空气动力学-第3章课件

第第第第3 3 3 3章章章章 理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流3 31 1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程3 32 2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流3 32 21 1 直匀流直匀流3 32 22 2 点源点源3 32 23 3 偶极子偶极子3 32 24 4 点涡点涡3 33 3 一些简单的流动迭加举例一些简单的流动迭加举例3 33 31 1 直匀流加点源直匀流加点源3 33 32 2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子3 33 33 3 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡3 34 4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解 本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。律。在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个方程和四个未知函数（个方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可），理论上是可解的解的由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速度与压强相互耦合，需要一并求出程中速度与压强相互耦合，需要一并求出人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解可利用伯努利方程求解本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简单边界条叠加得到满足非常简单边界条 件的流动。对复件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意解法大意31 平面不可压位流的基本方程平面不可压位流的基本方程 有无旋条件，就有位函数有无旋条件，就有位函数 存在，并且位函数与速度分量存在，并且位函数与速度分量之间满足：之间满足：平面流动的连续方程是：平面流动的连续方程是：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：该方程称为该方程称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件方程是容易求解的。给定适当边界条件方程是容易求解的。1.位函数位函数 及及流函数流函数 所满足的方程所满足的方程对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：数学上这是使数学上这是使 成为某个函数成为某个函数 的全微分的的全微分的充要条件充要条件，即，即 或：或：代入无旋条件：代入无旋条件：也满足拉普拉斯方程：也满足拉普拉斯方程：这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。位函数与流函数的关系称为位函数与流函数的关系称为柯西黎曼条件柯西黎曼条件：2.叠加原理叠加原理拉普拉斯方程可用算子拉普拉斯方程可用算子 2 2 表为表为 2 20 0。它是。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。所谓叠加原理是说如果有所谓叠加原理是说如果有 分别满足分别满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理：的因此也满足叠加原理：而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理3.边界条件边界条件 边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。努利方程求解压强分布。按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：法向导数，边界条件分为三种类型：（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值数自身值（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值法向导数值（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值气动问题大多数属于第二边值问题气动问题大多数属于第二边值问题将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为速度为 V，内，内边界是物体表面，不允界是物体表面，不允许流体穿流体穿过或表面或表面法向速度法向速度为零零外外边界界内内边界界 n为物面法向物面法向可以可以证明，拉普拉斯方程的解若在明，拉普拉斯方程的解若在给定定边界上能界上能满足上足上述条件，述条件，则解是唯一的解是唯一的求不可求不可压理想无旋流理想无旋流绕物体的流物体的流动问题就就转化化为求解拉求解拉普拉斯方程的普拉斯方程的满足足给定定边条的特解条的特解这一数学一数学问题位函数位函数位函数位函数的性质小结的性质小结的性质小结的性质小结(1)速度位函数由速度位函数由无旋无旋条件定义，位函数值可以差条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。任意常数而不影响流动。(2)速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。(3)对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。加原理。(4)速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度方向垂直于等位线。度方向垂直于等位线。(5)连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。流函数流函数流函数流函数的性质小结的性质小结的性质小结的性质小结(1)流函数由平面不可压缩流函数由平面不可压缩连续连续条件定义，流函数条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。值可以差任意常数而不影响流动。(2)等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。与速度矢量方向重合。(3)对于理想不可压缩对于理想不可压缩无旋无旋流动，流函数满足拉普流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。