)收敛情况下才能应用）迟后定理，负偏移迟后定理，负偏移20首页上页下页末页结束自动控制理论6，复微分7，差分:后向 前向8，卷积 21首页上页下页末页结束自动控制理论五、五、z反变换方法：反变换方法：1，幂级数法（长除法，幂级数法（长除法）例例:适用于简单函数，但难以求闭式解。适用于简单函数，但难以求闭式解。2 2 部分分式法部分分式法 22首页上页下页末页结束自动控制理论3，留数法例:求下列函数的z反变换23首页上页下页末页结束自动控制理论7.3 脉冲传递函数脉冲传递函数若差分定义如上，则用差分表示动态系统中动态环节可得到系统的差分方程模型:前向差分方程在零初值条件下取z变换，得24首页上页下页末页结束自动控制理论定义：线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列的z变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数脉冲传递函数（或称z传递函数传递函数）即25首页上页下页末页结束自动控制理论 离散控制系统中，控制器是离散的，对象是连离散控制系统中，控制器是离散的，对象是连续的，因而建立系统数学模型时应首先将连续部续的，因而建立系统数学模型时应首先将连续部分离散化。对输入输出模型，即需要将连续部分分离散化。对输入输出模型，即需要将连续部分传递函数变换为相应的脉冲传递函数。传递函数变换为相应的脉冲传递函数。26首页上页下页末页结束自动控制理论将连续部分离散化后，则需要根据各环节之间的关系得到总的将连续部分离散化后，则需要根据各环节之间的关系得到总的脉冲传递函数或输出的脉冲传递函数或输出的z变换。变换。1，当环节串联时，当环节串联时，环节间有、无采样开关环节间有、无采样开关的存在，的存在，脉冲传递脉冲传递函数是不同的函数是不同的。例：(a)种情况，串联环节间有同步采样开关，则27首页上页下页末页结束自动控制理论(b)种情况，串联环节间无同步采样开关，则种情况，串联环节间无同步采样开关，则通常：例例28首页上页下页末页结束自动控制理论2,闭环情况闭环情况 29首页上页下页末页结束自动控制理论【例6】图示系统，输入序列u(k)经过零阶保持器后去控制对象 ，所用零阶保持器传函求系统脉冲传递函数。其中第其中第4种情况分离不出种情况分离不出R(z)来构成脉冲传递函数。来构成脉冲传递函数。解解：30首页上页下页末页结束自动控制理论由此可以得到关于z变换的一个有用的定理:若W(s)所对应的z变换是W(z)，则 所对应的z变换是31首页上页下页末页结束自动控制理论解：【例7】闭环离散系统如图所示，试求其脉冲传递函数和单位阶跃响应。32首页上页下页末页结束自动控制理论若r(t)=1(t),则由长除法 33首页上页下页末页结束自动控制理论7.4 差分方程差分方程相应地可得到后向差分定义相应地可得到后向差分定义。二、差分方程二、差分方程一、差分定义一、差分定义前向差分：前向差分：例34首页上页下页末页结束自动控制理论三、差分方程的求解三、差分方程的求解（1）Z变换法例：求解下式所示的差分方程,已知y(0)=0,y(1)=1解：对上式取z变换，得35首页上页下页末页结束自动控制理论（2）迭代法迭代法例：求解下式所示的差分方程,已知y(0)=0,y(1)=1解：由上式可得代入初始条件，从而可得其解为：y(0)=0,y(1)=1,y(2)=-3,y(4)=7,36首页上页下页末页结束自动控制理论7.5 离散系统性能分析离散系统性能分析一、离散系统的稳定性分析一、离散系统的稳定性分析1 1 s s平面和平面和z z平面的映射关系平面的映射关系设设 当当=0=0，即，即s s平面的虚轴平面的虚轴,对应对应Z Z平面的单位圆。平面的单位圆。当当000，即，即s s右半平面对应右半平面对应Z Z平面的单位圆外。平面的单位圆外。s s平面主要带：平面主要带：上面映射关系如下图所示。上面映射关系如下图所示。实际系统频带宽度有限，其截实际系统频带宽度有限，其截止频率一般远低于采样频率止频率一般远低于采样频率因此，重要的是分析与主要带因此，重要的是分析与主要带对应的第一个单位园。对应的第一个单位园。37首页上页下页末页结束自动控制理论图7-S平面到Z平面映射 线线性性离离散散控控制制系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是：线线性性离离散散闭闭环环控控制制系系统统特特征征方方程程的的根根的的模模小小于于1 1，则则线性离散控制系统是稳定的。线性离散控制系统是稳定的。38首页上页下页末页结束自动控制理论2 线性离散系统的稳定条件线性离散系统的稳定条件设线性离散系统的闭环脉冲传递函数为D(z)=0为系统的特征方程，其根为则该系统稳定的条件为：系统特征方程的所有根（闭系统特征方程的所有根（闭环脉冲传递函数的极点）均位于环脉冲传递函数的极点）均位于z平面上以原点为平面上以原点为圆心的圆心的单位圆单位圆内内，即3 劳斯判据在离散系统中的应用39首页上页下页末页结束自动控制理论当特征方程阶次较高求根不易时有以下实用判据：Routh判据应用于离散系统判据应用于离散系统保角变换（双线性变换，一一映射）可将w平面的左半平面映射为z平面中的单位圆。即令则分析如下：40首页上页下页末页结束自动控制理论经过此变换后，设系统极点在w平面、z平面分别满足Dw(w)=0、Dz(z)=0，则以下三个命题等价：1，系统极点Dz(z)=0均在单位圆中；2，系统极点Ds(w)=0均在w平面左半平面3，Dw(w)=0满足Routh判据。