第5章-离散傅里叶变换课件

第第5章章 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换The Discrete-Time Fourier Transform基基 本本 内内 容容1.离散时间傅立叶变换；离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；傅立叶变换的性质；5.系统频率响应与系统频域分析方法系统频率响应与系统频域分析方法；注释注释:CFS (The Continuous-Time Fourier Series):连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数DFS (The Discrete-Time Fourier Series):离散时间傅立叶级数离散时间傅立叶级数CTFT(The Continuous-Time Fourier Transform):连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换DTFT(The Discrete-Time Fourier Transform):离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换DFT(The Discrete Fourier Transform)离散傅里离散傅里叶变换叶变换 5.0 引言引言 Introduction本章将采用与讨论本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。解问题。DFS与与CFS之间既有许多类似之处，也有一之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是些重大差别：主要是DFS是一个有限项级是一个有限项级数数,其系数其系数 ,具有周期性具有周期性。v 在采用相同方法研究如何从在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散时间非周期信号的频域描引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，述时，可以看到，DTFT与与CTFT既既有许多相类似的地方，也同时存在有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的一些重要的区别。区别。v 抓住它们之间的相似之处并关注抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对掌握和加深对频域分析其差别，对掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。方法的理解具有重要意义。5.1 非周期信号的表示非周期信号的表示Representation of Aperiodic Signals:The Discrete-time Fourier Thransform 当当N时，有时，有0=(2/N)0，而从时域而从时域看，当周期信号的周期看，当周期信号的周期N时，时，就变成了就变成了一个非周期的序列。可以预见，对一个非一个非周期的序列。可以预见，对一个非周期序列，它的频谱应该是一个连续的频周期序列，它的频谱应该是一个连续的频谱。谱。一一.从从DFS到到DTFT:在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时谱时,我们看到：当信号周期我们看到：当信号周期N N增大时，频谱增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。变密。当当 时时,令令对周期信号对周期信号 由由DFS有有即即说明说明:显然显然对对是以是以为周期的。为周期的。DTFT有有:将其与将其与 表达式比较有表达式比较有于是于是:当当 在一个周期范围内变化时，在一个周期范围内变化时，在在 范围变化，所以积分区间是范围变化，所以积分区间是 。当当时时,表明表明:离散时间序列可以分解为离散时间序列可以分解为频率在频率在2区间上分布的、幅度为区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。的复指数分量的线性组合。DTFTDTFT对对对对结论：得定义结论：得定义回顾一下回顾一下CTFSCTFS的定义：的定义：设设x(tx(t)是周期函数。周期是是周期函数。周期是T T0 0。另一种眼光看世界另一种眼光看世界：既然，连续时间的傅里叶级数建既然，连续时间的傅里叶级数建立起了连续时间周期信号与其傅里叶立起了连续时间周期信号与其傅里叶级数系数间的对应关系。级数系数间的对应关系。那么借助同样的映射关系，对于那么借助同样的映射关系，对于任意离散时间信号任意离散时间信号xn，可以把它看，可以把它看成是一个周期为成是一个周期为2 的连续变量函数的连续变量函数X(ej)的傅里叶级数展开系数。称其为的傅里叶级数展开系数。称其为DTFT变换对。变换对。通常通常 是复函数，用它的模和相位表示是复函数，用它的模和相位表示:二二.常用信号的离散时间傅立叶变换常用信号的离散时间傅立叶变换1.时，低通特性时，低通特性,时，高通特性时，高通特性,单调指数衰减单调指数衰减摆动指数衰减摆动指数衰减由图可以得到由图可以得到:2.可以得出结论可以得出结论:实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数3.矩形脉冲矩形脉冲:当当时，可得到时，可得到:有同样的结论有同样的结论:实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数两点比较两点比较:1.1.与对应的周期信号比较与对应的周期信号比较显然有显然有关系成立关系成立2.2.与对应的连续时间信号比较与对应的连续时间信号比较如图所示如图所示:如图所示如图所示:4.三三.DTFT的收敛问题的收敛问题当当 是无限长序列时，由于是无限长序列时，由于 的表的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。收敛条件有两组：收敛条件有两组：2.2.则则 存在，且级数一致存在，且级数一致收敛于收敛于 。1.1.则级数以均方误差则级数以均方误差最小的准则收敛于最小的准则收敛于 。