多自由度运动方程的建立分析课件

第九章第九章结构动力学多自由度运动方程的建立第九章结构动力学多自由度运动方程的建立9.19.1 自由度的选择自由度的选择9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应第九章第九章 多自由度体系的运动方程多自由度体系的运动方程9.1 自由度的选择第九章 多自由度体系的运动方程单自由度体系两种描述方法单一的坐标一个变形函数广义坐标影响近似分析的精度的因素影响近似分析的精度的因素 9.19.19.19.1 自由度的选择自由度的选择自由度的选择自由度的选择主要有：荷载的空间分布荷载的时间历程结构自身的动力特性刚度、质量及阻尼单自由度体系两种描述方法9.1 自由度的选择主要有：9.19.1 自由度的选择自由度的选择离散体系自由度的描述方法离散体系自由度的描述方法自由度方向的位移幅值广义坐标表示的一组位移模式的幅值采用第一种方法9.1 自由度的选择离散体系自由度的描述方法自由度方向的位 9.19.1 自由度的选择自由度的选择自由度选择的原则自由度选择的原则假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真实的动力行为，但是在许多情形中，只用二、三个自由实的动力行为，但是在许多情形中，只用二、三个自由度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自由度。加自由度。9.1 自由度的选择自由度选择的原则假定结构的运动梁上 9.19.1 自由度的选择自由度的选择图图9-19-1一般梁式结构的离散化一般梁式结构的离散化梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，每一个节点上可以取几个位移分量，例如可每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自由度。自由度。9.1 自由度的选择图9-1 一般梁式结构的离散化梁上每每一个自由度其动力平衡条件可写为每一个自由度其动力平衡条件可写为当力向量用矩阵形式表示时也可写成当力向量用矩阵形式表示时也可写成（9-19-1）（9-29-2）9.2 9.2 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件动力平衡条件动力平衡条件每一个自由度其动力平衡条件可写为当力向量用矩阵形式表示时也可 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例如在自由度如在自由度1 1方向上产生的弹性力分量方向上产生的弹性力分量（9-3a9-3a）（9-3b9-3b）写成一般形式为写成一般形式为（9-3c9-3c）9.2 动力平衡条件 每一抗力可以非常方便地用一组适 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件刚度影响系数刚度影响系数由由j j自由度单位位移引起的对应于自由度单位位移引起的对应于i i自由度的力自由度的力用矩阵形式表示全部弹性力的关系为用矩阵形式表示全部弹性力的关系为或者或者（9-49-4）（9-59-5）（9-69-6）9.2 动力平衡条件刚度影响系数由j自由度单位位移引起 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为或者或者阻尼影响系数阻尼影响系数由由j j自由度单位速度引起的对应于自由度单位速度引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-79-7）（9-99-9）（9-89-8）9.2 动力平衡条件若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为或者 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件惯性力可由质量系数表示为惯性力可由质量系数表示为或者或者质量影响系数质量影响系数由由j j自由度单位加速度引起的对应于自由度单位加速度引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-109-10）（9-119-11）（9-129-12）9.2 