第4章振动学基础课件

第四章 振动学基础第第1篇篇 力力 学学 广义的说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期广义的说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性的变化都可以叫做振动。在力学中，我们把物体在一定位置性的变化都可以叫做振动。在力学中，我们把物体在一定位置附近作周期性的往复运动称为机械振动，这一章主要讨论机械附近作周期性的往复运动称为机械振动，这一章主要讨论机械振动。振动。Tacoma Narrows Bridge 24-1 简谐振动的运动学规律简谐振动的运动学规律一一.简谐振动的定义简谐振动的定义 若质点离开平衡位置的位移随时间按余弦规律变化若质点离开平衡位置的位移随时间按余弦规律变化,则称质点作则称质点作简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)。x=Acos(t+)上式也称为简谐振动的上式也称为简谐振动的运动学方程运动学方程。1.定义：定义：任何复杂的振动都可看作是若干简谐振动的合成。任何复杂的振动都可看作是若干简谐振动的合成。设质点沿设质点沿x轴振动，取轴振动，取平衡位置平衡位置为坐标原点，则质点的坐为坐标原点，则质点的坐标标(位移位移)：33.三个特征量三个特征量A、和和 x=Acos(t+)(1)振幅振幅 A(质点离开平衡位置的最大距离质点离开平衡位置的最大距离)。2.简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度(2)角频率角频率 和周期和周期T：每个振动系统都有自己固有的角频率。每个振动系统都有自己固有的角频率。4(3)相位与初相相位与初相 ：(t+)称为称为t 时刻的相位时刻的相位(位相、周相）位相、周相）称为初相，是称为初相，是t=0时刻的相位时刻的相位 相位是非常重要的物理量，振动质点在任一时刻的运动相位是非常重要的物理量，振动质点在任一时刻的运动状态即状态即位置位置和和速度速度就取决于该时刻的相位就取决于该时刻的相位(t+)。(t+)=0,x=A,=0 正最大正最大(t+)=+/2,x=0,0 平衡位置平衡位置(t+)=2 ,x=A,=0 正最大正最大x=Acos(t+)位置：位置：速度：速度：5二二.简谐振动的描述简谐振动的描述1.解析法：解析法：其中角频率其中角频率 由谐振系统本身确定，如由谐振系统本身确定，如而振幅而振幅 A和初相和初相 则则由初始条件由初始条件(即即t=0时刻物体的位置时刻物体的位置x0和速和速度度v0)来确定：来确定：如果如果A、和和 都已知，则简谐振动就完全确定都已知，则简谐振动就完全确定下来，即下来，即x=Acos(t+)x=Acos(t+)v=-Asin(t+)由由当当t=0时时v0=-Asin x0=Acos 单摆单摆:弹簧振子：弹簧振子：6于是可求得：于是可求得：v0=-Asin x0=Acos x00,00 x00 x00,00,0 0 注意注意！学会根据学会根据x0和和 0的正负正确判断的正负正确判断 所在象限，如图所示。所在象限，如图所示。7例例1：一质点沿一质点沿x轴作谐振动，周期轴作谐振动，周期T=s,t=0时，时，求振动方程。求振动方程。+代入：代入：x=Acos(t+)解：解：且且 x00,00,振动振动x2超前超前x1角角 ；0 0 0 a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A-A-2Aa254-2 简谐振动的动力学规律简谐振动的动力学规律一一.简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 质点作简谐振动时，它的加速度与位移成正比且反向，质点作简谐振动时，它的加速度与位移成正比且反向，即：即：上式可写为：上式可写为：这就是质点作这就是质点作简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程。它是一个二阶微分方程。它是一个二阶微分方程,方程解就是：方程解就是：x=Acos(t+)简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程A和和 由初始条件由初始条件(x0、v0)决定。决定。26线性回复力线性回复力即质点作简谐振动时，所受合外力与位移成正比且反向，这一即质点作简谐振动时，所受合外力与位移成正比且反向，这一结论称为质点作结论称为质点作简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征。根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：二二.