第一章数学物理方法课件

1.1 1.1 基本方程的建立基本方程的建立 基本方程是一类或几类物理现象满足的基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的数学表达，这一节的工作就是普遍规律的数学表达，这一节的工作就是将物理规律将物理规律“翻译翻译”成数学语言，即列出成数学语言，即列出数学物理方程。建立这种描述物理现象的数学物理方程。建立这种描述物理现象的数学方程通常有三种方法：数学方程通常有三种方法：（1）微元法微元法:就是在整个系统中分出一就是在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这一小部分个小部分，分析邻近部分与这一小部分的相互作用，根据物理学规律（比如牛的相互作用，根据物理学规律（比如牛顿第二定律等），用数学表达式来表示顿第二定律等），用数学表达式来表示这个作用，通过对表达式的化简、整理，这个作用，通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题满足的数学物理方程。即得到所研究问题满足的数学物理方程。（2）规律法规律法:就是将物理规律（比如就是将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解的）的数方程组）用（容易求解的）的数学物理方程表示出来。学物理方程表示出来。（3）统计法统计法:就是通过统计规律建立所就是通过统计规律建立所研究问题满足的（广义）数学物理方程，研究问题满足的（广义）数学物理方程，常用于经济、社会科学等领域。希望读者常用于经济、社会科学等领域。希望读者通过这一章的学习，在掌握所导出的数学通过这一章的学习，在掌握所导出的数学物理方程的同时，学到这种物理方程的同时，学到这种“翻译方法翻译方法”。下面我们通过实例来做这一工作。下面我们通过实例来做这一工作。一、均匀弦的微小横振动一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受其它外力的作力及弦本身的重力外，不受其它外力的作用。下面研究弦作微小横振动的规律。所用。下面研究弦作微小横振动的规律。所谓谓“横向横向”是指全部运动出现在一个平面是指全部运动出现在一个平面内，而且弦上的点沿垂直于内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运轴的方向运动（如图动（如图1.1.1）。所谓）。所谓“微小微小”是指运是指运动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项可以忽很小，以致它们的高于一次方的项可以忽略不计。略不计。A.弦的横振动弦的横振动B.无穷小的一段弦无穷小的一段弦 BC.受力分析和运动方程受力分析和运动方程弦的原长弦的原长现长现长弦长的变化产生回到原位置的弦长的变化产生回到原位置的张力张力设弦上具有横坐标为设弦上具有横坐标为x的点，在时刻的点，在时刻t的位置的位置为为M，位移位移NM记为记为u，显然，在振动过程中，显然，在振动过程中位移位移u是变量是变量x和和t的函数，即的函数，即u=u（x，t）。）。现在来建立位移现在来建立位移u满足的方程。采用微元法，满足的方程。采用微元法，我们把弦上点的运动先看成小弧段的运动，我们把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦上任取一弧段上任取一弧段 ，其长为，其长为ds，设，设 是弦的是弦的线密度，弧段两端所受的张力依次记作线密度，弧段两端所受的张力依次记作 。由于假定弦是柔软的，所以在任意点处由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的切线方张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。现在考虑弧段向。现在考虑弧段 在在t时刻的受力时刻的受力和运动情况。根据牛顿第二定律，作用和运动情况。根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的质量乘以该方向上的运动加速度。弧的质量乘以该方向上的运动加速度。在在x方向弧段方向弧段 的受力总和为的受力总和为 由于弦只作横向运动，所以由于弦只作横向运动，所以 （2.1.1）按照上述所做的弦作微小振动的假设，可按照上述所做的弦作微小振动的假设，可知在振动过程中弦上知在振动过程中弦上M点与点与 点处切线点处切线的倾角都很小，即的倾角都很小，即 ，从而由，从而由可知，当我们略去可知，当我们略去 的所有高于的所有高于一次方的各项时，就有一次方的各项时，就有代入到式（代入到式（2.1.1），便可近似得到），便可近似得到在在u方向弧段方向弧段 的受力总和为的受力总和为 是弧段的重力。小弧段在时刻是弧段的重力。