动力平衡条件惯性力可由质量系数表示为或者质量影响系 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件完整的动力平衡方程为完整的动力平衡方程为（9-139-13）9.2 动力平衡条件完整的动力平衡方程为（9-13）计入轴向力的动力平衡方程为计入轴向力的动力平衡方程为轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为（9-149-14）（9-159-15）9.3 9.3 9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应轴向力的效应轴向力的效应或者或者（9-179-17）计入轴向力的动力平衡方程为轴向荷载产生的产生的这些力可用影响 9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应几何刚度影响系数几何刚度影响系数:由由j j自由度单位位移和结构中由轴向力分量自由度单位位移和结构中由轴向力分量引起的对应于引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-169-16）9.3 轴向力的效应几何刚度影响系数:由j自由度单位位移和 9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为或者或者（9-189-18）（9-139-13）（9-199-19）（9-209-20）9.3 轴向力的效应引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向第十章第十章结构动力学结构特性矩阵的计算第十章结构动力学结构特性矩阵的计算10.110.1 弹性特性弹性特性10.2 10.2 质量特性质量特性10.3 10.3 阻尼特性阻尼特性10.4 10.4 外荷载外荷载10.5 10.5 几何刚度几何刚度10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择第十章第十章 结构特性矩阵的计算结构特性矩阵的计算10.1 弹性特性第十章 结构特性矩阵的计算柔度系数柔度系数在在j j坐标施加单位荷载引起对应坐标施加单位荷载引起对应 i i坐标的位移坐标的位移（10-110-1）10.110.110.110.1 弹性特性弹性特性弹性特性弹性特性柔度系数在j坐标施加单位荷载引起对应 i 坐标的位移（10-10.110.1 弹性特性弹性特性图图10-110-1柔度影响系数的定义柔度影响系数的定义当任意荷载组合下某点当任意荷载组合下某点1 1产生的挠度为产生的挠度为10.1 弹性特性图10-1 柔度影响系数的定义当任意 10.110.1 弹性特性弹性特性则全部位移可表示为则全部位移可表示为（10-310-3）或者或者（10-410-4）或者或者（10-510-5）10.1 弹性特性则全部位移可表示为（10-3）或者（1 10.110.1 弹性特性弹性特性刚度系数刚度系数表示一个自由度发生单位位移而其它自由度不动时在表示一个自由度发生单位位移而其它自由度不动时在结构中产生的力结构中产生的力.图图10-210-2刚度影响系数的定义刚度影响系数的定义10.1 弹性特性刚度系数表示一个自由度发生单位位移而 10.110.1 弹性特性弹性特性结构的基本概念结构的基本概念应变能应变能应变能等于使体系变形所做的功应变能等于使体系变形所做的功,即即将将(10-4)(10-4)代入上式得代入上式得将式（将式（10-610-6）转置，并将式（）转置，并将式（9-69-6）代入，可得代入，可得注意注意（10-610-6）（10-710-7）（10-810-8）（10-910-9）10.1 弹性特性结构的基本概念应变能应变能等于使体系 10.110.1 弹性特性弹性特性正定正定/半正定矩阵半正定矩阵正定正定/半正定矩阵半正定矩阵10.1 弹性特性正定/半正定矩阵正定/半正定矩阵 10.110.1 弹性特性弹性特性刚度矩阵与柔度矩阵的关系刚度矩阵与柔度矩阵的关系左乘左乘刚度矩阵与柔度矩阵互逆刚度矩阵与柔度矩阵互逆10.1 弹性特性刚度矩阵与柔度矩阵的关系左乘刚度矩阵与柔 10.110.1 弹性特性弹性特性按相反的次序对结构施加两种荷载。第一种情况首先加按相反的次序对结构施加两种荷载。