几个典型的简谐振动几个典型的简谐振动1.弹簧振子弹簧振子当振子位移为当振子位移为x时，根据胡克定律：时，根据胡克定律：由牛顿定律：由牛顿定律：27其中其中动力学方程：动力学方程：这就是弹簧振这就是弹簧振子子的的角频率角频率。2.单摆单摆由转动定理：由转动定理：当当 角很小时角很小时,线性回复力矩线性回复力矩当摆球离开平衡位置的角位移为当摆球离开平衡位置的角位移为 时：时：oT+对对o轴的合力矩：轴的合力矩：28动力学方程：动力学方程：方程的解即为单摆的运动学方程：方程的解即为单摆的运动学方程：即在摆角很小即在摆角很小(5)的时候，单摆的振动是简谐振动的时候，单摆的振动是简谐振动!其中其中这就是这就是单摆单摆的的角频率角频率。oT+293.复摆复摆(物理摆物理摆)力矩：力矩：由转动定理：由转动定理：动力学方程动力学方程:摆角很小时，复摆作谐振动摆角很小时，复摆作谐振动!I为刚体绕为刚体绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。角频率为：角频率为：-线性回复力矩线性回复力矩当当 角很小时角很小时,301.由分析受力出发由分析受力出发三三.简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法(2)由牛顿定律建立动力学方程：由牛顿定律建立动力学方程：2.由分析能量出发由分析能量出发(1)分析受力：分析受力：(1)写出系统总能量：写出系统总能量：(2)将上式对时间求导，得动力学方程：将上式对时间求导，得动力学方程：其中其中 2=k/m(2=k/m)31例例7：一光滑斜面上的弹簧振子，已知一光滑斜面上的弹簧振子，已知m,k,证明它作谐振动，证明它作谐振动，并求出周期。并求出周期。(1)找出平衡位置找出平衡位置:(2)将物体将物体m对平衡位置位移对平衡位置位移x；(3)沿振动沿振动(斜面斜面)方向应用牛二定律：方向应用牛二定律：mgsin -k(x+xo)=ma是谐振动是谐振动(、T与倾角与倾角 无关无关)ox建立坐标；建立坐标；mgsin =kxo，xokm mx解：解：32例例8：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。解：解：建立建立oy坐标系，引力在运动方向上坐标系，引力在运动方向上的分力为：的分力为：o质点质点m受到的引力受到的引力:33这是这是质点质点m作简谐振动的动力学方程作简谐振动的动力学方程由牛顿定律：由牛顿定律：其周期为：其周期为：o可见，力与位移成正比且反向。可见，力与位移成正比且反向。由此可由此可知知质点质点m在此隧道内的运动为简谐振动在此隧道内的运动为简谐振动.34例例9：求图示系统的振动周期求图示系统的振动周期，圆盘和绳间无滑动。，圆盘和绳间无滑动。图中图中k、I、R、m为已知。为已知。平衡位置平衡位置:kxo=mg，ox令令m位移位移x,则则mg-T1=maT1 R-T2R=I T2=k(xo+x)a=R 解得解得：mT1RIkT2解解1：即即35振动势能：振动势能：振动动能：振动动能：x=Acos(t+)=-Asin(t+)系统系统总能量：总能量：=恒量恒量水平弹簧振子水平弹簧振子4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量36 说明：说明：1.谐谐振振系系统统的的动动能能和和势势能能都都随随时时间间t作作周周期期性性的的变变化化；但系统的但系统的总机械能守恒总机械能守恒。2.平均势能：平均势能：平均动能：平均动能：3.任意任意谐振系统，其振动势能均可写成：谐振系统，其振动势能均可写成：其中其中x是对平衡位置的位移是对平衡位置的位移，k=m 2。虽然形式上与虽然形式上与弹性势能一样，但二者的含义却是不同的。弹性势能一样，但二者的含义却是不同的。(以平衡位置作为势能零点以平衡位置作为势能零点)37例例xo(原长原长)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原长原长)(平衡位置平衡位置)x选选平衡位置为零势点平衡位置为零势点（mg=kx0）即使是弹簧振子其振动势能与弹性势能的含义也是不完全即使是弹簧振子其振动势能与弹性势能的含义也是不完全相同的。相同的。38解解2：mT1RIkT2ox写出写出m位移位移x时系统的总能量：时系统的总能量：将上式对时间求导，得：将上式对时间求导，得：39例例10：一倔强系数为一倔强系数为k=312Nm-1的轻弹簧，一端固定，另一端的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量连接一质量M=0.3kg的物体，放在光滑的水平桌面上，再在物的物体，放在光滑的水平桌面上，再在物体体M上放一质量上放一质量m=0.2kg的小物体。已知的小物体。