第7章椭球面上的测量计算课件

7-7-1 1 地球椭球的几何参数及其相互关系地球椭球的几何参数及其相互关系7-7-2 2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系7-3 7-3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径7-4 7-4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算7-5 7-5 大地线大地线7-6 7-6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面7-7 7-7 大地测量主题解算简介（大地测量主题解算简介（*）7-8 7-8 椭球面上三角形的解算（椭球面上三角形的解算（增加增加）第七章第七章 椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算（教材第六章（教材第六章“GPSGPS卫星定位技术卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）将在另一门专业课中介绍）在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才能进行平差计算。等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围较大时控制网无法拼接。如公路测量等。归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个过渡体。在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测量计算问题。椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。课堂上讲过的主要公式主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。地球自然表面地球自然表面参考椭球面参考椭球面高斯平面高斯平面7-7-1 1 地球椭球的几何参数及其相互关系地球椭球的几何参数及其相互关系一、地球椭球的基本几何参数一、地球椭球的基本几何参数地球椭球地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学表达模型。参考椭球参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。计算的基准面。椭球体有关元素椭球体有关元素O为椭球中心；NS为旋转轴；EAE为赤道（NS）；a为长半轴；b为短半轴；NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆经圈或子午椭圆）；QKQ 为平行圈（纬圈，纬圈，与赤道平行与赤道平行）。决定椭球形状和大小的五个参数决定椭球形状和大小的五个参数长半轴（长度元素长度元素）：a短半轴（长度元素长度元素）：b扁率（反映椭球体的扁平程度反映椭球体的扁平程度）：第一偏心率：第二偏心率：e和e是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应有一个是长度元素（如如a或或b）。习惯上通常用a和。椭球面上的测量计算公式很多。为简化书写，引入下列符号：式中B为大地纬度；W、V为辅助函数，其中W叫叫第一基本纬度第一基本纬度函数，函数，V叫第二基本纬度函数叫第二基本纬度函数。自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，200多年来各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多、数值各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84椭球参数。涉及我国的这三组参数值见表71。6378137(m)1/298.2572235636378140（m）1298.2576378245(m)1298.3 aWGS-84椭球椭球1975年国际椭球年国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球经国务院批准，根据中华人民共和国测绘法，我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系（简称“2000坐标系”，或CGS2000，即China Geodetic System 2000，或CGCS2000，即China Geodetic Coordinate System 2000）。2000国家大地坐标系是一个地心坐标系，原点与地球质心重合。