第一种情况首先加荷载荷载a a再加荷载再加荷载b b，第二种情况则以相反的次序施加荷载，第二种情况则以相反的次序施加荷载，两者所做的功分别如下：两者所做的功分别如下：荷载荷载a:a:荷载荷载b:b:总和总和：（10-1110-11）情况情况1 110.1 弹性特性按相反的次序对结构施加两种荷载。第一 10.110.1 弹性特性弹性特性情况情况2:2:荷载荷载b:b:荷载荷载a:a:总和总和:（10-1210-12）10.1 弹性特性情况2:荷载b:荷载a:总和:（10-1 10.110.1 弹性特性弹性特性BettiBetti定律定律（10-1310-13）结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等-唯一性、能量守恒唯一性、能量守恒图图10-310-3两组独立的荷载系与产生的变位两组独立的荷载系与产生的变位10.1 弹性特性Betti定律（10-13）结构的变形 10.110.1 弹性特性弹性特性显然显然（10-1410-14）（10-1510-15）它说明了功的互等定理它说明了功的互等定理假如对于这二组力和位移写出式（假如对于这二组力和位移写出式（10-410-4）代入上式。代入上式。即刚度矩阵也是对称的即刚度矩阵也是对称的。说明柔度矩阵必定是对称的，同样（说明柔度矩阵必定是对称的，同样（9-69-6）代入得代入得（10-1310-13）10.1 弹性特性显然（10-14）（10-15）它说 10.110.1 弹性特性弹性特性有限单元刚度有限单元刚度图图10-410-4由于左端结点单位位移而产生的梁挠度由于左端结点单位位移而产生的梁挠度10.1 弹性特性有限单元刚度 图10-4 由于左 10.110.1 弹性特性弹性特性如图所示变截面直梁段，单元的两个节点位于两端，通如图所示变截面直梁段，单元的两个节点位于两端，通过这两个节点可以把这类单元组合成结构，假如只考虑横向过这两个节点可以把这类单元组合成结构，假如只考虑横向平面位移，每一个节点只有竖向位移和转角两个自由度。上平面位移，每一个节点只有竖向位移和转角两个自由度。上图表示单元左端发生每一种类型的一个单位位移而同时又将图表示单元左端发生每一种类型的一个单位位移而同时又将其它三个节点位移约束时，所产生的挠度曲线。这些位移函其它三个节点位移约束时，所产生的挠度曲线。这些位移函数可以是任意形状的，只要它们满足节点和内部连续的要求，数可以是任意形状的，只要它们满足节点和内部连续的要求，但是一般假定这些节点位移作用下等截面梁上所引起的变形但是一般假定这些节点位移作用下等截面梁上所引起的变形形状，它们是三次形状，它们是三次HermiteHermite多项式，表示为多项式，表示为10.1 弹性特性如图所示变截面直梁段，单元的两个节点 10.110.1 弹性特性弹性特性（10-16a10-16a）（10-16b10-16b）（10-16c10-16c）（10-16d10-16d）位移发生在右端产生的相应形状函数为位移发生在右端产生的相应形状函数为10.1 弹性特性（10-16a）（10-16b）（1 10.110.1 弹性特性弹性特性单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为参照图参照图10-410-4，自由度的编号如下，自由度的编号如下（10-17a10-17a）（10-17b10-17b）10.1 弹性特性单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为参照 10.110.1 弹性特性弹性特性图图10-510-5结点产生真实转角和虚位移的梁结点产生真实转角和虚位移的梁10.1 弹性特性图10-5 结点产生真实转角和虚位移 10.110.1 弹性特性弹性特性由内力虚功产生的内力矩为由内力虚功产生的内力矩为（10-1810-18）10.1 弹性特性由内力虚功产生的内力矩为（10-18）10.110.1 弹性特性弹性特性（10-1910-19）（10-2010-20）（10-2110-21）令（令（10-1810-18）与（）与（10-1910-19）相等，该刚度系数表示成）相等，该刚度系数表示成因此内力功为因此内力功为所以，与梁弯曲相应的任一刚度系数为所以，与梁弯曲相应的任一刚度系数为10.1 弹性特性（10-19）（10-20）（10-10.110.1 弹性特性弹性特性直接刚度法的概念直接刚度法的概念（10-2310-23）当结构全部单元的刚度系数求出后，只要适当叠加各单当结构全部单元的刚度系数求出后，只要适当叠加各单元的刚度系数就能得到整个结构的刚度，这叫做直接刚度法。