已知M与与m之间的静摩擦系之间的静摩擦系数数=0.5，求两物体无相对运动时，系统振动的最大能量。，求两物体无相对运动时，系统振动的最大能量。解：解：M显然，显然，A=Amax，E=Emaxm作简谐振动的回复力就是作简谐振动的回复力就是M与与m之间的静摩擦力，由之间的静摩擦力，由最大最大静摩擦力静摩擦力提供的加速度就是系统振动的最大加速度，即提供的加速度就是系统振动的最大加速度，即系统振动的能量系统振动的能量其中其中40系统振动的最大能量：系统振动的最大能量：代入具体数据：代入具体数据：最大振幅：最大振幅：M41例例11：图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长状态。令状态。令m沿水平面振动，经过平衡位置沿水平面振动，经过平衡位置O时，另一质点时，另一质点M恰恰自由落下粘在自由落下粘在m上，求上，求M粘上前后，振动系统角频率比及振粘上前后，振动系统角频率比及振幅比。幅比。MmkkxO解：解：粘上粘上M以前以前质点质点m受到的合力受到的合力:动力学方程：动力学方程：系统作简谐振动！其角频率：系统作简谐振动！其角频率：42粘上粘上M以后以后MmkkxOM与与m粘接过程水平方向动量守恒：粘接过程水平方向动量守恒：粘上粘上M以前以前43MmkkxO(2)如果两弹簧串接在一起，再联结如果两弹簧串接在一起，再联结m，情况又如何？，情况又如何？讨论：讨论：(1)如果如果M是在是在m运动到最大位移处，垂直落在运动到最大位移处，垂直落在m上的，上的，情况如何？情况如何？(3)总结两弹簧总结两弹簧(k1、k2)串联和并联时系统的固有角频率公式。串联和并联时系统的固有角频率公式。444-4 4-4 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 共振共振共振共振简简谐谐振振动动阻阻尼尼振振动动受受迫迫振振动动共共振振阻尼阻尼周期性外力周期性外力 r=0451.阻尼振动阻尼振动受阻力：受阻力：令：令：动力学方程：动力学方程：(称为阻尼系数称为阻尼系数)分三种情况讨论方程的解：分三种情况讨论方程的解：46(1)阻尼较小时阻尼较小时:，此方程的解此方程的解：A和和 0由初始条件决定。由初始条件决定。其中其中Ae-tT这是衰减的振动过程，振幅这是衰减的振动过程，振幅呈指数衰减，称为呈指数衰减，称为欠阻尼情欠阻尼情况况。47(2)阻尼较大时：阻尼较大时：，方程的解：，方程的解：欠阻尼欠阻尼临界阻尼界阻尼过阻尼阻尼振子的运动不再有周期性，缓慢地回到平衡位置，称为振子的运动不再有周期性，缓慢地回到平衡位置，称为过过阻尼情况阻尼情况。(3)如果如果 ，方程的解，方程的解:同样振子的运动不再有周期性，同样振子的运动不再有周期性，但能较快回到平衡位置，称为但能较快回到平衡位置，称为临界阻尼情况临界阻尼情况。常用在天平调常用在天平调衡中和仪表指针设计中。衡中和仪表指针设计中。48系统受力：线性回复力系统受力：线性回复力-kx；阻尼力；阻尼力周期性策动力周期性策动力 f=F0cos t动力学方程：动力学方程：令令2.受迫振动受迫振动49该微分方程的解为该微分方程的解为 此等幅振动的频率此等幅振动的频率 就是策动力的频率，其振幅和初相为就是策动力的频率，其振幅和初相为:可可见见受受迫迫振振动动可可以以看看成成是是两两个个振振动动合合成成的的。第第一一项项表表示示的的是是减减幅幅振振动动。经经过过一一段段时时间间后后，这这一一分分振振动动就就减减弱弱到到可可以以忽忽略略不不计计了了。而而第第二二项项表表示示的的是是受受迫迫振振动动达达到到稳稳定定状状态态时时的的等等幅幅振振动。因此，达到稳定状态时动。因此，达到稳定状态时 x=Acos(t+)50值得注意的是，值得注意的是，A、与振子的初始状态无关，而是依赖于振与振子的初始状态无关，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和策动力的特征。子的性质、阻尼的大小和策动力的特征。稳定振动时的速率：稳定振动时的速率：其中：其中：513.共振共振 受迫振动的振幅与策动力的频率有关，当策动力频率达受迫振动的振幅与策动力的频率有关，当策动力频率达某一值时，振幅达最大值。某一值时，振幅达最大值。相应的最大振幅为相应的最大振幅为即即策策动动力力频频率率等等于于 r时时，振振幅幅达达到到最最大大值值。我我们们把把这这种种振振幅幅达到最大值的现象叫做达到最大值的现象叫做位移共振位移共振。(1)位移共振位移共振52相应的最大振幅为相应的最大振幅为 在在弱弱阻阻尼尼(即即 o)的的情情况况下下，两两者者可可以以不不加加区区别别，即即 r=o,当当策策动动力力频频率率等等于于振振动动系系统统的的固固有有频频率率时时，位位移移和和速速度振幅均达到最大值。度振幅均达到最大值。(2)速度共振速度共振可以看出，当可以看出，当=时，速度振幅达到最大。