第5章-对流扩散方程的离散格式课件

传热与流体流动的数值计算2009年3月13日第第5章章 对流对流-扩散方程的离散格式扩散方程的离散格式1传热与流体流动的数值计算5.1 5.1 对流项离散格式的重要性对流项离散格式的重要性及两种离散方式及两种离散方式一、一、对流项离散格式的重要性对流项离散格式的重要性 1 1、数值解的准确性（假扩散）、数值解的准确性（假扩散）2 2、数值解的稳定性、数值解的稳定性 3 3、数值解的经济性、数值解的经济性二、二、构造离散格式的两种方式构造离散格式的两种方式 1 1、Taylor展开法展开法 2 2、控制容积积分法、控制容积积分法 两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。2传热与流体流动的数值计算5.2 5.2 对流项的中心差分与迎风格式对流项的中心差分与迎风格式一、一、一维对流一维对流-扩散问题模型方程的精确解扩散问题模型方程的精确解边界条件：边界条件：3传热与流体流动的数值计算一、一维对流一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）扩散问题模型方程的精确解（续）Peclet数：Pe表示对流与扩散作用的相对大小。004传热与流体流动的数值计算二、对流项的中心差分二、对流项的中心差分对方程 采用控制容积积分法记：F=ru 通过界面的流量。界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。5传热与流体流动的数值计算二、对流项的中心差分（续）二、对流项的中心差分（续）在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，则：在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。常物性条件下均分网格：6传热与流体流动的数值计算二、对流项的中心差分（续）二、对流项的中心差分（续）例：在一维模型方程离散求解的均分网格中，已知fW=100，fE=200。试对PD=0，1，2及4四种情况按中心差分格式计算fP之值。负系数会导致物理上不真实的解。7传热与流体流动的数值计算三、对流项的迎风格式三、对流项的迎风格式Taylor展开法控制容积积分法 e界面 w界面8传热与流体流动的数值计算三、对流项的迎风格式（续）三、对流项的迎风格式（续）e界面 w界面9传热与流体流动的数值计算三、对流项的迎风格式（续）三、对流项的迎风格式（续）迎风格式离散形式：10传热与流体流动的数值计算四、中心差分与一阶迎风格式的讨论四、中心差分与一阶迎风格式的讨论1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一阶迎风格式的误差更小。2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起解的振荡，得到物理上看似合理的解。3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格，否则计算结果的误差较大。4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风格式。11传热与流体流动的数值计算5.3 5.3 对流对流-扩散方程的混合格式及乘方格式扩散方程的混合格式及乘方格式一、系数一、系数aE与与aW 之间的内在联系之间的内在联系 aE(i)与aW(i+1)共享同一个界面。对流项中心差分：对流项一阶迎风：12传热与流体流动的数值计算二、混合格式二、混合格式(Spalding,1971)(Spalding,1971)13传热与流体流动的数值计算三、指数格式三、指数格式利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。14传热与流体流动的数值计算三、指数格式（续）三、指数格式（续）15传热与流体流动的数值计算四、乘方格式四、乘方格式(Patankar,1979)(Patankar,1979)16传热与流体流动的数值计算五、五、5 5种种3 3点格式系数汇总点格式系数汇总只需给出只需给出 定义式定义式格式定 义中心差分迎风格式混合格式乘方格式指数格式17传热与流体流动的数值计算5.4 5.4 对流对流-扩散方程扩散方程5 5种种3 3点格式系数特性的分析点格式系数特性的分析总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。