MATLAB应用第七章多元函数微分学课件

MATLAB 高等数学实验MATLAB 高等数学实验实验七 多元函数微分学n n实验目的n n掌握用MATLAB计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法。理解和掌握曲面的切平面的作法。通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念。实验七 多元函数微分学实验目的7.1 学习MATLAB命令7.1 学习MATLAB命令7.1.1 求偏导数命令命令n ndiffdiff既可以用于求一元函数的导数，也可用于求多元函数既可以用于求一元函数的导数，也可用于求多元函数的偏导数。用于求偏导数时，可根据需要分别采用如下几的偏导数。用于求偏导数时，可根据需要分别采用如下几种形式。种形式。n n若求若求f(x,y,z)f(x,y,z)对对x x的偏导数，输入的偏导数，输入diff(f(x,y,z),x)diff(f(x,y,z),x)n n若求若求f(x,y,z)f(x,y,z)对对y y的偏导数，输入的偏导数，输入diff(f(x,y,z),y)diff(f(x,y,z),y)n n若求若求f(x,y,z)f(x,y,z)对对x x的二阶偏导数，输入的二阶偏导数，输入diff(diff(f(x,y,z),x),x)diff(diff(f(x,y,z),x),x)或者或者diff(f(x,y,z),x,2)diff(f(x,y,z),x,2)n n若求若求f(x,y,z)f(x,y,z)对对x,yx,y的混合偏导数，输入的混合偏导数，输入diff(diff(f(x,y,z),x),y)diff(diff(f(x,y,z),x),y)n n其余类推。其余类推。7.1.1 求偏导数命令命令diff既可以用于求一元函数的7.1.2 在xoy平面上作二元函数z=f(x,y)等高线的命令n ncontourcontour的命令格式类似于的命令格式类似于meshmesh和和surfsurf这两个命令。这两个命令。n n例如输入例如输入:x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);z=x.2-y.2+0.5;z=x.2-y.2+0.5;contour(x,y,z,20)contour(x,y,z,20)%参数参数2020是等高线的数量是等高线的数量n n便作出了函数便作出了函数z=x2-y2z=x2-y2的等高线的等高线(见图见图7.1)7.1)。7.1.2 在xoy平面上作二元函数z=f(x,y)等高图7.1图7.17.1.3 解符号形式的代数方程组的命令n nsolvesolve命令用于求解符号形式的代数方程组，其格式如下。命令用于求解符号形式的代数方程组，其格式如下。s=solve(eq1,eq2,eqN,var1,var2,varN)s=solve(eq1,eq2,eqN,var1,var2,varN)n n它对方程组它对方程组eq1eq1，eq2eq2，eqNeqN中指定的中指定的N N个变量个变量var1var1，var2var2，varNvarN求解。求解。s s返回解的结构，其内容通过阅返回解的结构，其内容通过阅读其域得到读其域得到(输入输入s.var1s.var1，s.var2s.var2，等等，等等)。当系统求。当系统求不出解析解时，会自动求原点附近的一个近似解。不出解析解时，会自动求原点附近的一个近似解。7.1.3 解符号形式的代数方程组的命令solve命令用于n n例如，输入例如，输入:s=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0)%s=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0)%或者或者s=solve(x2+x*y+y-3,x2-4*x+3)s=solve(x2+x*y+y-3,x2-4*x+3)n n输出为输出为:s=s=x:2x1 sym x:2x1 sym y:2x1 sym y:2x1 sym例如，输入:n n输入输入:s.x,s.ys.x,s.y%结构的具体内容结构的具体内容n n输出为输出为:ans=ans=1 13 3ans=ans=1 1-3/2-3/2输入:n nsolvesolve有另外一种输出形式。输入有另外一种输出形式。输入:x,y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0)x,y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0)n n%或者或者x,y=solve(x2+x*y+y-3,x2-4*x+3)x,y=solve(x2+x*y+y-3,x2-4*x+3)n n输出为输出为:x=x=1 13 3y=y=1 1-3/2-3/2solve有另外一种输出形式。