小弧段在时刻t沿沿u方向的方向的加速度近似为加速度近似为 ，则由牛顿第二定律，有则由牛顿第二定律，有（2.1.2）又因为当又因为当 时，有时，有将上述关系代入（将上述关系代入（2.1.2），并注意），并注意得到得到（2.1.3）上式右端方括号的部分是由于上式右端方括号的部分是由于x产生产生dx的的变化引起的变化引起的 的改变量，可以用微的改变量，可以用微分近似代替，即分近似代替，即 于是，式（于是，式（2.1.3）成为）成为或或 一般说来，张力较大时弦振动的速度变化一般说来，张力较大时弦振动的速度变化很快，即很快，即 要比要比g大很多，所以又可大很多，所以又可以把以把g略去。这样，经过逐步略去一些次略去。这样，经过逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，在要的量，抓住主要的量，在u（x，t）关于关于x和和t都是二次连续可微的前提下，最都是二次连续可微的前提下，最后得出后得出u(x,t)应近似地满足方程应近似地满足方程（1.1.3）这里这里 .式（式（1.1.3）称为弦振动方）称为弦振动方程，也称一维波动方程。程，也称一维波动方程。如果在振动过程中，弦上还另受到一个如果在振动过程中，弦上还另受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻刻t弦上弦上x点处的外力密度为点处的外力密度为F（x，t），），显然式（显然式（1.1.1）和（）和（1.1.2）分别为）分别为重复上面的推导，可得有外力作用时弦的重复上面的推导，可得有外力作用时弦的振动方程振动方程（1.1.4）其中其中 表示表示t时刻单位质量的弦时刻单位质量的弦在在x点所受的外力。点所受的外力。式（式（1.1.4）称为弦的强迫振动方程。）称为弦的强迫振动方程。方程（方程（1.1.3）和）和(1.1.4)的差别在于其的差别在于其（1.1.4）的右端多了一个与未知函数）的右端多了一个与未知函数u无无关的项关的项f（x，t），这个项称为自由项。包），这个项称为自由项。包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。括有非零自由项的方程称为非齐次方程。自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方程（程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程）为一维齐次波动方程，方程（1.1.4）为一维非齐次波动方程。）为一维非齐次波动方程。三、传输线方程三、传输线方程 对于直流电或低频的交流电，基尔霍对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（夫（KirchhoffKirchhoff）定律指出同一支路中电）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况），电有高到能显著地辐射电磁波的情况），电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。因而同一支路中电流未必相等。图图1.1.3xX+x今考虑一来一往的高频传输线，它被当作今考虑一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图具有分布参数的导体（图1.1.3），我们），我们来研究这种导体内电流流动的规律。在具来研究这种导体内电流流动的规律。在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度可以用电流强度I与电压与电压V来描述，此处来描述，此处I与与V都是都是 的函数的函数,记作记作 与与 。以以R,L,C,G分别表示下列参数：分别表示下列参数：R每一回路单位的串联电阻；每一回路单位的串联电阻；L每一每一回路单位的串联电感；回路单位的串联电感；C每单位长度的每单位长度的分路电容；分路电容；G每单位长度的分路电导。每单位长度的分路电导。采用微元法，根据基尔霍夫第二定律，在采用微元法，根据基尔霍夫第二定律，在长度为的传输线中，电压降应等于电动势长度为的传输线中，电压降应等于电动势之和，即之和，即由此可得由此可得另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即电流应等于流出该节点的电流，即（1.1.7）由此可得由此可得（1.1.8）将方程（将方程（1.1.7)与（与（1.1.8）合并，即得）合并，即得I 和和V应满足如下方程组应满足如下方程组 从这个方程组消去从这个方程组消去V(或或I),即可得到即可得到I(或或V)所满足的方程。例如，为了消去所满足的方程。例如，为了消去V，我们将方程（我们将方程（1.1.8）对微分（假定）对微分（假定V与与I对都是二次连续可微的），同时在方程对都是二次连续可微的），同时在方程（1.1.7）两端乘以）两端乘以C后再对微分，并把两后再对微分，并把两个结果相减，即得个结果相减，即得将方程（将方程（1.1.7）中的）中的 代入上式，得代入上式，得这就是电流这就是电流I满足的微分方程。