元的刚度系数就能得到整个结构的刚度，这叫做直接刚度法。假如单元假如单元mm、n n和和p p都与结构的都与结构的i i节点相连，该节点的刚度系数节点相连，该节点的刚度系数是是10.1 弹性特性直接刚度法的概念（10-23）当结 10.210.2 质量特性质量特性集中质量矩阵集中质量矩阵假定全部质量集中在某些需要计算平动的点上，将结构分假定全部质量集中在某些需要计算平动的点上，将结构分割成段，以节点作为连接点，每一段的质量在它的节点上各自割成段，以节点作为连接点，每一段的质量在它的节点上各自集聚成点质量，整个结构上任一节点集聚的总质量等于该节点集聚成点质量，整个结构上任一节点集聚的总质量等于该节点连接的各段分配给此节点的质量和。连接的各段分配给此节点的质量和。对于只须确定平移自由度的体系，集中质量矩阵具有对角对于只须确定平移自由度的体系，集中质量矩阵具有对角形式，其中对角线的项数等于自由度数。形式，其中对角线的项数等于自由度数。假如在任一节点处有几个平动自由度，则用同样的点质量与假如在任一节点处有几个平动自由度，则用同样的点质量与这个节点的每一自由度相对应。因为假定质量集中在点上没有转这个节点的每一自由度相对应。因为假定质量集中在点上没有转动惯量，所以与任何一转动自由度相关联的质量为零。所以一般动惯量，所以与任何一转动自由度相关联的质量为零。所以一般说来，集中质量矩阵为对角矩阵，其中包括与转动自由度相对应说来，集中质量矩阵为对角矩阵，其中包括与转动自由度相对应的零对角元素。的零对角元素。10.2 质量特性集中质量矩阵假定全部质量集中在某些需 10.210.2 质量特性质量特性一致质量矩阵一致质量矩阵图图10-710-7结点承受真实的角加速度和虚的位移结点承受真实的角加速度和虚的位移10.2 质量特性一致质量矩阵图10-7 结点承受真实 10.210.2 质量特性质量特性如图所示的变截面梁，它的自由度是两端的平移和转动，如图所示的变截面梁，它的自由度是两端的平移和转动，假定由用于推导单元刚度中同样的插值函数来确定跨度内的假定由用于推导单元刚度中同样的插值函数来确定跨度内的位移。假定梁左端受单位加速度作用，沿梁长加速度分布为位移。假定梁左端受单位加速度作用，沿梁长加速度分布为（10-2510-25）抵抗这个加速度的惯性力为抵抗这个加速度的惯性力为（10-2610-26）10.2 质量特性如图所示的变截面梁，它的自由度是两端 10.210.2 质量特性质量特性把影响与此加速度相关联的质量影响系数定义为此加速把影响与此加速度相关联的质量影响系数定义为此加速度所产生的惯性力，利用虚位移原理得度所产生的惯性力，利用虚位移原理得（10-2710-27）（10-2810-28）用插值函数表示内部虚位移，并代入（用插值函数表示内部虚位移，并代入（10-2610-26）可导出）可导出任意梁段的任何一个质量影响系数为任意梁段的任何一个质量影响系数为10.2 质量特性把影响与此加速度相关联的质量影响系数定义 10.210.2 质量特性质量特性这个等式的对称形式说明质量矩阵是对称的，当计算质量这个等式的对称形式说明质量矩阵是对称的，当计算质量系数采用同样的插值函数时，所得的质量矩阵叫一致质量矩阵。系数采用同样的插值函数时，所得的质量矩阵叫一致质量矩阵。常用三次常用三次HermiteHermite多项式。利用单元刚度矩阵叠加得到整个单多项式。利用单元刚度矩阵叠加得到整个单元集合体的质量矩阵。一致质量体系动力分析的计算工作量一元集合体的质量矩阵。一致质量体系动力分析的计算工作量一般要比集中质量体系大得多般要比集中质量体系大得多。10.2 质量特性这个等式的对称形式说明质量矩阵是对称 10.3 10.3 阻尼特性阻尼特性任何单元体系的阻尼系数为任何单元体系的阻尼系数为（10-3010-30）单元的阻尼影响系数被确定以后，整个结构的阻单元的阻尼影响系数被确定以后，整个结构的阻尼矩阵就能够应用与直接刚度法相同的叠加过程来求尼矩阵就能够应用与直接刚度法相同的叠加过程来求得。然而阻尼特性实际上是算不出来的。因此常常根得。然而阻尼特性实际上是算不出来的。