第3章不定积分课件

第第3章章 不定积分不定积分3.3 几类特殊函数的积分法几类特殊函数的积分法3.3.1有理函数的积分法有理函数的积分法3.3.2 三角有理式的积分法三角有理式的积分法3.3.3 简单无理函数的积分法简单无理函数的积分法3.3.4 积分表的使用积分表的使用3.3 几类特殊函数的积分法（55）21、有理函数、有理函数由两个多项式的商表示的函数由两个多项式的商表示的函数.3.3.1 3.3.1 有理函数积分法有理函数积分法3.3 几类特殊函数的积分法（55）3假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.如如,难点难点:将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.3.3 几类特殊函数的积分法（55）4（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为2、化有理函数为最简分式之和、化有理函数为最简分式之和特殊地：特殊地：分解后为分解后为3.3 几类特殊函数的积分法（55）5（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为3.3 几类特殊函数的积分法（55）63、化真分式化为最简分式之和的、化真分式化为最简分式之和的待定系数法待定系数法例例1 13.3 几类特殊函数的积分法（55）7代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 23.3 几类特殊函数的积分法（55）8例例3 3整理得整理得3.3 几类特殊函数的积分法（55）9例例4 4 求不定积分求不定积分 解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）10例例5 5 求不定积分求不定积分 解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）11说明：说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令3.3 几类特殊函数的积分法（55）12则则记记3.3 几类特殊函数的积分法（55）13这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论:有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.3.3 几类特殊函数的积分法（55）141 1、三角有理式、三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为3.3.2 3.3.2 三角有理式的积分法三角有理式的积分法3.3 几类特殊函数的积分法（55）152、万能置换公式、万能置换公式3.3 几类特殊函数的积分法（55）16例例6 6 求不定积分求不定积分解解由万能置换公式由万能置换公式3.3 几类特殊函数的积分法（55）173.3 几类特殊函数的积分法（55）18例例7 7 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）19另解另解修改万能置换公式修改万能置换公式,令令3.3 几类特殊函数的积分法（55）20再解再解可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.注意注意：“万能置换万能置换”并非最佳置换方法，因此并非最佳置换方法，因此在三角有理式的积分中，应优先考虑其它技巧在三角有理式的积分中，应优先考虑其它技巧性的方法性的方法.3.3 几类特殊函数的积分法（55）21例例8 8 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）223.3 几类特殊函数的积分法（55）23例例9 9 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）243 3、特殊变换、特殊变换3.3 几类特殊函数的积分法（55）25例例1010 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）26例例1111 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）27原式原式3.3 几类特殊函数的积分法（55）28例例1212 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）29注意：注意：任意多元函数均可分解为关于某个变任意多元函数均可分解为关于某个变量的一个奇函数和一个偶函数的代数和形式量的一个奇函数和一个偶函数的代数和形式.30例例1313 求不定积分求不定积分解解3.3 几类特殊函数的积分法（55）313.3 几类特殊函数的积分法（55）3.3 几类特殊函数的积分法（55）32讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.3.3.3 3.3.3 简单无理式积分法简单无理式积分法3.3 几类特殊函数的积分法（55）33例例1414 求不定积分求不定积分解解 令令3.3 几类特殊函数的积分法（55）343.3 几类特殊函数的积分法（55）35例例1515 求不定积分求不定积分解解 令令说明：说明：无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.3.3 几类特殊函数的积分法（55）36例例1616 求不定积分求不定积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式3.3 几类特殊函数的积分法（55）37简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：注意：先化为真分式！）先化为真分式！）三角有理式的积分（万能置换公式）三角有理式的积分（万能置换公式）.（注意：注意：万能置换慎用！）万能置换慎用！）3.3.5 3.3.5 小结与思考题小结与思考题3.3 几类特殊函数的积分法（55）38思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？3.3 几类特殊函数的积分法（55）39思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.3.3 几类特殊函数的积分法（55）40课堂练习题课堂练习题3.3 几类特殊函数的积分法（55）413.3 几类特殊函数的积分法（55）423.3 几类特殊函数的积分法（55）43课堂练习题答案课堂练习题答案3.3 几类特殊函数的积分法（55）443.3 几类特殊函数的积分法（55）453.3 几类特殊函数的积分法（55）46（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）不定积分公式表见）不定积分公式表见高等数学高等数学B上册上册（北师大数科院蔡俊亮等编）附录（北师大数科院蔡俊亮等编）附录(II).（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.3.3.4 3.3.4 积分表的使用法积分表的使用法3.3 几类特殊函数的积分法（55）47例例1616 求求（含有（含有 ）在积分表（一）中查得公式在积分表（一）中查得公式 4.现在现在于是于是3.3 几类特殊函数的积分法（55）48例例1717 求求（含有三角函数）（含有三角函数）在积分表（五）中查得此类公式有两个在积分表（五）中查得此类公式有两个选公式选公式 19.将将 代入得代入得3.3 几类特殊函数的积分法（55）49例例1818 求求在积分表（三）中查得公式在积分表（三）中查得公式 31.将将 代入得代入得3.3 几类特殊函数的积分法（55）50例例1919 求求在积分表（五）中查得公式在积分表（五）中查得公式 7.利用此公式可使被积正弦函数的幂减少两次利用此公式可使被积正弦函数的幂减少两次,重复使用该公式可使正弦函数的幂继续减少重复使用该公式可使正弦函数的幂继续减少,直到降为直到降为0或或1，求出结果，求出结果.此公式叫此公式叫递推公式递推公式.现在为现在为 情形，情形，于是于是3.3 几类特殊函数的积分法（55）51对积分对积分 使用（三）中的公式使用（三）中的公式 5.3.3 几类特殊函数的积分法（55）52说明：说明：初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，如，如，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.3.3 几类特殊函数的积分法（55）53利用积分表计算下列不定积分：利用积分表计算下列不定积分：课堂练习题课堂练习题3.3 几类特殊函数的积分法（55）54课堂练习题答案课堂练习题答案