采用类似的满足的微分方程。采用类似的方法从方程（方法从方程（1.1.7）与（）与（1.1.8）中消去）中消去I可可得电压得电压V满足的方程满足的方程方程（方程（1.1.9）、（）、（1.1.10）称为传输线方程）称为传输线方程.根据不同的具体情况，对参数根据不同的具体情况，对参数R,L,C,G作作不同的假定，就可以得到传输线方程的各不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计，也就是说可令也就是说可令 ,此时方程此时方程（1.1.9）与（）与（1.1.10）可简化为）可简化为这两个方程称为高频传输线方程。这两个方程称为高频传输线方程。若令若令 ，这两个方程与（，这两个方程与（1.1.3）完全）完全相同。由此可见，同一个方程可以用来描相同。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。方程。四、电磁场方程四、电磁场方程 从物理学我们知道，电磁场的特性可以从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度用电场强度 与磁场强度与磁场强度 以及电感应以及电感应强度强度 与磁感应强度与磁感应强度 来描述。联系这来描述。联系这些量的麦克斯韦（些量的麦克斯韦（Maxwell）方程组为）方程组为（1.1.11）（1.1.12）(1.1.13)（1.1.14）其中其中 为传导电流的面密度，为传导电流的面密度，为电荷为电荷的体密度。的体密度。这组方程还必须与下述场的物质方程这组方程还必须与下述场的物质方程（1.1.15）（1.1.16）（1.1.17）算符算符Hamilton算符，算符，它是矢量微分算符，具有矢量和微分双重性质它是矢量微分算符，具有矢量和微分双重性质相联立，其中相联立，其中 是介质的介电常数，是介质的介电常数，是是导磁率，导磁率，为导电率，我们假定介质是均为导电率，我们假定介质是均匀而且是各向同性的，此时匀而且是各向同性的，此时 均为常均为常数。数。方程（方程（1.1.11）与（）与（1.1.12）都同时包）都同时包含有含有 与与 ,从中消去一个变量，就可从中消去一个变量，就可以得到关于另一个变量的微分方程。例如以得到关于另一个变量的微分方程。例如先消去先消去 ，在方程（，在方程（1.1.11）两端求旋度）两端求旋度（假定，（假定，和和 都是二次连续可微的）都是二次连续可微的）并利用方程（并利用方程（1.1.15）与（）与（1.1.17）得）得将方程（将方程（1.1.12）与（）与（1.1.16）代入上式得）代入上式得而而 ,且且 ,所以最后得到所以最后得到 所满足的方程为所满足的方程为同理，若消去同理，若消去 即得即得 所满足的方程所满足的方程如果介质不导电（如果介质不导电（），则上面两个方），则上面两个方程简化为程简化为（1.1.18）（1.1.19）方程（方程（1.1.18）与（）与（1.1.19）称为（矢量形）称为（矢量形式的）三维波动方程。式的）三维波动方程。若将三维波动方程以标量函数的形式表示若将三维波动方程以标量函数的形式表示出来，则可写成出来，则可写成（1.1.20）其中其中 ,u 是是 (或或 )的任意一的任意一个分量。个分量。从方程（从方程（1.1.14）与（）与（1.1.15）还可以推导）还可以推导出静电场的电位所微分方程。将方程出静电场的电位所微分方程。将方程（1.1.15）代入方程（）代入方程（1.1.14），得），得而电场强度而电场强度 与电位与电位 u 之间存在关系之间存在关系所以可得所以可得（1.1.21）这个非齐次方程就是这个非齐次方程就是Poisson方程。方程。（1.1.22）即无源静电场的电势满足即无源静电场的电势满足Laplace方程。方程。如果静电场是无源的，即如果静电场是无源的，即 ，则，则方程（方程（2.1.21）变成）变成 常识告诉我们，热量具有从温度高的地常识告诉我们，热量具有从温度高的地方向温度低的地方流动的性质，即一块热的方向温度低的地方流动的性质，即一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。由于热量点处流动，这种现象就是热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化。所以，解决热传导问题都要归结置的变化。所以，解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布。为求物体内温度的分布。五、热传导方程五、热传导方程现在我们来推导均匀且各向同性的导热体现在我们来推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。与在传热过程中温度所满足的微分方程。