(5)平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量。流量。(4)等流函数线与等位线正交。等流函数线与等位线正交。xyABdso 位函数位函数 和流函数和流函数 之间满足柯西之间满足柯西-黎曼条件：黎曼条件：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：32 几种简单的二维位流几种简单的二维位流321 直匀流直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为流动是无旋的，由速度位全微分流动是无旋的，由速度位全微分积分可得位函数：积分可得位函数：又可求出流函数：又可求出流函数：流线与等位线是正交的如图流线与等位线是正交的如图 常用的是这样的直匀流，它与常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左面远方轴平行，从左面远方流来，流速为流来，流速为 。此时此时322 点源点源点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有点上，那末这流动便只有 Vr，而没有，而没有 V。xy位于原点的点源设半径为设半径为 r 处的流速是处的流速是 Vr，那末这个源的总流量是，那末这个源的总流量是流量是常数，故流速流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比与半径成反比 x、y 向的速度可分别写为向的速度可分别写为代入速度与位函数关系代入速度与位函数关系 可积分求位函数。可积分求位函数。比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：由由 位函数由上式积分得：位函数由上式积分得：（注：等位线（注：等位线C 是一系列同心圆）是一系列同心圆）流函数由流函数由积分得：积分得：（注：流线（注：流线c1 即即c2 是一系列射线）是一系列射线）此外注意上式中此外注意上式中的值域为的值域为-2-2,2,2,但反但反正切函数的值域为正切函数的值域为-/2,/2,/2/2，故两种表达，故两种表达有一定区别。有一定区别。xy如果源的位置不在坐标原点，而在如果源的位置不在坐标原点，而在 A（,）处，则）处，则相应的速度分量为：相应的速度分量为：除奇点处速度无定义之外，流除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。场其他区域都是是无旋的。.p323 偶极子偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图况如图:其中其中1 1、2 2 分别是点分别是点 P P 与源和汇的连线与正与源和汇的连线与正 x x 的夹角的夹角 应用叠加原理，位函数和流函数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下现在我们考虑一种极限情况，当现在我们考虑一种极限情况，当 h0 但同时但同时 Q 增大，使增大，使 保持不变的极限情况。保持不变的极限情况。这时位函数变成这时位函数变成显然等位线显然等位线=C=C是一系列圆心在是一系列圆心在 x 轴上的圆，且都过原点。轴上的圆，且都过原点。除奇点处速度无定义之外，流除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。场其他区域都是是无旋的。求流函数：求流函数：上述位函数可写为上述位函数可写为:利用极座标下流函数与位函数的关系：利用极座标下流函数与位函数的关系：对对积分得：积分得：即：即：显然流线显然流线=C=C是一些圆心在是一些圆心在 y 轴上轴上的圆，且均过原点。的圆，且均过原点。两个分速的表达式是两个分速的表达式是合速合速要注意偶极子有轴线方向，上述布于要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的轴上的正负源形成的偶极子其轴线在正负源形成的偶极子其轴线在x方向，对于方向，对于指向正指向正 x 方向的偶极子，上述位函数、流函数方向的偶极子，上述位函数、流函数和速度分布都要改变符号。和速度分布都要改变符号。如果偶极子轴线和如果偶极子轴线和 x 轴成轴成角，正向指向第三象限如图所示，角，正向指向第三象限如图所示，在在 xy 坐标系中的位函数及流函数可写为：坐标系中的位函数及流函数可写为：yxxy根据二坐标系的旋转变换关系：根据二坐标系的旋转变换关系：代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：变：x2+y2=x2+y2 ，得到在，得到在 (x,y)坐标系中的偶极子：坐标系中的偶极子：如果偶极子位于（如果偶极子位于（，），轴线和），轴线和 x轴轴成成角，正向指向第三象限，则角，正向指向第三象限，则 yxxy实际旋涡包含有旋的涡核和涡核实际旋涡包含有旋的涡核和涡核外的被诱导的无旋流场。外的被诱导的无旋流场。rV rVk/rr0p涡核诱导流场324 点涡点涡324 点涡点涡 点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度只有周向速度 ，而没有径向速度，而没有径向速度 。绕点涡的环量绕点涡的环量是个确定的常数，例是个确定的常数，例如绕半径为如绕半径为 r r 的圆环作环量计算，有：的圆环作环量计算，有：式中的式中的 是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比：成反比：rV这与无限长涡线产生的诱导速度一致。这与无限长涡线产生的诱导速度一致。由几何条件可立刻写出由几何条件可立刻写出 u、v 分量：分量：xyuvV位函数可由上式代入位函数可由上式代入 等后积分求出，但方便等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：的还是利用极座标关系：积分后得：积分后得：显然等位线显然等位线=C=C是是一系列射线一系列射线求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：积分得：积分得：显然流线显然流线 =C=C 是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。如果点涡的位置不在原点，而在（如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数），则点涡的位函数和流函数的式子分别是：和流函数的式子分别是：事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这，只要这个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环量却是等于零的。量却是等于零的。