2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：参数CGS2000椭球椭球a6378137m1/298.257222101二、椭球参数间的关系二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略运用初等数学知识很容易推导，过程略）7-7-2 2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的坐标系有：椭球面上的坐标系有：大地坐标系空间直角坐标系子午平面直角坐标系大地极坐标系地心纬度坐标系归化纬度坐标系前两种是大地测量中最常用的基本坐标系，而最后两种坐标系在实际应用中很少采用，仅用于大地测量公式推导和某些特殊测量计算中。一、椭球面常用坐标系一、椭球面常用坐标系1、大地坐标系、大地坐标系过P点的子午面NPS与起始子午面NGS之间的夹角叫做P点的大地经度L，经度有东经、西经之分；P点的法线Pn与赤道面的夹角叫P点的大地纬度B，纬度有北纬、南纬之分。若P点不在椭球面上，还需增加第三参数大地高H。大地高与正高及正常高的关系为：在大地坐标系中，P点的位置用 （L，B ，H）表示。2、空间直角坐标系、空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体旋转轴为Z轴。X、Y、Z构成右手坐标系。在空间直角坐标系中，P点的位置用（X，Y，Z）表示。3、子午面直角坐标系、子午面直角坐标系设P点的大地经度为L。在过P点的子午面上，以子午椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系（注意注意：该平面直角坐标系的该平面直角坐标系的x、y轴的方向与测量习惯不一致轴的方向与测量习惯不一致）。在该坐标系中，P点的位置用（L，x，y）表示。子午面直角坐标系仅用于大地测量公式推导。4、大地极坐标系、大地极坐标系M为椭球面上任意一点。MN 为过M 点的子午线。S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线，最短曲线，将在将在75介绍介绍）长度。A 为大地线在M 点的方位角。以M 为极点极点，MN 为极轴极轴，S 为极径极径，A为极角极角，便构成大地极坐标系大地极坐标系。在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A）表示。二、几种坐标系之间的关系二、几种坐标系之间的关系1、子午面直角坐标与大地坐标的关系、子午面直角坐标与大地坐标的关系在这两个坐标系中，同点的L相同。过点P作子午椭圆的法线，该法线与x 轴、y 轴的交点分别为Q、n，与x 轴的夹角为B（P点纬度点纬度）。可以证明（过程略过程略），子午面直角坐标（x，y）与大地纬度B 有以下关系式：式中，a、b 为椭球长、短半径，W、V为前述辅助函数：设Pn=N，由右图可以看出：xNcosB (7-18)比较(7-16)式，有：Na/W (7-19)于是 y N(1e2)sinB (7-20)又由图可知：yPQsinB (7-21)所以：PQN(1e2)(7-22)QnNPQNe2 (7-23)由(7-22)、(7-23)可知P点法线Pn在赤道两侧的长度。N2、空间直角坐标与子午面直角坐标的、空间直角坐标与子午面直角坐标的关系关系从右边2图容易得出：L3、空间直角坐标与大地坐标的关系、空间直角坐标与大地坐标的关系（1）由大地坐标（L，B ，H）求空间直角坐标（X，Y，Z）当P点在椭球面上，即H 0时，将 (7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：当P点不在椭球面上，即H 0时，有nBL3、空间直角坐标与大地坐标的关系、空间直角坐标与大地坐标的关系（2）由空间直角坐标（X，Y，Z）求大地坐标（L，B ，H）关系式如下：（731）可直接由（725）得到。（732）可根据右图得到。OPx因等式右边也包含B，故需迭代计算，其初始值可设为0;N值也需逐次迭代。同样，（734）可根据右图得到。sinBZ/(H+PQ)教材教材7.2.3“地心站平坐标系地心站平坐标系”实际应用较少。实际应用较少。nBLNe2Ne2sinBOP=OP27-3 7-3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径为了进行控制测量计算，必须了解椭球面上曲线的曲率半径。先介绍两个名词。法截面法截面过椭球面上的一点作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面。法截线法截线法截面与椭球面的交线。法截线又叫法截弧。由一条法线可作无数个法截面，相应有无数条法截线。在圆球面上，各点的法截线形状相同，曲率半径也相同。在椭球面上，不仅各点的法截线形状不同、曲率半径不同，而且同一点上不同方向的法截线的形状及曲率半径也各不相同。下面介绍椭球面上几种主要曲线的曲率半径。一、子午圈曲率半径一、子午圈曲率半径在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK），相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系子午面直角坐标系)dx、dy。设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及Kn即子午圈曲率半径，用M表示。