与上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该先考虑一个区域的温度。为此，采而应该先考虑一个区域的温度。为此，采用微元法，在物体中任取一个闭曲面用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它它所包围的区域记作所包围的区域记作V（图（图1.1.4）。假设在）。假设在时刻时刻t区域区域V内点内点 处的温度为处的温度为 ,为曲面元素为曲面元素 的法向的法向 （从（从V内指向内指向V外）。外）。由传热学中傅里叶（由传热学中傅里叶（Fourier）实验定律）实验定律可知，物体在无穷小时间段可知，物体在无穷小时间段 内，流过内，流过一个无穷小面积一个无穷小面积 的热量的热量 与时与时间间 ，曲面面积，曲面面积 ，以及物体温度沿，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数曲面的法线方向的方向导数 三者成正三者成正比，即比，即其中其中k称为物体的热传导系数，当物体为称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，均匀且各向同性的导热体时，k为常数。为常数。负号是由于热量的流向和温度梯度的正向，负号是由于热量的流向和温度梯度的正向，即即 的方向相反而产生的。的方向相反而产生的。利用上面的关系，从时刻利用上面的关系，从时刻 ,通过曲通过曲面面S流入区域流入区域V的全部热量为的全部热量为流入的热量使流入的热量使V内温度发生了变化，在时内温度发生了变化，在时间间隔间间隔 内区域内区域V内各点温度从内各点温度从 变化到变化到 ，则在，则在 内内V内温度内温度升高所需要的热量为升高所需要的热量为其中，其中，c为物体的比热，为物体的比热，为物体的密度，为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。对各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，流入的热量应等于物体温由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即度升高所需吸收的热量，即此式左端的曲面积分中此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即公式将它化为三重积分，即同时，右端的体积分可以写成同时，右端的体积分可以写成因此有因此有由于时间间隔由于时间间隔 及区域及区域V都是任意取的，都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以式（并且被积函数是连续的，所以式（1.1.23）左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即（1.1.24）其中其中 .方程（方程（1.1.24）称为三维热传导）称为三维热传导方程。方程。若物体内有热源，其强度为若物体内有热源，其强度为 ,则相应则相应的热传导方程为的热传导方程为其中其中 作为特例，如果所考虑的物体是一根作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或（或x，y，t）有关，则方程（）有关，则方程（1.1.24）就变成一）就变成一维热传导方程维热传导方程和二维热传导方程和二维热传导方程 如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态，这方程中物体的温度趋于某种平衡状态，这时温度时温度u与时间与时间t无关，此时方程（无关，此时方程（1.1.24）就变成就变成Laplace方程（方程（1.1.22）。由此可见，）。由此可见，稳恒温度场内的温度也满足稳恒温度场内的温度也满足Laplace方程。方程。在研究气体或液体的扩散过程时，若扩在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。导方程完全相同。1.2 1.2 定解条件定解条件 上一节所讨论的是如何将一个具体上一节所讨论的是如何将一个具体问题所具有的规律用数学式子表达出来，问题所具有的规律用数学式子表达出来，既得到了该物理现象所满足的泛定方程，既得到了该物理现象所满足的泛定方程，除此之外，还需要把这个问题所具有的除此之外，还需要把这个问题所具有的特定条件也用数学式子表达出来，这是特定条件也用数学式子表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件之下的。特定条件之下的。比如上节导出的弦振动方程是一切柔软均比如上节导出的弦振动方程是一切柔软均匀弦作微小横向振动的共同规律，但我们匀弦作微小横向振动的共同规律，但我们知道，一个具体的物理运动状态一定与此知道，一个具体的物理运动状态一定与此时刻之前某个时刻的状态以及对弦两端的时刻之前某个时刻的状态以及对弦两端的约束有关。