输入:7.2 实验内容7.2 实验内容7.2.1 求多元函数的偏导数与全微分n n【例例1 1】设设 ，求，求 n n输入输入:syms x ysyms x yz=sin(x*y)+(cos(x*y)2z=sin(x*y)+(cos(x*y)2diff(z,x)diff(z,x)diff(z,y)diff(z,y)diff(z,x,2)diff(z,x,2)diff(diff(z,x),y)diff(diff(z,x),y)7.2.1 求多元函数的偏导数与全微分【例1】设 n n便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果:z=sin(x*y)+(cos(x*y)2z=sin(x*y)+(cos(x*y)2ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y)ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y)ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y)ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y)ans=-2*y2*cos(x*y)2+2*y2*sin(x*y)2-ans=-2*y2*cos(x*y)2+2*y2*sin(x*y)2-y2*sin(x*y)y2*sin(x*y)ans=-2*x*y*cos(x*y)2-ans=-2*x*y*cos(x*y)2-2*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y)2*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y)2-x*y*sin(x*y)2-x*y*sin(x*y)便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果:n n【例例2 2】设设 ，求，求 。n n输入输入:syms x y syms x y z=(1+x*y)y;z=(1+x*y)y;diff(z,x)diff(z,x)diff(z,y)diff(z,y)n n则有输出则有输出:ans=y2*(x*y+1)(y-1)ans=y2*(x*y+1)(y-1)ans=log(x*y+1)*(x*y+1)y+x*y*(x*y+1)(y-1)ans=log(x*y+1)*(x*y+1)y+x*y*(x*y+1)(y-1)【例2】设 ，求 n n【例例3 3】设设 ，其中，其中 是常数，求是常数，求 。n n输入输入:syms x y syms x y z=(a+x*y)y;z=(a+x*y)y;diff(z,x)diff(z,x)diff(z,y)diff(z,y)n n输出为输出为:ans=y2*(a+x*y)(y-1)ans=y2*(a+x*y)(y-1)ans=log(a+x*y)*(a+x*y)y+x*y*(a+x*y)(y-1)ans=log(a+x*y)*(a+x*y)y+x*y*(a+x*y)(y-1)【例3】设 ，其中 是常数，n n【例例4 4】设设 ，求，求 。n n输入输入:syms x y u vsyms x y u vF=exp(u)+u*sin(v)-x;F=exp(u)+u*sin(v)-x;G=exp(u)-u*cos(v)-y;G=exp(u)-u*cos(v)-y;a=diff(F,x);a=diff(F,x);b=diff(F,y);b=diff(F,y);c=diff(F,u);c=diff(F,u);d=diff(F,v);d=diff(F,v);e=diff(G,x);e=diff(G,x);f=diff(G,y);f=diff(G,y);【例4】设 ，求 g=diff(G,u);g=diff(G,u);h=diff(G,v);h=diff(G,v);A=a,e;d,h;A=a,e;d,h;B=b,f;d,h;B=b,f;d,h;C=c,g;a,e;C=c,g;a,e;D=c,g;b,f;D=c,g;b,f;E=c,g;d,h;E=c,g;d,h;uduix=-det(A)/det(E)uduix=-det(A)/det(E)uduiy=-det(B)/det(E)uduiy=-det(B)/det(E)vduix=-det(C)/det(E)vduix=-det(C)/det(E)vduiy=-det(D)/det(E)vduiy=-det(D)/det(E)g=diff(G,u);n n输出依次得输出依次得 