因此常常根据类似结构的实验方法所确定的阻尼比来表示阻尼，据类似结构的实验方法所确定的阻尼比来表示阻尼，而不用显式的阻尼矩阵。而不用显式的阻尼矩阵。10.3 10.3 10.3 10.3 阻尼特性阻尼特性阻尼特性阻尼特性10.3 阻尼特性任何单元体系的阻尼系数为（10-30）10.4 10.4 外荷载外荷载静力的合力静力的合力节点力可以当作一组与分布荷载静力等效的集中节点力可以当作一组与分布荷载静力等效的集中荷载来确定。实际上这种分析方法就相当于把实际荷荷载来确定。实际上这种分析方法就相当于把实际荷载通过支撑于节点上的一系列简支梁加到结构上，而载通过支撑于节点上的一系列简支梁加到结构上，而支座处产生的反力就变成作用在结构上的集中节点力。支座处产生的反力就变成作用在结构上的集中节点力。10.4 10.4 10.4 10.4 外荷载外荷载外荷载外荷载10.4 外荷载静力的合力节点力可以当作一组与分布荷载 10.4 10.4 外荷载外荷载建立计算各节点自由度相对应的节点力，采用虚位移建立计算各节点自由度相对应的节点力，采用虚位移原理导出的节点力为一致节点荷载。如图所示当对应于虚原理导出的节点力为一致节点荷载。如图所示当对应于虚位移的广义力是位移的广义力是（10-3110-31）一致节点荷载一致节点荷载10.4 外荷载建立计算各节点自由度相对应的节点力，采 10.4 10.4 外荷载外荷载因此，单元广义荷载一般能表示为因此，单元广义荷载一般能表示为（10-3210-32）（10-3310-33）上式中所用的插值函数必须与计算单元刚度系数时所上式中所用的插值函数必须与计算单元刚度系数时所用的相同，假如改用线性插值函数，用的相同，假如改用线性插值函数，式（式（10-3210-32）将给出静力的节点合力。）将给出静力的节点合力。10.4 外荷载因此，单元广义荷载一般能表示为（10-32 10.4 10.4 外荷载外荷载某些情况下所施加的荷载可以具有特殊的形式某些情况下所施加的荷载可以具有特殊的形式，荷载分布形式不随时间变化而只是它的幅值变化，这种情荷载分布形式不随时间变化而只是它的幅值变化，这种情况下的广义力为况下的广义力为它说明广义力与所施加的荷载具有同样的时间变化规律。它说明广义力与所施加的荷载具有同样的时间变化规律。（10-34a10-34a）（10-34b10-34b）10.4 外荷载某些情况下所施加的荷载可以具有特殊的形式，10.5 10.5 几何刚度几何刚度线性近似线性近似 10.5 10.5 10.5 10.5 几何刚度几何刚度几何刚度几何刚度图图10-910-9梁的理想化轴向承载机理梁的理想化轴向承载机理10.5 几何刚度线性近似10.5 几何刚度图10-9 10.5 10.5 几何刚度几何刚度计算几何刚度特性的方法最简单的近似由上可得，假计算几何刚度特性的方法最简单的近似由上可得，假定全部轴力作用在铰结刚性杆组成的辅助结构上，铰位于定全部轴力作用在铰结刚性杆组成的辅助结构上，铰位于真梁横向位移自由要确定的点上，通过传递横向力而无轴真梁横向位移自由要确定的点上，通过传递横向力而无轴力分量的连杆与主梁相连。力分量的连杆与主梁相连。由于辅助体系中挠曲和轴向力的作用，在连接辅助体由于辅助体系中挠曲和轴向力的作用，在连接辅助体系和主梁的连杆中产生了力。即要求主梁具有足够的抗力系和主梁的连杆中产生了力。即要求主梁具有足够的抗力以保持辅助体系的稳定。以保持辅助体系的稳定。10.5 几何刚度计算几何刚度特性的方法最简单的近似由 10.5 10.5 几何刚度几何刚度维持辅助体系中的一个代表性区段维持辅助体系中的一个代表性区段i i平衡所需要的力，如平衡所需要的力，如图图10-1010-10，横向分量取决于段中的轴向力分量和该段的斜率。，横向分量取决于段中的轴向力分量和该段的斜率。力沿着主梁下位移方向作用时为正，写成矩阵形式为力沿着主梁下位移方向作用时为正，写成矩阵形式为图图10-1010-10由于辅助连杆中的轴向荷载产生的平衡力由于辅助连杆中的轴向荷载产生的平衡力10.5 几何刚度维持辅助体系中的一个代表性区段i平衡所 10.5 10.5 几何刚度几何刚度用符号表示为用符号表示为（10-3510-35）（10-3710-37）10.5 几何刚度用符号表示为（10-35）（10-37）10.5 10.5 几何刚度几何刚度一致几何刚度一致几何刚度图图10-1110-11承受轴向荷载的梁，其结点具有真实转动和虚线位移承受轴向荷载的梁，其结点具有真实转动和虚线位移10.5 几何刚度一致几何刚度图10-11 承受轴向荷 10.5 10.5 几何刚度几何刚度承受轴向荷载的作用而产生任意变化的轴向力承受轴向荷载的作用而产生任意变化的轴向力N(x)N(x)，图，图中给出左端产生转角的梁。