一、通量密度及其离散表达式一、通量密度及其离散表达式18传热与流体流动的数值计算一、通量密度及其离散表达式（续）一、通量密度及其离散表达式（续）J*的离散表达式：Behind Ahead 界面后的项 界面前的项以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。19传热与流体流动的数值计算二、系数二、系数A A、B B间的关系间的关系1、和差特性 当 时，界面上的扩散通量为零，于是：20传热与流体流动的数值计算二、系数二、系数A A、B B间的关系（续）间的关系（续）2、对称特性坐标系I：坐标系II：因为：于是：21传热与流体流动的数值计算二、系数二、系数A A、B B间的关系（续）间的关系（续）指数格式系数A、B间的关系22传热与流体流动的数值计算三、系数特性的重要推论三、系数特性的重要推论和差特性：对称特性：重要推论：对5种3点格式的任何一种，若在PD0时，A(PD)的计算式为已知，则在 的范围内A(PD)、B(PD)的计算式均可得出。23传热与流体流动的数值计算三、系数特性的重要推论（续）三、系数特性的重要推论（续）证明：24传热与流体流动的数值计算四、四、aE、aW的通用表达式的通用表达式J通量密度守恒方程25传热与流体流动的数值计算四、四、aE、aW的通用表达式（续）的通用表达式（续）不同格式的区别仅在于 的计算式不同。26传热与流体流动的数值计算五、五、5 5种种3 3点格式的点格式的格式中心差分迎风格式1混合格式乘方格式指数格式27传热与流体流动的数值计算五、五、5 5种种3 3点格式的点格式的 （续）（续）28传热与流体流动的数值计算1、从一维到多维的推广 在每一个坐标方向上都按一维问题处理。2、所得出的系数表达式便于编制通用性程序，由专用模块处理 。3、利用aE(i)与aW(i+1)间的关系，可以节省计算系数的工作量。六、关于格式定义与系数特性的说明六、关于格式定义与系数特性的说明29传热与流体流动的数值计算5.5 5.5 关于对流项离散格式假扩散特性的讨论关于对流项离散格式假扩散特性的讨论一、假扩散的含义一、假扩散的含义本来含义：对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差。分析：纯对流方程，显式，FUD30传热与流体流动的数值计算一、假扩散的含义（续）一、假扩散的含义（续）假扩散系数31传热与流体流动的数值计算一、假扩散的含义（续）一、假扩散的含义（续）拓宽含义：由以下三种原因引起的数值计算误差。1、非稳态项或对流项采用一阶截差的格式 2、流动方向与网格线呈倾斜交叉（多维问题）。3、建立差分格式时没有考虑到非常数源项的影响。32传热与流体流动的数值计算二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散一维无源项稳态模型方程33传热与流体流动的数值计算二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散（续）二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散（续）一维非稳态对流问题流向扩散流向扩散34传热与流体流动的数值计算三、流速与网格线倾斜交叉引起的假扩散三、流速与网格线倾斜交叉引起的假扩散物理问题不考虑扩散作用的结果交叉扩散交叉扩散35传热与流体流动的数值计算四、由非常数源项引起的假扩散四、由非常数源项引起的假扩散带源项的模型方程两点边值问题36传热与流体流动的数值计算五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子Smith-Hutton问题出口截面结果乘方格式 QUICK格式37传热与流体流动的数值计算五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子(续续)FUD HD PLD QUICK方腔自然对流方腔自然对流宽高比：33Grashof数：950038传热与流体流动的数值计算5.6 5.6 可以克服或减轻假扩散的格式或方法可以克服或减轻假扩散的格式或方法一、采用高阶格式以有效地克服流向扩散一、采用高阶格式以有效地克服流向扩散 1、二阶迎风格式（、二阶迎风格式（SUD）2、三阶迎风格式（、三阶迎风格式（TUD）3、QUICK格式格式 4、SGSD格式格式二、减轻或克服交叉扩散的方法二、减轻或克服交叉扩散的方法 