点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径 r0 时将使时将使 V 势必使压强势必使压强 p ，这是不现实的，这时粘性必然要起作用，这是不现实的，这时粘性必然要起作用，因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体 V与半径成正比为有旋流，与半径成正比为有旋流，核外为无旋流。实际涡核尺寸与粘性和涡强弱有关，一般不大，故数核外为无旋流。实际涡核尺寸与粘性和涡强弱有关，一般不大，故数学上抽象为一个点，形成点涡模型。学上抽象为一个点，形成点涡模型。直匀流：直匀流：xy基本解位函数、流函数小结：基本解位函数、流函数小结：ab在一个平行于在一个平行于 x 轴由左向右流去的直匀流里，加一个强轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为度为Q的源会产生如图的流动的源会产生如图的流动把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：333 31 1 直匀流加点源直匀流加点源直匀流加点源直匀流加点源在在 x 轴上有一个合速度为零的点称为驻点轴上有一个合速度为零的点称为驻点A，令，令 即得驻点即得驻点 xA 坐标为：坐标为：两个分速是两个分速是此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。该速度分布的特点之一是该速度分布的特点之一是 x时，uV，v0。我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB那样形那样形状的物体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可状的物体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可以用直匀流加点源来构造。以用直匀流加点源来构造。该半无限体在该半无限体在+x无限远处，其宽度（无限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐向尺寸）趋向一个渐近值近值D。过驻点过驻点A的流线的流线BAB是一条特殊是一条特殊的流线，把流场划分成为两部分。的流线，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内里面的是源流在此围墙限制之内的流动。的流动。流线流线BAB的形状可以根据流函的形状可以根据流函数数=c 画出来，也可以从流量关系画出来，也可以从流量关系推算出来。由流函数表达：推算出来。由流函数表达：由驻点坐标（由驻点坐标（y=0,=)定常数定常数c，得，得 cQ/2，从而得流线，从而得流线BAB的方程为：的方程为：用直角坐标表达，注意到反正切的值域为用直角坐标表达，注意到反正切的值域为-/2,/2,/2/2：该流线与该流线与 y 轴交于轴交于 处，当处，当即流线在无穷远处趋于宽度为即流线在无穷远处趋于宽度为 的直线。的直线。从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在围线中，由速度分布知：围线中，由速度分布知：而源的流量为而源的流量为Q，以速度，以速度 V 流过时将占据宽度流过时将占据宽度 D=Q/V 另一方面，流线另一方面，流线BAB的方程：的方程：可写为：可写为：左边是直匀流左边是直匀流 V 流流过高高 y=rsin的的宽度的流量，右度的流量，右边则是是从中心角从中心角为（）中流出的流量，二者相抵消，从而）中流出的流量，二者相抵消，从而得流得流线方程的极座方程的极座标表达表达为：通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头（这样得到的结果与减去来流静压再除以来流的动压头（这样得到的结果与来流参数具体值来流参数具体值 p、V 无关，具有通用性）：无关，具有通用性）：流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：得到表面压强系数的表达为得到表面压强系数的表达为：将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数的结果为：压强系数的结果为：Cp 沿沿 x 轴分布的曲线特点如图：轴分布的曲线特点如图：332 直匀流加偶极子直匀流加偶极子设直匀流设直匀流 平行于平行于 x 轴，由左向右流。再把一个轴线轴，由左向右流。再把一个轴线指向负指向负 x 的偶极子放在坐标原点处。这时，将产生如图的偶极子放在坐标原点处。这时，将产生如图绕圆的流动：绕圆的流动：流函数是：流函数是：流动的位函数是：流动的位函数是：圆的半径可从驻点圆的半径可从驻点A的坐标定出，令：的坐标定出，令：解得：解得：从而位函数和流函数分别写为：从而位函数和流函数分别写为：=0 是一条特殊的流线，这时是一条特殊的流线，这时 sin=0，即，即 或或 ，这就是这就是 x 轴线，还有圆表面：轴线，还有圆表面：r=a。两个分速的式子是：两个分速的式子是：用在用在 的圆上时，有：的圆上时，有：将上述速度分布代入压强系数可得：将上述速度分布代入压强系数可得：该压强系数的分布特点如图：该压强系数的分布特点如图：绕圆流动在表面上只有周向速度，没有径向速度：绕圆流动在表面上只有周向速度，没有径向速度：可见在可见在/2/2 处处速度达到最大为速度达到最大为 2V。达朗培尔疑题达朗培尔疑题达朗培尔（达朗培尔（DAlembert，18世纪法国著名数学家）提出，在理想不可压流世纪法国著名数学家）提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。理实际流动是没有什么价值的。后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有价值的合乎逻辑的抽后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验象，它能使我们把影响流动的各种因素分开来看清楚。譬如，早期由经验得出来的良好翼型，最大的升阻比不过是几十比一，后来在位流理论指导得出来的良好翼型，最大的升阻比不过是几十比一，后来在位流理论指导下，设计出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导下，设计出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象的指导意义意义。xy333 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度为在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度为（）的点涡（顺时针转为负），将形成如下图的流动）的点涡（顺时针转为负），将形成如下图的流动 这时位函数和流函数分别是：这时位函数和流函数分别是：在极坐标下，两个分速是：在极坐标下，两个分速是：仍是一条流线。在这个圆上：仍是一条流线。在这个圆上：可见由于引入环量可见由于引入环量，在，在/2 2 处的最大处的最大速度将大于速度将大于 2V。