时，速度振幅达到最大。即当策动力频率正好等于系统固有频率时，受迫振动的速度即当策动力频率正好等于系统固有频率时，受迫振动的速度幅达到极大值，这叫做幅达到极大值，这叫做速度共振速度共振。53分振动：分振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)合振动：合振动：x=x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)利用三角公式或旋转矢量可求得合振动利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x=x1+x2=Acos(t+)可见，可见，同一直线上同频率谐振动的合成，其合振动仍是同一直线上同频率谐振动的合成，其合振动仍是同频率的谐振动同频率的谐振动。一一.同一直线上同频率谐振动的合成同一直线上同频率谐振动的合成4-5 4-5 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成54 由余弦定理，合振动的振幅为由余弦定理，合振动的振幅为合振动的初相：合振动的初相：(2-1 1)M1A1 1 1MA2xoA A2 2M2x=x1+x2 x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)xx1x2P=Acos(t+)55 合振动的振幅合振动的振幅(强弱强弱)，取决于两分振动的相位差：，取决于两分振动的相位差：=2-1=2k ,k=0,1,2,Amax=A1+A2,加强加强=(2k+1),k=0,1,2,Amin=|A1-A2|,减弱减弱.,AminAA1，合振动的初相，合振动的初相 =2；若若A1A2，合振动的初相，合振动的初相 =1；56 解解 合振动方程：合振动方程：x=Acos(t+)例例12 设分振动：设分振动：x1=0.3cos(t+)cm,x2=0.4cos(t+)cm，求合振动方程。求合振动方程。=0.5 =-36.86+180=-0.64+=2.5rad 合振动方程合振动方程：x=0.5cos(t+2.5)cmx0.30.4 A-36.86已知：已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=57例例13 设分振动：设分振动：x1=0.4cos(2 t+/3)cm,x2=0.6cos(2 t-2/3)cm，求合振动方程。求合振动方程。解解 已知：已知：A1=0.4,A2=0.6,1=/3,2=-2 /3两分振动的相位差：两分振动的相位差：x1与与x2是反相的！所以合振动的振幅：是反相的！所以合振动的振幅：合振动的初相：合振动的初相：合振动方程：合振动方程：x=0.2cos(2 t-2/3)cmxx1/3x2-2/358 例例14：t=0时，时，x1 和和 x2的的振动曲线如图所示，求合振动方程振动曲线如图所示，求合振动方程.解解 由图由图可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅:A=0.12-0.08=0.04;合振动的初相合振动的初相:=-/2(振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相)合振动的角频率：合振动的角频率：=2 /T=x(m)t(s)x2x10.120.08o1 合振动方程合振动方程：x=0.04cos(t-/2)m59例例15：两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm,合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为 /6,A1=17.3cm,求：求：(1)A2=?(2)两振动的相差两振动的相差(2-1)=?解解 直接用下述公式是无法求解的：直接用下述公式是无法求解的：A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 此题宜用旋转矢量法求解。此题宜用旋转矢量法求解。用余弦定理得：用余弦定理得：A2 260用正弦定理有：用正弦定理有：因因A=20,A2=10,由上式可求出：由上式可求出：(2-1 1)A1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 261M1A1 1 1MA2xoA A2 2M2二二.同一直线上不同频率谐振动的合成同一直线上不同频率谐振动的合成合振动：合振动：x=x1+x2=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)一般情况下，一般情况下，合振动不再是简谐振动合振动不再是简谐振动！