直线与圆锥的位置关系理课件

一、直线与圆锥曲线的位置关系一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与判定直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量曲线方程联立，消去变量y(或或x)得变量得变量x(或或y)的方程：的方程：ax2bxc0(或或ay2byc0)若若a0，可考虑一元二次方程的判别式，可考虑一元二次方程的判别式，有：，有：0直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线；相交相交0直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线；0知，知，答案：答案：A2过抛物线过抛物线y24ax(a0)的焦点的焦点F，作互相垂直的两条弦，作互相垂直的两条弦AB 和和CD，则，则|AB|CD|的最小值为的最小值为()A19aB8C17aD16a解析：解析：利用特殊情形，即利用特殊情形，即AB的倾斜角为的倾斜角为45此时此时AB：yxa，A(3a2,2a2)，B(3a2,2a2)，|AB|8a，|CD|8a，|AB|CD|16a.答案：答案：D3直线直线ykxk1与椭圆与椭圆的位置关系为的位置关系为()A相交相交B相切相切C相离相离D不确定不确定解析：解析：由于直线由于直线ykxk1k(x1)1过定点过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交在椭圆内，故直线与椭圆必相交答案：答案：A4过抛物线过抛物线yax2(a0)的焦点的焦点F作一直线交抛物线于作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段两点，若线段PF与与FQ的长分别是的长分别是q、p，则，则等等于于_解析：解析：取特殊情况：直线取特殊情况：直线=4a.答案：答案：4a5若直线若直线mxny4和圆和圆O：x2y24没有公共点，则过没有公共点，则过点点(m，n)的直线与椭圆的直线与椭圆的交点个数为的交点个数为_解析：解析：由已知可得由已知可得m2n20)相关于相关于A、B两个不同的点，与两个不同的点，与x轴相交于点轴相交于点C，记记O为坐标原点为坐标原点(1)证明：证明：(2)若若，求，求 OAB的面积最大值的面积最大值（1）联立方程消元利用）联立方程消元利用0易证易证.（2）结合条件分析出）结合条件分析出易求易求.【解解】(1)依题意，当依题意，当k0时，时，a20显然成立；当显然成立；当k0时，时，故故yk(x1)可化为可化为将将x1代入代入x23y2a2，消去，消去x，得，得由直线由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得与椭圆相交于两个不同的点，得化简整理得化简整理得(2)设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，由题意知C(1,0)由由，得，得y1y2因为因为由由得得y12y2.由由联立，解得联立，解得 OAB的面积的面积上式取等号的条件是上式取等号的条件是3k21，S OAB的最大值为的最大值为1(2009全国卷全国卷)已知直线已知直线yk(x2)(k0)与抛物线与抛物线C：y28x相交于相交于A、B两点，两点，F为为C的焦点若的焦点若|FA|2|FB|，则，则k()解析：解析：过过A、B作抛物线准线作抛物线准线l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为A1、B1，由，由抛物线定义可知，抛物线定义可知，|AA1|AF|，|BB1|BF|，2|BF|=|AF|，|AA1|=2|BB1|，即，即B为为AC的中点的中点从而从而yA=2yB，联立方程组联立方程组消去消去x得：得：y2-+16=0，答案：答案：D1弦长问题弦长问题利用弦长公式求弦长要注意斜率利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若不存在的情形，若k不不存在时，可直接求交点坐标再求弦长存在时，可直接求交点坐标再求弦长2中点弦问题中点弦问题遇到中点弦问题常用遇到中点弦问题常用“根与系数关系根与系数关系”或或“点差法点差法”求求解在椭圆解在椭圆中，以中，以P(x0，y0)为中点的弦所在为中点的弦所在直线的斜率直线的斜率k=；在双曲线；在双曲线中，以中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线；在抛物线 y22px(p0)中，以中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜为中点的弦所在直线的斜率率均可利用均可利用“点差法点差法”得到得到设过原点的直线设过原点的直线l与抛物线与抛物线y24(x1)交于交于A、B两点，且以两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：求：(1)直线直线l的方程；的方程；(2)|AB|的长的长（1）要注意讨论斜率）要注意讨论斜率k是否为是否为0.（2）利用弦长公式）利用弦长公式.【解解】(1)设设l：ykx，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为F(2,0)，当当k0时，时，l与与x轴重合，不合题意轴重合，不合题意 k0.