uduix=(u*sin(v)/(u*cos(v)2-uduix=(u*sin(v)/(u*cos(v)2-u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)uduiy=-(u*cos(v)/(u*cos(v)2-uduiy=-(u*cos(v)/(u*cos(v)2-u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)vduix=(cos(v)-exp(u)/(u*cos(v)2-vduix=(cos(v)-exp(u)/(u*cos(v)2-u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)vduiy=(exp(u)+sin(v)/(u*cos(v)2-vduiy=(exp(u)+sin(v)/(u*cos(v)2-u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)2+u*exp(u)*sin(v)输出依次得 7.2.2 微分学的几何应用n n【例例5 5】求曲面求曲面 在点在点 处的切处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一坐标系里。平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一坐标系里。n n输入输入:syms x y zsyms x y zF=4/(x2+y2+1)-z;F=4/(x2+y2+1)-z;f=diff(F,x);f=diff(F,x);g=diff(F,y);g=diff(F,y);h=diff(F,z);h=diff(F,z);7.2.2 微分学的几何应用【例5】求曲面 x=1/4;x=1/4;y=1/2;y=1/2;z=64/21;z=64/21;a=eval(f);a=eval(f);b=eval(g);b=eval(g);c=eval(h);c=eval(h);x=-1:0.1:1;x=-1:0.1:1;y=-1:0.1:1;y=-1:0.1:1;x,y=meshgrid(x,y);x,y=meshgrid(x,y);z1=a*(x-1/4)+b*(y-1/2)+64/21;z1=a*(x-1/4)+b*(y-1/2)+64/21;z2=4*(x.2+y.2+1).(-1);z2=4*(x.2+y.2+1).(-1);mesh(x,y,z1);mesh(x,y,z1);hold onhold onmesh(x,y,z2)mesh(x,y,z2)n n可得到曲面与切平面的图形可得到曲面与切平面的图形(见图见图7.2)7.2)。x=1/4;图7.2图7.27.2.3 多元函数的极值n n【例例6 6】求求 的极值。的极值。n n输入输入:syms x ysyms x yf=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x;f=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x;fx=diff(f,x)fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fy=diff(f,y)n n输出为输出为:fx=3*x2+6*x-9fx=3*x2+6*x-9fy=6*y-3*y2fy=6*y-3*y27.2.3 多元函数的极值【例6】求 n n再输入再输入:x0=roots(3,6,-9)x0=roots(3,6,-9)y0=roots(-3,6,0)y0=roots(-3,6,0)n n输出为驻点输出为驻点:x0=-3.0000 x0=-3.00001.00001.0000y0=0y0=02 2n n再输入再输入:fxx=diff(f,x,2);fxx=diff(f,x,2);fyy=diff(f,y,2);fyy=diff(f,y,2);fxy=diff(fx,y);fxy=diff(fx,y);A=(fxx)*(fyy)-(fxy)2;A=(fxx)*(fyy)-(fxy)2;x=-3;x=-3;y=0;y=0;再输入:a1=eval(A)a1=eval(A)b1=eval(fxx)b1=eval(fxx)c1=eval(f)c1=eval(f)x=-3;x=-3;y=2;y=2;a2=eval(A)a2=eval(A)b2=eval(fxx)b2=eval(fxx)c2=eval(f)c2=eval(f)x=1;x=1;y=0;y=0;a3=eval(A)a3=eval(A)b3=eval(fxx)b3=eval(fxx)c3=eval(f)c3=eval(f)x=1;x=1;y=2;y=2;a4=eval(A)a4=eval(A)b4=eval(fxx)b4=eval(fxx)c4=eval(f)c4=eval(f)a1=eval(A)n n我们得到了四个驻点处的判别式函数我们得到了四个驻点处的判别式函数 ，与与 的值。的值。归纳以后用表格形式列出。归纳以后用表格形式列出。