右图所示是初相位、振右图所示是初相位、振幅相同，振动频率分别幅相同，振动频率分别为为200Hz、300Hz的两个的两个简谐振动合成结果简谐振动合成结果62分振动：分振动：x1=Acos(1t+)，x2=Acos(2t+)合振动：合振动：x=x1+x2=比比 的周期长得多的周期长得多！即，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动即，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动拍拍若若 1与与 2很大且相差很小很大且相差很小，现讨论一种特殊情况：现讨论一种特殊情况：则则 2-1 2+163xtx2tx1t单位时间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频拍频64三三.相互垂直的同频率谐振动的合成相互垂直的同频率谐振动的合成 x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)从上两式中消去从上两式中消去t,就得到合振动的轨迹方程为就得到合振动的轨迹方程为 在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程这是一个椭圆方程.椭圆的形状由椭圆的形状由=2-1决定。决定。(1)当当 2-1=0时：时：合振动的轨迹为一直线。合振动的轨迹为一直线。xyo65合振动仍为谐振动！合振动仍为谐振动！(2)当当 2-1=时，合振动的轨迹也为一直线：时，合振动的轨迹也为一直线：xyo合振动仍为谐振动！合振动仍为谐振动！此时振动质点离开此时振动质点离开o点的位移是：点的位移是：xyo66 =-3/4 =-/2 =-/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .(3)当当 2-1=/2时，合振动的轨迹为一椭圆：时，合振动的轨迹为一椭圆：合振动不再是谐振动。合振动不再是谐振动。67四四.相互垂直不同频率谐振动的合成相互垂直不同频率谐振动的合成合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。两种特殊情况：合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。两种特殊情况：(1)两分振两分振动频率相差很小率相差很小可视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变可视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化化,合运动的轨道将不断地从直线逐渐变为椭圆，再由椭合运动的轨道将不断地从直线逐渐变为椭圆，再由椭圆逐渐变为直线，并重复进行，如上页图所示。圆逐渐变为直线，并重复进行，如上页图所示。(2)两分振动的频率成整数比两分振动的频率成整数比合成运动轨道是封闭曲线合成运动轨道是封闭曲线，称为李萨如图形。，称为李萨如图形。P.36 图图1.5.868五五.振动的频谱分析振动的频谱分析 任一复杂振动都可分解为许多简谐振动的叠加，确定任任一复杂振动都可分解为许多简谐振动的叠加，确定任一振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅称为频谱分析。一振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅称为频谱分析。1.一个周期性振动可分解为一系列频率分离的简谐振动一个周期性振动可分解为一系列频率分离的简谐振动若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0,2 0,3 0,(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,)xot锯齿波锯齿波A 03 05 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图69方方波波的的分分解解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0702.一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动振动xot阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A 对振动进行频谱分析是研究机械振动和电磁振动的重要对振动进行频谱分析是研究机械振动和电磁振动的重要手段。手段。通常将振幅降为最大幅值的一半时对应的频率范围称为通常将振幅降为最大幅值的一半时对应的频率范围称为该振动的该振动的频宽。频宽。1 271