由平面曲线的曲率半径定义公式知：进一步推导（过程略），可得：式中：BEM子午圈曲率半径与纬度的大小有关。其变化规律如表72所示：M随纬度B的变化情况亦可从下图中看出。在极点上最大,等于极点曲率半径c 随纬度的增大而增大在赤道上最小，小于赤道半径说 明 B=0oB=90oB二、卯酉圈曲率半径二、卯酉圈曲率半径 过椭球面上P点可作无数个法截面。其中与子午面垂直的那个法截面同椭球面的交线称为卯酉圈卯酉圈。右图中的EPE即为过P点的卯酉圈，其曲率半径用N表示。过P点作以O为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。卯酉圈EPE也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，垂直于法线Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈EPE在P点处的公切线公切线。卯酉圈EPE是子午椭圆上P点处的法截弧，而平行圈PHK可看作子午椭圆上P点处的“斜截弧斜截弧”。麦尼尔定理麦尼尔定理：如果过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点处两截弧具有公切线，则斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。由右图可知，两截弧平面夹角为B。斜截弧（平行圈平行圈PHK）的曲率半径r等于P点的横坐标x（子午面直角坐标子午面直角坐标）。设法截弧（EPE）的曲率半径为N，则根据麦尼尔定理，有：在直角三角形PO n中，显然有：因此，N=Pn。说明卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上，曲率半径等于椭球面与短轴之间的一段法线的长度。将上节导出的子午面直角坐标与大地坐标的关系式（716）代入（762），容易得到：（764）式便是卯酉圈曲率半径计算公式。由（78）式中的第3和第7个关系式容易得到N的另一个计算式：卯酉圈曲率半径N也随纬度B而变,变化规律如表 73。M和N是两个互相垂直的法截弧（子午圈和卯酉圈子午圈和卯酉圈）的曲率半径，称为主曲率半径。主曲率半径。计算主曲率半径的公式（760）和（764）式应熟记。卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N 等于极点的等于极点的曲率半径曲率半径B=90N 随随B的增大而增大的增大而增大aNc0B2000m时，则应分别考虑施加垂线偏差改正和标高差改正。时，则应分别考虑施加垂线偏差改正和标高差改正。二、天顶距观测值的垂线偏差改正二、天顶距观测值的垂线偏差改正 （教材中无此部分内容）（教材中无此部分内容）为了进行距离改化等椭球面上的计算，需要用到大地高高差。采用三角高程测量时，高差是根据以垂线为依据的天顶距观测值计算的，不是大地高高差。为获得大地高高差，须将以垂线为依据的天顶距观测值归算为以法线为依据。在右上图中,p1、p2为两个三角点；z1、z2分别为在p1、p2观测的天顶距；z1、z2为归化后以法线为依据的天顶距，即大地天顶距；u1、u2是两点的垂线偏差。两种天顶距之间的关系为：ui,j为测站i的垂线偏差ui在测线ij方向上的分量。由右图知：NAp1p2u11 11 1u1,2所以，计算大地天顶距的公式为：上式与第五章介绍的公式在符号上是一致的：此处是天顶距天顶距！垂线偏差子午分量和卯酉分量可根据天文经纬度（、）和大地经纬度（L、B）计算,也可从测区垂线偏差分量图上查取。=-B；=（-L）cos 式中A为测站点至照准点的大地方位角。根据大地天顶距求得的高差，为大地高高差大地高高差。三、将地面观测的长度归算至椭球面三、将地面观测的长度归算至椭球面在地球自然表面上测得的长度需归算至参考椭球面上。控制测量中，测边方法有两种：铟钢基线尺量距和电磁波测距。上世纪80年代之前，铟钢基线尺量距是精密测距的主要手段。随着电磁波测距仪的普遍应用，现在已基本不采用基线尺量距这一方法。电磁波测距的归算问题在上册第四章中已经介绍。本段再简单回顾一下。如右图所示，地面点Q1、Q2的大地高分别为H1、H2，用电磁波测距仪测得两点间的斜距为D；Q1、Q2沿各自的法线投影到椭球面上的位置分别为Q1、Q2；S为椭球面上Q1、Q2之间的大地线长度。所谓长度归算就是根据斜距D求S。在工程测量中，可以认为大地线长度S等于Q1点处方位角为A12的法截弧曲率半径RA所对应的圆弧长。经推导，电磁波测距归算的电磁波测距归算的严密公式严密公式为：式中：一般情况下，（7177）式右边第二项非常小，D为5km时才0.13 mm，故可忽略不计。（7177）式跟上册第四章（4141）式是一致的。区别在于一为弧长，一为弦长。【（7177）式比（）式比（4141）式多了一项。）式多了一项。】电磁波测距归算的电磁波测距归算的实用公式实用公式为：式中：精度要求很高时，上式可取至二次项,即h12为了解释电磁波测距归算的几何意义，（7179）式可以进一步化简为：上式右边第二项是用高差进行倾斜改正的主项 经过此项改正，斜距已化算为平距；第三项是由于两点的平均高程面高出参考椭球面应进行的归算改正，经过此项改正后，测线已化算为椭球面上的弦长d；第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。