-3-30 0-12-12-72-722727-3-32 2-12-12727231311 10 012127272-5-51 12 21212-72-72-1-1 n n从中可见从中可见:n n x=-3x=-3，y=2y=2时，时，判别式，判别式disc=72disc=72，因此函数，因此函数有极大值有极大值3131n nx=1x=1，y=0y=0时，时，判别式，判别式disc=72disc=72，因此函数有，因此函数有极小值极小值-5-5n nx=-3x=-3，y=0y=0和和x=1x=1，y=2y=2时，判别式时，判别式disc=-72disc=-72，函数在，函数在这些点不取极值这些点不取极值n n另外，输入下面命令，把函数的等高线的图形表示出来另外，输入下面命令，把函数的等高线的图形表示出来:x,y=meshgrid(-5:0.1:3,-3:0.1:5);x,y=meshgrid(-5:0.1:3,-3:0.1:5);z=x.3-y.3+3*x.2+3*y.2-9*x;z=x.3-y.3+3*x.2+3*y.2-9*x;contour(x,y,z,20)contour(x,y,z,20)n n输出如图输出如图7.37.3所示。所示。n n从图从图7.37.3可见，在两个极值点附近，函数的等高线是封闭可见，在两个极值点附近，函数的等高线是封闭的。在非极值点附近，等高线不封闭。这也是从图形上判的。在非极值点附近，等高线不封闭。这也是从图形上判断极值点的方法。断极值点的方法。从中可见:图7.3图7.3n n【例例7 7】求函数求函数 在条件在条件 下的极值。下的极值。n n输入输入:syms x y rsyms x y rg=x2+y2;g=x2+y2;h=x2+y2+x+y-1;h=x2+y2+x+y-1;la=g+r*h;la=g+r*h;lx=diff(la,x)lx=diff(la,x)ly=diff(la,y)ly=diff(la,y)lr=diff(la,r)lr=diff(la,r)n n输出为输出为:lx=2*x+r*(2*x+1)lx=2*x+r*(2*x+1)ly=2*y+r*(2*y+1)ly=2*y+r*(2*y+1)lr=x2+x+y2+y-1lr=x2+x+y2+y-1【例7】求函数 在条件 n n输入输入:s=solve(2*x+r*(2*x+1)=0,2*y+r*(2*y+1)=0,s=solve(2*x+r*(2*x+1)=0,2*y+r*(2*y+1)=0,x2+x+y2+y-1=0,x,y,r)x2+x+y2+y-1=0,x,y,r)n n得到输出得到输出:ans=ans=r:2x1 symr:2x1 symx:2x1 symx:2x1 symy:2x1 symy:2x1 symn n再输入再输入:r=s.r,x=s.x,y=s.yr=s.r,x=s.x,y=s.y输入:n n得到得到:r=r=3(1/2)/3-13(1/2)/3-1-3(1/2)/3-1-3(1/2)/3-1x=x=3(1/2)/2-1/23(1/2)/2-1/2-3(1/2)/2-1/2-3(1/2)/2-1/2y=y=3(1/2)/2-1/23(1/2)/2-1/2-3(1/2)/2-1/2-3(1/2)/2-1/2n n即有解即有解:得到:n n因此有两个极值可疑点。再输入因此有两个极值可疑点。再输入:x=3(1/2)/2-1/2;x=3(1/2)/2-1/2;y=3(1/2)/2-1/2;y=3(1/2)/2-1/2;f1=eval(g)f1=eval(g)x=-3(1/2)/2-1/2;x=-3(1/2)/2-1/2;y=-3(1/2)/2-1/2;y=-3(1/2)/2-1/2;f2=eval(g)f2=eval(g)n n得到输出得到输出:f1=0.2679f1=0.2679f2=3.7321f2=3.7321因此有两个极值可疑点。再输入:n n即得到两个可能是条件极值的函数值即得到两个可能是条件极值的函数值 n n但是否真的取到条件极值呢但是否真的取到条件极值呢?可利用等高线作图来判断。可利用等高线作图来判断。n n输入输入:x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);z=x.2+y.2;z=x.2+y.2;contour(x,y,z,30)contour(x,y,z,30)hold onhold onezplot(x2+y2+x+y-1)ezplot(x2+y2+x+y-1)n n输出如图输出如图7.47.4所示。所示。即得到两个可能是条件极值的函数值 图7.4图7.4n n从图从图7.47.4可以看到，在极值可疑点处，函数可以看到，在极值可疑点处，函数z=g(x,y)z=g(x,y)的等的等高线与曲线高线与曲线h(x,y)=0h(x,y)=0相切。函数相切。函数z=g(x,y)z=g(x,y)的等高线是一的等高线是一系列同心圆，由里向外，函数值在增大，系列同心圆，由里向外，函数值在增大，n n在在 的附近观察，可以得出的附近观察，可以得出z=g(x,y)z=g(x,y)取条件极大的结论。取条件极大的结论。n n在在 的附近观察，可以得出的附近观察，可以得出z=g(x,y)z=g(x,y)取条件极小的结论。取条件极小的结论。从图7.4可以看到，在极值可疑点处，函数z=g(x,y)的等