从而可将Routh判据应用到离散系统中。【例8】试求图示离散闭环系统稳定时的K值范围。41首页上页下页末页结束自动控制理论解：T=1时则引入 ，得应用Routh判据，欲使系统稳定，应有2.74-0.63K0 即 0.63K0，0K4.35 如取T=0.1，得 0K r(t)=t*1(t)时若定义 ，则 Kv ess 0型 01型2型46首页上页下页末页结束自动控制理论3r(t)=0.5t2*1(t)时若定义 ，则令 ，则 Ka ess0型1型2型 47首页上页下页末页结束自动控制理论说明：1，有差系统的稳态误差除了与开环传递函数和输入有关外，还与采样周期有关；2，上述结果仅为采样时刻稳态误差，采样时刻间还将有纹波。48首页上页下页末页结束自动控制理论三、离散系统动态响应分析若典型输入信号为1(t)，则 故49首页上页下页末页结束自动控制理论设其中A0为阶跃响应稳态值，其余为暂态过程。1，正实数极点 单调发散 单调衰减 等幅序列50首页上页下页末页结束自动控制理论2，负实数极点，振荡频率 发散振荡 衰减振荡 等幅振荡3，共轭复极点，ri1时为衰减振荡，振荡频率51首页上页下页末页结束自动控制理论*稳定系统的动态性能指标往往由一对靠近单位圆的主导复极点支配（其余极点则远离单位圆）。希望主导极点分布于右半圆、离原点不太远、与实轴夹角适中。*零点对动态性能的影响是影响有关极点所对应的动态分量大小（留数）。*降低采样周期对提高动态性能有效。最少拍系统：分析离散系统极点均在原点时情况。由s平面与z平面的变换关系知，z平面原点对应于s平面左半平面无穷远处，则52首页上页下页末页结束自动控制理论 对上式反变换，得到冲激序列 该冲激序列共有(m+1)个脉冲，这种情况下系统具有最短的过渡过程。这种n个极点均在原点的离散系统称为时间最小或最少拍系统。可以证明，除冲激输入外，其它典型输入的过渡过程输入也为m个采样周期。53首页上页下页末页结束自动控制理论【例9】系统闭环脉冲传递函数为求单位阶跃输入时系统的动态过程。解：则 y(0)=0,y(1)=2,y(2)=1,y(3)=1,由图知，54首页上页下页末页结束自动控制理论 已已知知离离散散系系统统的的结结构构如如图图所所示示,采采样样周周期期T=0.1秒秒，求系统单位阶跃和单位斜坡输入时的稳态误差。求系统单位阶跃和单位斜坡输入时的稳态误差。例例7-107.6.3 离散控制系统的稳态误差 r(t)y(t)-图图 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差解解:55首页上页下页末页结束自动控制理论由于该系统开环脉冲传递函数在由于该系统开环脉冲传递函数在Z=1处有处有一一个个极极点点，因因此此为为1型型系系统统，当当系系统统输输入入为为单单位位阶阶跃时，其稳态误差为零。跃时，其稳态误差为零。7.6.3 离散控制系统的稳态误差当系统输入为单位斜坡时，可求出当系统输入为单位斜坡时，可求出Kv所以，系统的稳态误差所以，系统的稳态误差 为为56首页上页下页末页结束自动控制理论6.6 数字控制器设计如图，若将A-B以下视为连续系统，则系统变为连续系统。若将AB以上视为离散系统。57首页上页下页末页结束自动控制理论1，模拟化设计方法，模拟化设计方法 若采样频率比系统工作频率高得多（），忽略采保引入的影响，可将离散部分用连续控制器代替，用模拟化方法设计得模拟控制器 后，再用适当方法（如双线性变换）离散化得到Gc(z)以便用微机实现。关于系统的截止频率和采样频率关系不一定总满足，这种方法有时有较大误差，此处不再展开。2，数字化设计方法，数字化设计方法 采用数字化设计方法，可不忽略采保影响。其思路为首先将连续部分离散化，然后与数字控制器Gc(z)串联，把整个系统作为完全的离散系统按数字化方法设计。58首页上页下页末页结束自动控制理论 对上式反变换，得到冲激序列 最小拍系统是离散控制系统独具的一种特性。与连续系统不同，离散系统瞬态响应有可能在有限拍内结束（一个采样周期称为一拍）。所谓最小拍系统是指在典型输入信号作用下，系统能在有限拍的时间内结束其响应过程，并在采样点上无稳态误差。最小拍系统最小拍系统59首页上页下页末页结束自动控制理论A，最少拍控制系统的，最少拍控制系统的z域设计法域设计法 如图系统Gp(z)包含零阶保持器和被控对象，Gc(z)为数字控制器的脉冲传递函数。则 60首页上页下页末页结束自动控制理论典型输入信号与其典型输入信号与其Z Z变换形式变换形式61首页上页下页末页结束自动控制理论 设 代表不同的典型输入，若最少拍系统使系统稳态误差为0，则 式中，F(z)为不含(1-z-1)因子的z-1多项式，通常取M=N,F(z)=1,则 式中B(z)为阶次为（N-1）的z的多项式。则 62首页上页下页末页结束自动控制理论为使Gc(z)可实现，被控对象Gp(z)中不含延迟因子，岄在z平面的单位圆上或圆外无零、极点。其它此处不再展开。例11 系统如图所示，Gh(s)为零阶保持器，设采样周期T=1s，当输入为速度信号时，按最少拍设计数字控制器Gc(z)。63首页上页下页末页结束自动控制理论则单位速度输入作用下有解：系统连续部分的脉冲传递函数为对速度信号，最少拍系统的闭环脉冲传递函数为因n=2,m=1,Gc(z)可实现，则64首页上页下页末页结束自动控制理论单位阶跃输入作用下有 END