矩阵的条件数与病态方程组讲解课件

2.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数 二、线12.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组例例1 方程组方程组准确解：准确解：若若A及及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：作微小变化，考虑扰动后的方程组：准确解：准确解：方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相差很远。差很远。2.3 矩阵的条件数与病态方程组例1 方程组准确解：若A2例例2 方程组方程组准确解为：准确解为：（1）对右端）对右端b作微小扰动：作微小扰动：（2）对系数矩阵）对系数矩阵A作微小扰动：作微小扰动：4488倍倍15111倍倍例2 方程组准确解为：（1）对右端b作微小扰动：（2）对系数32.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 矩阵条件数的定义矩阵条件数的定义矩阵条件数的性质矩阵条件数的性质2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数 矩阵4一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 改写（改写（2.22）式：）式：Proof 一、矩阵的条件数 改写（2.22）式：Proof 5矩阵条件数的定义：矩阵条件数的定义：矩阵条件数的性质：矩阵条件数的性质：矩阵条件数的定义：矩阵条件数的性质：6（6）Cond(AB)Cond(A)Cond(B)（6）Cond(AB)Cond(A)Cond(B)7二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态8答案：答案：答案：9希尔伯特（Hilbert）阵定义：定义：-最著名的病态矩阵最著名的病态矩阵对称正定矩阵对称正定矩阵在在MATLAB中，函数中，函数hilb（）提供了（）提供了Hilbert矩阵矩阵希尔伯特（Hilbert）阵定义：-最著名的病态矩阵10希尔伯特（Hilbert）阵-最著名的病态矩阵最著名的病态矩阵Hilbert矩阵的条件数：希尔伯特（Hilbert）阵-最著名的病态矩阵Hil11求解病态方程组出现的问题：求解病态方程组出现的问题：例：用例：用MATLAB求解线性方程组求解线性方程组输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000求解病态方程组出现的问题：例：用MATLAB求解线性方程组输12输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.999 1.000，0.999，1.000，0.999，1.000输入：输入：得：得：ans=1.000,1,000,1.001,0.979 1.202 -0.141,4.886,-6.842,9.446,-2.9071 6.4271,-19.1914,24.787,9.577,-50.545,65.566,-47.751,27.814,-9.191,2.883输入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.013三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别 2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（1）采用高精度）采用高精度（2）（预处理）平衡法）（预处理）平衡法（3）残差校正法）残差校正法（4）奇异值分解法）奇异值分解法三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别 2、病态线14三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别例（例（P49）三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别例（P49）15三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别、病态线性方程组的判别例（例（P49）三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别例（P49）16 2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（2）预处理）预处理设有预处理矩阵设有预处理矩阵P，对方程组，对方程组AX=b预处理预处理PAX=Pb使使 2、病态线性方程组的求解（2）预处理设有预处理矩阵P，对方17 2、病态线性方程组的求解、病态线性方程组的求解（1）采用高精度）采用高精度（2）预处理）预处理 2、病态线性方程组的求解（1）采用高精度（2）预处理18例例4（P49）方程组病态方程组病态进行行平衡进行行平衡:得同解方程组得同解方程组:例4（P49）方程组病态进行行平衡:得同解方程组:19(3)残差校正法残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法）YN(3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN20(3)残差校正法残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法）(3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）21（4）奇异值分解法）奇异值分解法U、V正交阵，正交阵，S对角阵对角阵在在MATLAB中，函数中，函数svd（）作矩阵的奇异值分解（）作矩阵的奇异值分解a)奇异值分解（奇异值分解（Singular-Value Decomposition）如：求如：求H4的奇异值分解。输入的奇异值分解。输入（4）奇异值分解法U、V正交阵，S对角阵在MATLA22如：求如：求H4的奇异值分解。输入的奇异值分解。输入得到：得到：U=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0 0 0.0067 0 0 0 0 0.0001V=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146如：求H4的奇异值分解。输入得到：U=-0.7926 023b)用奇异值分解解线性方程组用奇异值分解解线性方程组思考思考:这种方法有问题吗？这种方法有问题吗？令令请大家自己查阅有关书籍数值分析与实验，薛毅请大家自己查阅有关书籍数值分析与实验，薛毅b)用奇异值分解解线性方程组思考:这种方法有问题吗？令请大家24小小 结结2.3 矩阵的条件数与病态方程组矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态二、线性方程组的性态:病态和良态病态和良态三、病态线性方程组的求解三、病态线性方程组的求解（1）采用高精度）采用高精度（2）（预处理）平衡法）（预处理）平衡法（3）残差校正法）残差校正法（4）奇异值分解法）奇异值分解法小 结2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件25证明证明(1)只要证明只要证明A+A非奇非奇 (2)证明(1)只要证明A+A非奇 (2)26证毕证毕证毕27