1、对一阶迎风格式采用有效扩散系数、对一阶迎风格式采用有效扩散系数 2、采用自适应网格技术、采用自适应网格技术 3、采用斜中心差分、采用斜中心差分39传热与流体流动的数值计算1、二阶迎风格式（、二阶迎风格式（SUD）二阶精度，绝对稳定二阶精度，绝对稳定40传热与流体流动的数值计算2、三阶迎风格式（、三阶迎风格式（TUD）三阶精度，条件稳定三阶精度，条件稳定41传热与流体流动的数值计算3、QUICK格式格式三阶精度，条件稳定三阶精度，条件稳定三阶迎风格式修正系数为三阶迎风格式修正系数为1/642传热与流体流动的数值计算4、SGSD格式格式 Stability-Guaranteed Second-order Difference scheme至少二阶精度，绝对稳定至少二阶精度，绝对稳定=0，二阶迎风=1，中心差分=3/4，QUICK对一维模型方程，当=2/3时，离散方程本身具有三阶截差。43传热与流体流动的数值计算5、采用高阶格式时近边界点的处理、采用高阶格式时近边界点的处理(1)在边界上采用二次插值，设虚拟节点0，满足：(2)采用一阶迎风或混合格式处理。44传热与流体流动的数值计算6、高阶格式所形成的离散方程的求解方法、高阶格式所形成的离散方程的求解方法(1)交替方向五对角阵算法(PDMA)。(2)延迟修正方法。45传热与流体流动的数值计算5.7 5.7 对流对流-扩散方程离散形式的稳定性分析扩散方程离散形式的稳定性分析一、数值计算常见的不稳定性问题一、数值计算常见的不稳定性问题 1、代数方程迭代求解过程的不稳定性 2、初值问题显式格式的不稳定性 3、对流项离散格式的不稳定性二、分析对流项离散格式不稳定性的方法二、分析对流项离散格式不稳定性的方法 1、正型系数法 2、离散方程精确解分析法 3、反馈灵敏度分析法 4、“符号不变符号不变”原则原则46传热与流体流动的数值计算三、三、“符号不变符号不变”原则的基本思想原则的基本思想1、稳态非线性问题迭代一个层次相当于线性非稳态问题前进一个时层。2、稳定性是格式的固有属性。3、用所研究的格式离散对流项，扩散项采用中心差分，时间坐标采用显式格式。4、采用离散扰动分析法离散扰动分析法。47传热与流体流动的数值计算四、四、“符号不变符号不变”原则的实施原则的实施对流项取三阶迎风（设u 0）对节点i+1，不计扩散项计入扩散项 满足：48传热与流体流动的数值计算四、四、“符号不变符号不变”原则的实施（续）原则的实施（续）对节点i-1，不计扩散项计入扩散项要求：49传热与流体流动的数值计算五、稳定性分析结果的讨论五、稳定性分析结果的讨论1、如果对流项离散格式具有迁移特性，则该格式绝对稳定。2、如果离散格式的表达式含有下游节点的值，则该格式不具有迁移特性，且是条件稳定的。3、下游节点的系数越小，则其临界Peclet数越大。一般是系数的倒数。临界临界Peclet数数一阶迎风 绝对稳定中心差分 2二阶迎风 绝对稳定三阶迎风 3QUICK 8/3SGSD 绝对稳定一维，线性，无源项，两点边值问题，均匀网格50传热与流体流动的数值计算六、对流项离散格式性能小结六、对流项离散格式性能小结1、截差越高的格式解的精度越高。2、准确的格式往往条件稳定。3、基于5个假设得到的稳定性条件较苛刻。4、选用格式的建议：(1)调试程序可以用FUD、PLD（乘方格式）(2)不太复杂的问题用QUICK、SGSD (3)复杂问题用高阶组合（高分辨率）格式（MUSCL、SMART、SECBC、STOIC等）51传热与流体流动的数值计算5.8 5.8 多维对流多维对流-扩散方程的离散扩散方程的离散及边界条件的处理及边界条件的处理一、二维对流一、二维对流-扩散方程的离散扩散方程的离散质量守恒方程 1 0 0动量守恒 u方程 v方程 w方程能量守恒方程52传热与流体流动的数值计算一、二维对流一、二维对流-扩散方程的离散（续）扩散方程的离散（续）53传热与流体流动的数值计算3种二维坐标系中界面流量、扩导的计算式54传热与流体流动的数值计算纳入高阶格式的方法55传热与流体流动的数值计算二、三维对流二、三维对流-扩散方程的离散扩散方程的离散56传热与流体流动的数值计算三维直角坐标系中界面流量、扩导的计算式57传热与流体流动的数值计算三、边界条件的处理三、边界条件的处理进口边界：给定u,v,T的分布中 心 线：固体壁面：u=v=0,T有3类B.C.压力边界条件：以后论述！出口边界：给出u,v,T 随y的分布?简化处理：局部单向化！58 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日