5.2 离散时间傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换的性质 DTFT也有很多与也有很多与CTFT类似的性类似的性质，当然也有某些明显的差别。质，当然也有某些明显的差别。通过对通过对DTFT性质的讨论，目的性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。的关系。Properties of the Discrete-Time Fourier Transform则则若若一、周期性一、周期性(periodic):比较：比较：这是与这是与CTFT不同的。不同的。二二.线性线性(linearity):三三.时移与频移时移与频移(shifiting):若若则则时移特性时移特性频移特性频移特性若若则则四四.时间反转时间反转(reflaction):五五.共轭对称性共轭对称性 (symmetry properties):若若则则由此可进一步得到以下结论由此可进一步得到以下结论:即即1.1.若若 是实信号，则是实信号，则2.2.若若是实偶信号，则是实偶信号，则于是有于是有:即即是实偶函数。是实偶函数。3.3.若若是实奇信号，则是实奇信号，则于是有于是有:表明表明是虚奇函数。是虚奇函数。4.4.若若则有则有:说明说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。这些结论与连续时间情况下完全一致。六六.差分与求和差分与求和(Differencing and Accumulation):说明说明:在在DTFT中中对应于对应于CTFT中中 例例:七七.时域内插时域内插(Interplation):定义定义k k为为n n的整数倍的整数倍其他其他n n信号时域与频域特性间有一种相反的关系。信号时域与频域特性间有一种相反的关系。八八.频域微分频域微分(Differention in Frequency):九九.Parseval定理定理:称为称为的的能量谱密度函数。能量谱密度函数。比较比较:在在DFS中中,有有称为周期信号的称为周期信号的功率谱。功率谱。5.3 卷积特性卷积特性(The Convolution Property)若若则则即是即是系统的频率特性系统的频率特性。说明：说明：该特性提供了对该特性提供了对LTI系统进行频域系统进行频域分析的理论基础。分析的理论基础。例：一例：一LTILTI系统，单位脉冲响应系统，单位脉冲响应 输入输入 ，求系统输出，求系统输出ynyn。解：方法一：解：方法一：方法二：方法二：由于由于 和和 都是以都是以 为周期为周期的，的，因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积。5.4相乘性质相乘性质（The Multiplication Property)如果如果则则5.5 周期信号的周期信号的DTFT 考察下列考察下列的以的以22为周期的周期为周期的周期函数的函数的DTFTDTFT反变换：反变换：The Fourier Transform for Periodic Signals由此得到由此得到DTFT变换对变换对：对一般的周期序列对一般的周期序列xn,设它的周期为设它的周期为N按照按照DFS我们有：我们有：因此，周期信号因此，周期信号xn可用可用DTFT表示为表示为我们得到一般离散时间周期信号的我们得到一般离散时间周期信号的DTFT如下：如下：比较比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。相应的形式是完全一致的。例例1.1.它不一定是周期的。当它不一定是周期的。当0 0=2=2k/Nk/N时才具时才具有周期性。有周期性。如图所示如图所示:例例2.2.均匀脉冲串均匀脉冲串比较比较:与连续时间情况下对应的一致。与连续时间情况下对应的一致。5.8 由由LCCDE表征的系统表征的系统 相当广泛而有用的一类离散时间相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可系统可由一个由一个线性常系数差分方程线性常系数差分方程LCCDE来表征来表征:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations方法一方法一:可以从求解可以从求解xnxn=nn时的时的差分方程得到差分方程得到hnhn,进而将进而将hnhn 作变作变换而求得换而求得H(eH(ej j).).一一.由由LCCDE描述的系统的频率响应描述的系统的频率响应:方法二方法二:可以通过求出可以通过求出xnxn=e ej jn n时方时方程的解得到程的解得到H(eH(ej j)，因为是，因为是LTILTI系统的系统的特征函数，有：特征函数，有：ynyn=H(ej)ejn方法三方法三:对方程两边进行对方程两边进行DTFT变换，可得变换，可得:可见，可见，H(ej)是一个有理函数。当需要是一个有理函数。当需要求求hnhn 时时,往往是先从方程得往往是先从方程得H(ej)到进到进而通过反变换得到而通过反变换得到hn。如果如果 ，则，则 存在。存在。即：即：稳定系统可以由其频率响应来描述。稳定系统可以由其频率响应来描述。由由 所表征的系统应该是稳定系统。所表征的系统应该是稳定系统。二二.系统的频率响应系统的频率响应:H(ej)刻画了刻画了LTI系统的频域特征，它是系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。系统单位脉冲响应的傅立叶变换。但并非所但并非所有的有的LTI系统都一定存在频率响应。系统都一定存在频率响应。例：考虑一因果例：考虑一因果LTILTI系统，其差分方程系统，其差分方程为：为：求系统的单位脉冲响应。求系统的单位脉冲响应。三三.LTI系统的频域分析方法系统的频域分析方法:1.1.对输入信号做傅立叶变换，求得对输入信号做傅立叶变换，求得 4.4.对对 做傅立叶反变换得到系统的做傅立叶反变换得到系统的响应响应 。2.2.根据描述，求得系统的频率响应根据描述，求得系统的频率响应3.3.根据卷积特性得到根据卷积特性得到 做傅立叶变换或反变换时，主要的方法是做傅立叶变换或反变换时，主要的方法是利用傅立叶变换的性质、常用的变换对、部利用傅立叶变换的性质、常用的变换对、部分分式展开等。分分式展开等。习题：习题：3.105.95.135.205.235.245.365.485.49