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第第四四章章 正弦交流电路正弦交流电路4.2 4.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法4.3 4.3 单一单一单一单一参数的交流电路参数的交流电路参数的交流电路参数的交流电路4.1 4.1 正弦正弦正弦正弦电压与电流电压与电流电压与电流电压与电流4.5 4.5 阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联4.4 4.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路电阻、电感与电容元件串联交流电路电阻、电感与电容元件串联交流电路电阻、电感与电容元件串联交流电路在电路中，激励和响应均按正弦规律变化4.1 正弦电压与电流正弦电压与电流设正弦交流电流：设正弦交流电流：设正弦交流电流：设正弦交流电流：角频率：角频率：决定正弦量变化快慢决定正弦量变化快慢决定正弦量变化快慢决定正弦量变化快慢幅值：幅值：决定正弦量的大小决定正弦量的大小决定正弦量的大小决定正弦量的大小正弦量的三要素正弦量的三要素:初相角：初相角：决定决定决定决定正弦量在计时起点的大小正弦量在计时起点的大小正弦量在计时起点的大小正弦量在计时起点的大小 I Im m 2 TiO正弦量正弦量:随时随时间按正弦规律间按正弦规律变化的电压和电流分别称为正弦电压变化的电压和电流分别称为正弦电压和正弦电流，统称为正弦量和正弦电流，统称为正弦量数学表示式为数学表示式为:4.1.1 4.1.1 频率、角频率与周期频率、角频率与周期（rad/srad/s）T T*电网频率：电网频率：电网频率：电网频率：我国我国我国我国 50 Hz 50 Hz；美美美美 、日、日、日、日 60 Hz 60 Hzi iO例：例：工频工频50赫兹周期为赫兹周期为20毫秒角频率毫秒角频率314 rad/s 周期周期周期周期T T T T、频率、频率、频率、频率f f f f和角频率和角频率和角频率和角频率4.1.2 4.1.2 幅值与有效值幅值与有效值有效值：有效值：与其热效应相等的直流电量的大小。与其热效应相等的直流电量的大小。幅值：幅值：Im、Um、Em则有则有R R R R 通交流电流通交流电流通交流电流通交流电流 i i一周期一周期一周期一周期的热能的热能的热能的热能幅值必须大写幅值必须大写幅值必须大写幅值必须大写,下标加下标加下标加下标加 m m。同理：同理：注意：注意：注意：注意：1.1.交流电压交流电压交流电压交流电压、电流表测量数据为有效值、电流表测量数据为有效值、电流表测量数据为有效值、电流表测量数据为有效值2.交流交流设备名牌标注设备名牌标注的额定电压、额定电流的额定电压、额定电流均为有效值均为有效值R R R R 通直流电流通直流电流通直流电流通直流电流 I I I I一周期一周期一周期一周期的的的的热能热能热能热能瞬时值：瞬时值：i、u、e4.1.34.1.3相位角、初相位及相位差相位角、初相位及相位差相位角：相位角：初相位：初相位：反映正弦量变化的进程。反映正弦量变化的进程。反映正弦量变化的进程。反映正弦量变化的进程。iO相位差相位差 ：如：如：两个两个同同频率频率正弦量正弦量相位差等于相位差等于初相位之差初相位之差。则相位差则相位差：初相位等于初相位等于t t t t=0=0=0=0 时时时时的相位角，的相位角，的相位角，的相位角，是观察正弦波的是观察正弦波的是观察正弦波的是观察正弦波的起点。起点。起点。起点。两个同频率正弦量的两个同频率正弦量的相位关系相位关系u与与 i的相位关系的相位关系u 超前超前 i；或；或 i 滞后滞后 uu 与与 i 正交正交u 滞后滞后 i；或；或 i 超前超前uu 与与 i 同相同相u 与与 i 反相反相4.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法上述两种上述两种表示方法表示方法不便于运算，下面介绍不便于运算，下面介绍相量表示法相量表示法。波形图波形图:.正弦量的表示方法正弦量的表示方法正弦量的表示方法正弦量的表示方法uO三角函数式三角函数式:相量表示法相量表示法:利用相量表示法可将正弦量代数和、积分、微分利用相量表示法可将正弦量代数和、积分、微分转化为相量的运算。