根据定义，与此位移分量相关的节中给出左端产生转角的梁。根据定义，与此位移分量相关的节点力是相应的几何刚度影响系数。这些系数可由虚位移原理以点力是相应的几何刚度影响系数。这些系数可由虚位移原理以及外功等于内功的方法求得。及外功等于内功的方法求得。10.5 几何刚度承受轴向荷载的作用而产生任意变化的轴向 10.5 10.5 几何刚度几何刚度正的几何刚度系数对应于正的位移，建立内力虚功需正的几何刚度系数对应于正的位移，建立内力虚功需要从图要从图11-1111-11的体系中取出长的体系中取出长dxdx的微段，放大如图的微段，放大如图11-1211-12。虚。虚位移过程中轴力位移过程中轴力N(x)N(x)在该段上的做功为在该段上的做功为（10-3810-38）（10-3910-39）外力虚功为外力虚功为10.5 几何刚度正的几何刚度系数对应于正的位移，建立内 10.5 10.5 几何刚度几何刚度用插值函数横向位移并积分得用插值函数横向位移并积分得（10-4010-40）图图10-1210-12图图10-1110-11变形梁的微段变形梁的微段10.5 几何刚度用插值函数横向位移并积分得（10-40）10.5 10.5 几何刚度几何刚度如果在推导几何刚度系数时使用了如果在推导几何刚度系数时使用了HermiteHermite插值函数，所插值函数，所得的矩阵为几何刚度矩阵。假如上式中使用线性插值函数，得的矩阵为几何刚度矩阵。假如上式中使用线性插值函数，且整个单元上轴力是常数，则导出（且整个单元上轴力是常数，则导出（10-3510-35）所示的单元）所示的单元几何刚度矩阵。一致几何刚度矩阵可以表示平移和转动自几何刚度矩阵。一致几何刚度矩阵可以表示平移和转动自由度，而线性近似只能涉及平移。由度，而线性近似只能涉及平移。一般形式为一般形式为（10-4110-41）（10-4210-42）令内功等于外功，得几何刚度系数为令内功等于外功，得几何刚度系数为10.5 几何刚度如果在推导几何刚度系数时使用了Hermi计算所有其它特性时如果不考虑转动自由度，则在写计算所有其它特性时如果不考虑转动自由度，则在写出运动方程前将其从刚度矩阵中排除。这个过程叫做静力出运动方程前将其从刚度矩阵中排除。这个过程叫做静力凝聚。假定转动和平移自由度已经分离，（凝聚。假定转动和平移自由度已经分离，（9-59-5）能写成）能写成分块形式：分块形式：（10-4410-44）10.6 10.6 10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择特性公式的选择特性公式的选择（9-59-5）计算所有其它特性时如果不考虑转动自由度，则在写出运动方程 10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择计算所有其它特性时如果不考虑转动自由度，将转动计算所有其它特性时如果不考虑转动自由度，将转动和平移自由度已经分离和平移自由度已经分离,则写出运动方程的分块形式则写出运动方程的分块形式：10.6 特性公式的选择计算所有其它特性时如果不考虑转 10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择假定作用在结构上其它向量不包括任何转动分量，即假定作用在结构上其它向量不包括任何转动分量，即弹性转动力为零，引入上式可由第二个子矩阵方程用平移弹性转动力为零，引入上式可由第二个子矩阵方程用平移来表示转动位移：来表示转动位移：（10-4510-45）代入代入(10-44)(10-44)得：得：（10-4610-46）（10-4710-47）10.6 特性公式的选择假定作用在结构上其它向量不包括 10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择静力凝聚静力凝聚10.6 特性公式的选择静力凝聚 10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择凝聚后的平衡方程10.6 特性公式的选择凝聚后的平衡方程