该式没有（7177）式严密，也比（7179）式要差。实际工作中，应尽量采用（7177）式或（7179）式进行归算。h127-7 大地测量主题解算简介大地测量主题解算简介一、大地主题解算的概念一、大地主题解算的概念大地主题解算大地主题解算：根据某些已知大地元素推求另一些未知大地元素。大地元素大地元素：椭球面上点的大地经度L、大地纬度B，两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角A12、A21（二者之差不是刚好等于（二者之差不是刚好等于180），统称为大地元素。大地主题解算包括正算正算和反算反算。已知P1点的大地坐标（L1、B1）、P1至P2点的大地线长S及大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（L2、B2）和P2点处大地线的方位角A21的过程叫做大地主题正解大地主题正解（算）。已知P1和P2点的大地坐标（L1、B1）和（L2、B2），计算P1至P2点的大地线长S及正、反大地方位角A12和A21的过程叫做大地主题反大地主题反解解（算）。大地主题正、反算与平面直角坐标的正、反算类似，只是多了反方位角的计算。从解析意义来讲，大地主题解算就是研究大地极坐标（S，A）与大地坐标(L,B)间的相互变换关系。二、大地主题解算的用途二、大地主题解算的用途在天文大地测量中推算一等点的经纬度及点间大地方位角；在空间技术和航空、航海、国防等领域进行科学计算。现代控制测量计算中已很少进行大地主题解算，相关计算工作均在高斯投影面上进行（见下章）。三、大地主题解算方法分类大地主题解算方法分类1、按解算距离分 短距离（400KM以内）、中距离（400-1000KM）和长距离（1000KM以上）三种。距离不同，解算方法也不同。2、按解算方法分直接解法（白塞尔Bessel法等）和间接解法（高斯平均引数公式等）。一百多年来，测量学者共提出了70余种解算公式和方法。教材介绍了其中主要的几种解法，有兴趣的同学可自学。7-8 7-8 椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算一、一、“椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算”的实质的实质“椭球面上三角形解算”的实质就是在椭球面上解算三角形，求椭球面上三角形的边长。前面已介绍了将地面三角网的方向值、长度值归算至椭球面上。在椭球面上已得到由大地线组成的“三角网”。椭球面上三角网的各个角度为已知。除起算边外，其余各边的长度未知，需要解算。二、用球面三角形代替椭球面三角形的条件二、用球面三角形代替椭球面三角形的条件大地线是空间曲线，其上各点处的曲率半径不相同。因此，在椭球面上解算由大地线组成的三角形非常复杂。数学研究结果表明：在半径小于140km的圆形区域（相当于边长约240km的等边三角形）内，椭球面三角形可当作球面三角形看待边长相等，角度差小于0.001。圆球的半径取三点曲率半径的平均值。所以，用球面三角形代替椭球面三角形的条件是“三角形的边长三角形的边长小于小于240km”。三、球面三角形与同边长平面三角形的关系三、球面三角形与同边长平面三角形的关系由球面三角学知：球面三角形的三角之和 大于180，小于540。即 180A0+B0+C0540超过180的部分叫“球面角超球面角超”，用表示。勒让德勒让德（LegendreLegendre，法国数学家，法国数学家，1752-18331752-1833）定理定理 如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。如图所示。设球面三角形A0B0C0的三边与平面三角形A1B1C1的三边对应相等，则据勒让德定理，它们的角度有如下关系：球面角超按下式计算：式中，R为圆球半径，F为平面三角形的面积。在平面三角形中，根据正弦定理解算边长十分容易。作业四（作业四（1）1.我国主要采用哪几种参考椭球?其主要参数是什么?2.简要说明并图示地面某一点的大地高、正高、正常高、大地水准面差距和高程异常。3.试推证由一点的空间直角坐标（X，Y，Z）求大地坐标（L，B ，H）的计算公式。4.什么叫法截线？什么叫大地线？大地线有何特性？5.将水平方向值归算至椭球面时需要进行三差改正。试将水平方向值归算至椭球面时需要进行三差改正。试述三差改正的定义，写出相应的计算公式，并说明各述三差改正的定义，写出相应的计算公式，并说明各自的应用条件。自的应用条件。6.垂线偏差对水平方向观测值和垂直角观测值各有什么垂线偏差对水平方向观测值和垂直角观测值各有什么影响？影响？7.写出电磁波测距测得的斜距化算为大地线长度的计算写出电磁波测距测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，并说明式中各符号的意义。公式，并说明式中各符号的意义。