设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 AF BF，0(或用或用kAFkBF1)，又又(2x2，y2)，得得k2x1x2x1x22(x1x2)40，代入得代入得 l：y(2)由由(1)求解得求解得x1x28，x1x28，弦弦AB的长为的长为42本例中将本例中将“以以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点为直径的圆恰好过抛物线焦点F”改为改为“AB的中点为的中点为(2,3)”求求l的方程的方程解：解：设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，4(x11)，4(x21)，知知(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，即即kAP=l:y=圆锥曲线的垂直平分弦问题有以下两种解法：圆锥曲线的垂直平分弦问题有以下两种解法：(1)设出圆锥曲线上关于直线对称的两点的直线方程，代入设出圆锥曲线上关于直线对称的两点的直线方程，代入圆锥曲线方程中消元由圆锥曲线方程中消元由0以及对称点的中点在已知直以及对称点的中点在已知直线上，建立方程和不等式求解；线上，建立方程和不等式求解；(2)求出圆锥曲线上关于直线对称的两点的中点，利用中点求出圆锥曲线上关于直线对称的两点的中点，利用中点在已知圆锥曲线内部建立不等式，此法常与在已知圆锥曲线内部建立不等式，此法常与“代点相减代点相减法法”一起应用一起应用在已知抛物线在已知抛物线yx2上存在两个不同的点上存在两个不同的点M、N关关于直线于直线ykx对称，求对称，求k的取值范围的取值范围 抛物线上两点抛物线上两点M、N关于直线关于直线对称，则直线对称，则直线M、N的方程可设为的方程可设为代入抛物线方程中，代入抛物线方程中，可知可知0.又又M、N的中点在直线的中点在直线上，由根与系数的关系可得上，由根与系数的关系可得M、N的中的中点，代入点，代入可得可得b与与k的关系式，结合的关系式，结合0求求解解.y=-y=-kxkx+y=-y=-kxkx+y=-y=-kxkx+【解解】法一法一：设：设M(x1，)、N(x2，)，关于直线，关于直线l对称，对称，且且MN l.又又MN的中点在的中点在l上，上，由于弦的中点必在抛物线开口内，由于弦的中点必在抛物线开口内，即即法二：法二：由题意知，由题意知，k0.设设M(x1，y1)，N(x2，y2)是关于直线是关于直线对称的两点，则对称的两点，则MN的方程可设为的方程可设为yxb，代入，代入yx2，得，得x2xb0，且，且4b0.又又x1x2，中点，中点x0(x0，y0)在直线在直线l：ykx上，上，把把代入代入得得3已知与向量已知与向量v(1，)平行的直线平行的直线l过椭圆过椭圆1(ab0)的焦点以及点的焦点以及点(1，)，椭圆，椭圆C的中心关于直的中心关于直线线l的对称点在直线的对称点在直线x上求椭圆上求椭圆C的方程的方程解：解：直线直线l的方程为的方程为y=过原点垂直于过原点垂直于l的直线方程为的直线方程为y=由由得得 椭圆中心椭圆中心(0,0)关于直线关于直线l的对称点在的对称点在x=上，上，直线直线l过椭圆的焦点，过椭圆的焦点，该焦点为该焦点为(2,0)c2，a26，b22.故椭圆故椭圆C的方程为的方程为直线与圆锥曲线的综合考查直线与圆锥曲线的综合考查,主要涉及曲线方程的求法、主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等的探索问题等.考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力变形能力.同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目能力，是高考中区分度较大的题目.2009年全国卷年全国卷综合考综合考查了直线与椭圆的位置关系查了直线与椭圆的位置关系.综合性强能力要求较高综合性强能力要求较高.(2009全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆(ab0)的离心率的离心率为为，过右焦点，过右焦点F的直线的直线l与与C相交于相交于A、B两点，当两点，当l的斜率的斜率为为1时，坐标原点时，坐标原点O到到l的距离为的距离为.(1)求求a，b的值；的值；(2)C上是否存在点上是否存在点P，使得当，使得当l绕绕F转到某一位置时，有转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的成立？若存在，求出所有的P的坐标与的坐标与l的方程；的方程；若不存在，说明理由若不存在，说明理由解解(1)设设F(c,0)，当，当l的斜率为的斜率为1时，其方程为时，其方程为xyc0，O到到l的距离为的距离为由由(2)假设假设C上存在点上存在点P，使得当，使得当l绕绕F转到某一位置时，有转到某一位置时，有成立成立由由(1)知知C的方程为的方程为2x23y26.设设A(x1，y1)，B(x2，y2)(i)当当l不垂直于不垂直于x轴时，设轴时，设l的方程为的方程为yk(x1)C上的点上的点P使使成立的充要条件是成立的充要条件是P点的坐标点的坐标为为(x1x2，y1y2)，且，且2(x1x2)23(y1y2)26，整理得，整理得4x1x26y1y26.又又A、B在在C上，即上，即故故2x1x23y1y230.将将yk(x1)代入代入2x23y26，并化简得，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是于是x1x2y1y2k2(x11)(x21)代入代入解得，解得，k22.此时此时x1x2于是于是y1y2k(x1x22)因此，当因此，当k时，时，l的方程为的方程为xy0；当当k时，时，l的方程为的方程为(ii)当当l垂直于垂直于x轴时，由轴时，由(2,0)知，知，C上不存在点上不存在点P使使成立成立综上，综上，C上存在点上存在点P成立，此成立，此时时l的方程为的方程为使使(2)中最常见的一个失误是不对直线的斜率中最常见的一个失误是不对直线的斜率k存在和不存在存在和不存在两种情况去讨论其次满足条件两种情况去讨论其次满足条件的转换关的转换关系利用中点公式转换产生，特别注意若系利用中点公式转换产生，特别注意若即即P为为AB中点，防止中点，防止仍用中点公式求解仍用中点公式求解另外在本题另外在本题(1)条件下若直线条件下若直线yxm与椭圆有两个不同的与椭圆有两个不同的交点交点A与与B，且，且求求m的取值范围的取值范围