因此，研究弦的具体运动，除约束有关。因此，研究弦的具体运动，除了列出方程外，还必须给出其所处的特定了列出方程外，还必须给出其所处的特定条件，其它物理现象也如此。条件，其它物理现象也如此。各个具体问题所处的特定条件，即研究各个具体问题所处的特定条件，即研究对象所处的特定对象所处的特定“环境环境”和和“历史历史”，定，定义为数学物理问题的边界条件和初始条件。义为数学物理问题的边界条件和初始条件。对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象特定的对象特定的“历史历史”，就是说追溯到运动开，就是说追溯到运动开始时刻的所谓始时刻的所谓“初始初始”时刻的状态，即初始时刻的状态，即初始条件。条件。对热传导问题初始状态指的是物理量对热传导问题初始状态指的是物理量 的初始分布（初始温度分布等），因此初始的初始分布（初始温度分布等），因此初始条件是条件是一、初始条件一、初始条件其中其中为已知函数。已知函数。(2.1.1)对振动过程（弦、膜、较高频率交变电流沿传输线传对振动过程（弦、膜、较高频率交变电流沿传输线传播、电磁波等）只给出初始播、电磁波等）只给出初始“位移位移”（1.2.1）是不）是不够的，还需给出初始够的，还需给出初始“速度速度”从数学角度看，就时间从数学角度看，就时间 这个自变量而言，这个自变量而言，的一阶导数的一阶导数,是一阶微分方程，所以只需一个初始条件是一阶微分方程，所以只需一个初始条件,是二阶微分方程，所以需要两个初始条件是二阶微分方程，所以需要两个初始条件(1.2.2)其中其中也为已知函数。也为已知函数。热传导过程的泛定方程中只出现热传导过程的泛定方程中只出现（1.2.11.2.1）；振动过程的泛定方程则出现二阶导数）；振动过程的泛定方程则出现二阶导数(1.2.1)和和(1.2.2).物理量在它所占物理量在它所占“范围范围”即区域的边界上即区域的边界上的分布总比内部的分布直观得多，因为边界的分布总比内部的分布直观得多，因为边界上的上的“情况情况”总可以通过观察、测量甚至规总可以通过观察、测量甚至规定得出，通过边界上的条件来探索物理量在定得出，通过边界上的条件来探索物理量在区域内部的分布，实际上是解决数学物理问区域内部的分布，实际上是解决数学物理问题的重要方法，所以给出边界条件非常重要。题的重要方法，所以给出边界条件非常重要。所谓边界，即区域边界点所组成的集合，所谓边界，即区域边界点所组成的集合，一维区域（例如弦）的边界，即两个端点一维区域（例如弦）的边界，即两个端点 ；二维区域的边界为曲线或折线；三维区域；二维区域的边界为曲线或折线；三维区域的边界为曲面，的边界为曲面，二、边界条件二、边界条件以下我们将区域通记为以下我们将区域通记为 ，将其边界记为，将其边界记为 ，则边界条件主要有以下三种类型：则边界条件主要有以下三种类型：1 1 第一类边界条件第一类边界条件 直接给出物理量在边界上的分布直接给出物理量在边界上的分布 (1.2.3)，或或即为第一类边界条即为第一类边界条对于弦振动问题，若两端固定，相应的边界条件为对于弦振动问题，若两端固定，相应的边界条件为件；对热传导问题，如果在导热过程中，物体边界件；对热传导问题，如果在导热过程中，物体边界上的温度为已知，则边界条件为上的温度为已知，则边界条件为 其中其中为边界为边界弦振动问题中的自由端属于这类边界条件，这是弦振动问题中的自由端属于这类边界条件，这是因为弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在因为弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位移方向的张力应该为零，由这个端点上弦在位移方向的张力应该为零，由(1.2.4)也为第一类边界条件。第一类边界条件又称为也为第一类边界条件。第一类边界条件又称为DirichletDirichlet条件条件2 2 第二类边界条件第二类边界条件 给出物理量的梯度在给出物理量的梯度在边界上的分布边界上的分布(1.2.5)的法线方向。的法线方向。对热传导问题，若物体对热传导问题，若物体与周围介质处于绝热与周围介质处于绝热上的热量流速始终为零，则上的热量流速始终为零，则上必满足上必满足 第二类边界条件又称为第二类边界条件又称为NeumanNeuman条件。条件。由由1.11.1的推导过程可知，此时相应的边界条件为的推导过程可知，此时相应的边界条件为即即状态，或者说边界状态，或者说边界由由1.11.1的推导过程可知在的推导过程可知在3 3 第三类边界条件第三类边界条件 给出物理量及其边界上法线给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系方向导数的线性关系 (1.2.6)为常数。弦振常数。弦振动问题的的弹性支承，即性支承，即即即其中其中为弹性体的弹性系数。为弹性体的弹性系数。其中其中是这类边界条件。在弹性支承时，由是这类边界条件。