转化为相量的运算。相量表示法有相量表示法有相量式相量式和和相量图相量图两种表示形式两种表示形式+j+1Abar02.2.有向线段有向线段的复数表示方式及其计算的复数表示方式及其计算（复习）（复习）(1)(1)代数式代数式代数式代数式A=a+jb模模辐角辐角关系关系:(2)(2)三角式三角式三角式三角式由欧拉公式可得：由欧拉公式可得：(3)(3)指数式指数式指数式指数式(4)(4)极坐标极坐标极坐标极坐标式式式式设设 A A 为一复数为一复数:虚部虚部实部实部在复平面上在复平面上复数的计算（复习）复数的计算（复习）复数的加减：复数的加减：实部与实部实部与实部加减，作为结果的加减，作为结果的实部实部虚部与虚部虚部与虚部加减，作为结果的加减，作为结果的虚部虚部复数的乘除：复数的乘除：模与模模与模乘除，作为结果的乘除，作为结果的模模辐角与辐角辐角与辐角加减，作为结果的加减，作为结果的辐角辐角按平行四边形法则，用有向线段的相加相减求得。按平行四边形法则，用有向线段的相加相减求得。设正弦量设正弦量:相量相量:表示正弦量的表示正弦量的复数复数相量表示相量表示相量表示相量表示:模模 =正弦量的有效值正弦量的有效值辐角辐角=正弦量的初相角正弦量的初相角有效值相量有效值相量 3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示 在正弦电源激励的稳态电路中，各正弦量的频率与电源频率在正弦电源激励的稳态电路中，各正弦量的频率与电源频率相同。通常，该频率是已知的，故只需确定正弦量的相同。通常，该频率是已知的，故只需确定正弦量的振幅振幅和和初相初相就能将它表达。就能将它表达。（用三个要素中的二个要素来描述）（用三个要素中的二个要素来描述）相量图相量图:表示正弦量的表示正弦量的有向线段有向线段+j+1baUm0模模 =正弦量的最大值正弦量的最大值辐角辐角=正弦量的初相角正弦量的初相角最大值相量最大值相量 关系：关系：打点，表示为相量打点，表示为相量4 4 4 4、用相量进行正弦量的计算用相量进行正弦量的计算用相量进行正弦量的计算用相量进行正弦量的计算例例1:已知已知求：求：解：解：由由 i1 写出其最大值相量：写出其最大值相量：由由 i2 写出其最大值相量：写出其最大值相量：由相量进行相加得由相量进行相加得 i 的相量：的相量：由由 写出写出 i :通常多采用通常多采用有效值相量有效值相量进行计算进行计算由由 i1 写出写出其有效值其有效值相量：相量：由由 i2 写出写出其有效值其有效值相量：相量：由相量进行相加得由相量进行相加得 i 的相量：的相量：由由 写出写出 i :A306A421-+=+=2052100III&相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。？=只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。只有只有只有只有同频率同频率同频率同频率的正弦量才能进行相量的计算。的正弦量才能进行相量的计算。的正弦量才能进行相量的计算。的正弦量才能进行相量的计算。注意注意注意注意:只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。可不画坐标轴可不画坐标轴可不画坐标轴可不画坐标轴可用最大值做相量的可用最大值做相量的可用最大值做相量的可用最大值做相量的模模模模 通常用有效值做相量的通常用有效值做相量的通常用有效值做相量的通常用有效值做相量的模模模模幅角为零的相量成为参考相量。幅角为零的相量成为参考相量。相量图中逆时针幅角增大。相量图中逆时针幅角增大。“j j j j”和和和和“1 1 1 1”的数学意义和物理意义的数学意义和物理意义的数学意义和物理意义的数学意义和物理意义+1+jo设相量设相量则：则：称为旋转称为旋转 算子算子应避免的错误概念和错误描述应避免的错误概念和错误描述错误类型错误类型1 1：已知三角函数已知三角函数,相量写错相量写错已知：已知：已知：已知：错误类型错误类型2 2：已知已知相量相量,三角函数三角函数写错写错已知：已知：已知：已知：应避免的错误概念和错误描述应避免的错误概念和错误描述错误类型错误类型3 3：有效值和有效值和相量划等号相量划等号有效值和三角函数有效值和三角函数划等号划等号三角函数或瞬时值和三角函数或瞬时值和相量划等号相量划等号下列描述是允许的：下列描述是允许的：例例2:图示电路是三相四线制电源，图示电路是三相四线制电源，试求试求:(1)各电压的相量；（各电压的相量；（2）求）求 uAB；（3）画出相量图。）画出相量图。NCANB+-+解解:(1)各电压的相各电压的相量量已知：三个电源的电压分别为：已知：三个电源的电压分别为：(3)(3)相量图相量图相量图相量图KVL定律可知定律可知4.4.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。下 页上 页1.1.电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系设：设：大小关系：大小关系：大小关系：大小关系：u u 和和和和 i i 频率相同频率相同频率相同频率相同相位关系相位关系相位关系相位关系 ：u u、i i 相位相同相位相同相位相同相位相同相位差相位差 ：Ru+_4.3 单一参数的交流电路单一参数的交流电路（1）函数表示：）函数表示：波形图波形图得：得：基本基本关系式：关系式：U4.3.1 1 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路相量图相量图（2）相量表示：）相量表示：2.功率关系功率关系(1)瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积小写小写小写小写结论结论:（耗能元件）（耗能元件）,且随时间变化。且随时间变化。pituOtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值瞬时功率在一个周期内的平均值瞬时功率在一个周期内的平均值瞬时功率在一个周期内的平均值 大写大写大写大写(2)平均功率平均功率(有功功率有功功率)P单位单位:瓦（瓦（W）PRu+_pptO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。4.3.2 4.3.2 电感元件的交流电路电感元件的交流电路1.1.电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系大小关系：大小关系：大小关系：大小关系：u u 和和和和 i i 频率相同频率相同频率相同频率相同相位关系相位关系相位关系相位关系 ：u u 超前超前超前超前 i i 90 90度度度度（1）函数表示：）函数表示：得：得：基本基本关系式：关系式：eL+-L设：设：U（2）相量表示：）相量表示：电感电路复数形式的电感电路复数形式的电感电路复数形式的电感电路复数形式的 欧姆定律欧姆定律欧姆定律欧姆定律相量图相量图超前超前得：得：相量图相量图:设以电流为参考相量：设以电流为参考相量：即：即：由：由：U=LI感抗的说明：感抗感抗感抗感抗X XL L是频率的函数是频率的函数是频率的函数是频率的函数O 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用直流：直流：直流：直流：f=0,XL=0，电感，电感L视为视为短路短路交流：交流：交流：交流：fXLXL和和I与与f的关系图示：的关系图示：2.功率关系：功率关系：(1)(1)瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率波形瞬时功率波形分析分析：储能储能储能储能p 0+p 0p 0放能放能放能放能 储能储能储能储能 放能放能放能放能po可逆的能量可逆的能量可逆的能量可逆的能量转换过程转换过程转换过程转换过程iuo(2)(2)平均功率平均功率平均功率平均功率结论：结论：纯电感不消耗能纯电感不消耗能量，量，只和电源进行只和电源进行能量交换。能量交换。用以衡量电感电路中能量交换的规模。用以衡量电感电路中能量交换的规模。用用用用瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率达到的最大值表征，即达到的最大值表征，即达到的最大值表征，即达到的最大值表征，即单位：单位：var(3)(3)无功功率无功功率无功功率无功功率 QQ瞬时功率瞬时功率 ：例例例例1:1:把一个把一个0.1H的电感接到的电感接到 f=50Hz,U=10V的正弦的正弦电源上，求电源上，求I，如保持，如保持U不变，而电源不变，而电源 f=5000Hz,这时这时I为多少？