在弹性支承时，由HookeHooke定律定律第三类边界条件又称为第三类边界条件又称为可知可知混合边界条件。混合边界条件。式（式（1.2.41.2.4）、（）、（1.2.51.2.5）、（）、（1.2.61.2.6）中的函数）中的函数都是定义在边界都是定义在边界上的已知函数上的已知函数不论哪一种边界不论哪一种边界当然，边界条件并不只限于以上三类，还有各式当然，边界条件并不只限于以上三类，还有各式各样的边界条件，有时甚至是非线性的边界条件：各样的边界条件，有时甚至是非线性的边界条件：（一般来说还依赖时间（一般来说还依赖时间 t）。）。条件，当它的数学表达式中的自由项（即不依赖于条件，当它的数学表达式中的自由项（即不依赖于的项）恒为零时，这种边界条件称为齐次的，的项）恒为零时，这种边界条件称为齐次的，否则称为非齐次的。否则称为非齐次的。2.3 2.3 定解问题的提法定解问题的提法 在前两节中，我们推导了三种不同类型偏微分方程（波在前两节中，我们推导了三种不同类型偏微分方程（波动方程，热传导方程和动方程，热传导方程和LaplaceLaplace方程），并且讨论了与它们方程），并且讨论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达式，初始条件和边界条件相应的初始条件与边界条件的表达式，初始条件和边界条件统称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合统称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。在一起，就构成了一个定解问题。只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题 或称或称Cauchy(Cauchy(柯西柯西)问题问题；反之，没有初始条件，只有边界；反之，没有初始条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题，既有初始条件也有边界条件条件的定解问题称为边值问题，既有初始条件也有边界条件的问题称为混合问题。的问题称为混合问题。一个定解问题提得是否符合实际情况当然必须靠实验来一个定解问题提得是否符合实际情况当然必须靠实验来证实。然而从数学角度来看，可以从以下三方面加以检验，证实。然而从数学角度来看，可以从以下三方面加以检验，即讨论解的适定性问题：即讨论解的适定性问题：度来看，可以从以下三方面加以检验，即讨论解的适度来看，可以从以下三方面加以检验，即讨论解的适定性问题：定性问题：(1)(1)解的存在性，解的存在性，即看所归纳的问题是否有解；即看所归纳的问题是否有解；(2)(2)解的唯一性，解的唯一性，即看是否只有一个解；即看是否只有一个解；(3)(3)解的稳定性，解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，否则所得的解就解是否相应地只有微小的变动，否则所得的解就无实用价值，因为定解条件通常总是利用实验方无实用价值，因为定解条件通常总是利用实验方法获得的，因而所提的结果，总有一定的误差，法获得的，因而所提的结果，总有一定的误差，如果因此而使解的变化很大，那么这种解显然不如果因此而使解的变化很大，那么这种解显然不能符合客观实际的要求。能符合客观实际的要求。如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题的解称为适定的，在以后的讨论中，则此问题的解称为适定的，在以后的讨论中，我们把着眼点放在定解问题的解法上，而很我们把着眼点放在定解问题的解法上，而很少讨论它的适定性，这是因为讨论定解问题少讨论它的适定性，这是因为讨论定解问题的适定性，往往十分困难，而本书所讨论的的适定性，往往十分困难，而本书所讨论的定解问题基本上都是经典的，它们的适定性定解问题基本上都是经典的，它们的适定性都是经过证明了的。都是经过证明了的。1.4.1 二阶线性偏微分方程的分类与化简（略）二阶线性偏微分方程的分类与化简（略）1.4.2 1.4.2 线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理最后需要指出线性偏微分方程（最后需要指出线性偏微分方程（1.4.11.4.1）具有一个）具有一个 的解，而且级数的解，而且级数收敛，并且能够逐项微分两次，其中收敛，并且能够逐项微分两次，其中为任意常数，则为任意常数，则一定是方程一定是方程非常重要的特性，称为叠加原理，即若非常重要的特性，称为叠加原理，即若 的解。的解。特别地，如果特别地，如果是二阶齐次方程是二阶齐次方程 的解，则只要的解，则只要收敛，并且可以逐项微分两次，收敛，并且可以逐项微分两次，一定也是这个一定也是这个方程的解。这个结论的证明非常容易（留作练习），方程的解。这个结论的证明非常容易（留作练习），但它却是下一章要讲的分离变量法的出发点。但它却是下一章要讲的分离变量法的出发点。