为多少？解：解：(1)当当 f=50Hz 时时（2）当）当 f=5000Hz 时时所以电感元件具有通低频阻高频的特性所以电感元件具有通低频阻高频的特性所以电感元件具有通低频阻高频的特性所以电感元件具有通低频阻高频的特性4.3.3 4.3.3 电容元件的交流电路电容元件的交流电路1.1.电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系大小关系：大小关系：大小关系：大小关系：u u 和和和和 i i 频率相同频率相同频率相同频率相同相位关系相位关系相位关系相位关系 ：i i 超前超前超前超前 u u 90 90度度度度（1）函数表示：）函数表示：得：得：设：设：I 基本基本基本基本关系式：关系式：关系式：关系式：uiC+_（2）相量表示：）相量表示：电容电路复数形式的欧姆定律电容电路复数形式的欧姆定律电容电路复数形式的欧姆定律电容电路复数形式的欧姆定律得：得：相量图相量图:设以电压为参考相量：设以电压为参考相量：即：即：相量图相量图超前超前由：由：I=CU容抗的说明：XC和和I与与f的关系图示：的关系图示：所以电容所以电容C具有隔直通交的作用具有隔直通交的作用 XC直流：直流：XC ，电容，电容C视为视为开路开路交流：交流：f容抗容抗XC是频率的函数是频率的函数O2.2.功率关系：功率关系：功率关系：功率关系：(1)(1)瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率瞬时功率波形瞬时功率波形分析分析：充电充电充电充电p 0+p 0p 0放电放电放电放电 充电充电充电充电 放电放电放电放电po(2)(2)平均功率平均功率平均功率平均功率结论：结论：纯电容不消耗能纯电容不消耗能量，量，只和电源进行只和电源进行能量交换。能量交换。由由u,ioui单位：单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：则：(3)(3)无功功率无功功率无功功率无功功率 QQ单一参数正弦交流电路中的关系总结单一参数正弦交流电路中的关系总结基本关系基本关系有效值关系有效值关系相量式相量式相量图相量图相位关系相位关系LCR参数参数有功功率有功功率无功功率无功功率阻抗和导纳阻抗和导纳1.阻抗阻抗Z+-无源无源线性线性+-单位：单位：阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角相量形式的欧相量形式的欧姆定律姆定律下 页上 页Z 复阻抗；复阻抗；R电阻电阻(阻抗的实部阻抗的实部)；X电抗电抗(阻抗的虚部阻抗的虚部)；|Z|复阻抗的模；复阻抗的模；阻抗角。阻抗角。转换关系转换关系或或阻抗三角形阻抗三角形下 页上 页|Z|RX当当 X=0 时时，=0，u.i 同相同相 呈呈电阻性电阻性当当 X 0 时时，0 时时，0，u 超前超前 i 呈呈感性感性当无源网络内为单个元件时有当无源网络内为单个元件时有R+-C+-L+-下 页上 页2.RLC串联电路串联电路由由KVLLCRuuLuCi+-+-+-+-uR下 页上 页j LR2)2)相量图相量图相量图相量图(0 感性感性)XL XC电压三角形电压三角形:(0 容性容性)XL 0;XLXC;ULUC电路呈容性时，电路呈容性时，Q0;XLXC;ULUC电路呈阻性时，电路呈阻性时，Q=0;XL=XC;UL=UC(4)(4)视在功率视在功率视在功率视在功率 S S将将 UI 称为视在功率，记做称为视在功率，记做 S S单位：单位：VA 注：注：发电机、变压器发电机、变压器 等供电设备的额定视在功率等供电设备的额定视在功率 S SN NU UN N I IN N 称为称为额定容量额定容量，反映发电机、变压器可能提，反映发电机、变压器可能提供的最大有功功率。供的最大有功功率。P P、Q Q、S S 都不是正弦量，不能用相量表示。都不是正弦量，不能用相量表示。都不是正弦量，不能用相量表示。都不是正弦量，不能用相量表示。SQP功率三角形：功率三角形：P Q S 构成三角形构成三角形
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