或写出驻点的直角坐标表达：或写出驻点的直角坐标表达：驻点的位置现在不在驻点的位置现在不在=和和=0=0处了，其位置处了，其位置可从可从 定出来：定出来：xy s在第三和第四象限内，前后驻点对在第三和第四象限内，前后驻点对 y 轴是对称的。这轴是对称的。这个角度离开个角度离开和和0 的多少决定于环量的多少决定于环量 对对 4aV 之比值；之比值；越大，驻点越往下移。越大，驻点越往下移。当点涡强度变大到当点涡强度变大到=4=4aV V 时，时，s=/2/2，二，二个个驻点在驻点在/2/2处重合。处重合。当点涡强度进一步增大使当点涡强度进一步增大使 4 4aV V 时，驻点将离时，驻点将离开圆柱表面，且位于圆柱之下。开圆柱表面，且位于圆柱之下。xy下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的对称了，因此在垂直于来流的 y 方向合力就不会为零。方向合力就不会为零。垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得），或者利用动量方程求出合力。积分求得），或者利用动量方程求出合力。334 库塔库塔-儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以原点为中心，画一个半径为原点为中心，画一个半径为 r1 很大的控制面很大的控制面 S，整个控制面，整个控制面还包括圆的表面还包括圆的表面 S1 以及连接以及连接 S 和和 S1 的两条割线的两条割线(第二类控制第二类控制体体)。注意这两条割线上的压力和动量注意这两条割线上的压力和动量进出都对消了。进出都对消了。S1 上的压力积分是物体所受的合上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对称，不会有力。受力情况左右对称，不会有X 方方向合力。仅计算向合力。仅计算 Y 方向合力方向合力 L 即可。即可。设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到的升力的升力 L 可表为：可表为：第一个积分中的第一个积分中的 p 按伯努利公式用速度来表达，结果得：按伯努利公式用速度来表达，结果得：在在 r1 大圆上，大圆上，第二个积分得：第二个积分得：结果与结果与 r1大小无关，总之合力大小无关，总之合力 L 等于来流的密度等于来流的密度乘速度乘速度 V 再乘以环量再乘以环量。方向。方向等于把直匀流的指向逆着环流转等于把直匀流的指向逆着环流转/2，称，称为升力，该结果称为为升力，该结果称为库塔库塔-儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理。所以所以:考虑到速度、环量和升力之间的向量关考虑到速度、环量和升力之间的向量关系，升力定理可写为：系，升力定理可写为：只要是封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等只要是封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别,说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量之所以能产生一个环量之所以能产生一个 Y 向的合力，也可以从圆柱体向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。了对比。无环量时，上半圆（无环量时，上半圆（由由至至0）上的压力分布和下半圆（）上的压力分布和下半圆（由由至至2）上的压力分布对称，结果是合力为零。）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远有环量时，上半圆上的负压远远超过下半圆上的负压，所以远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上这个力的来源主要靠上半圆上的吸力。的吸力。34 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解下面用解二维对称物体绕流的例子来说明奇点叠加数值下面用解二维对称物体绕流的例子来说明奇点叠加数值解法的应用。无迎角的对称物体没有升力，根据上述分解法的应用。无迎角的对称物体没有升力，根据上述分析和演示，提示我们把直匀流和分布的偶极子（或总强析和演示，提示我们把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布的点源和点汇，无环量）叠加起来，得到度为零的分布的点源和点汇，无环量）叠加起来，得到组合流动组合流动对称封闭物体绕流。对称封闭物体绕流。设直匀流速度为设直匀流速度为 V，在，在 x 轴上轴上(a,b)范围内，连续分范围内，连续分布单位长度内强度设为布单位长度内强度设为 m（x）的偶极子。称为偶极子）的偶极子。称为偶极子密度。密度。该组合流动对任一空间点该组合流动对任一空间点 p(x,y)处的流函数为：处的流函数为：对这种无升力物体的外形可以用零流线来表示，改变不对这种无升力物体的外形可以用零流线来表示，改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体。同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体。由流函数与速度的关系确定速度分布，由速度与压强的由流函数与速度的关系确定速度分布，由速度与压强的关系即伯努利方程确定压强分布关系即伯努利方程确定压强分布。对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的特性。特性。待求方程是一个积分方程，求它的解是比较困难的，但待求方程是一个积分方程，求它的解是比较困难的，但是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地获得这种方程的有一定准确度的数值解。获得这种方程的有一定准确度的数值解。二维对称物体绕流数值解法步骤二维对称物体绕流数值解法步骤1.首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的 n 段，设每段，设每段的宽度为段的宽度为，段数，段数 n 可根据计算机容量及结果的准可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。确度要求而确定。2.某一定点某一定点 P(x,y)处流函数为：处流函数为：式中式中 为第为第 j 段的中点离原点的距离；段的中点离原点的距离；为第为第 j段内段内偶极子密度的平均值；偶极子密度的平均值；表示第表示第 j 段内偶极子的段内偶极子的强度。强度。3.用物面边界条件来确定待求的偶极子密度（现在即物用物面边界条件来确定待求的偶极子密度（现在即物面为零流线，满足面为零流线，满足0 0），对于给定物体外形上的），对于给定物体外形上的 n 个已知点个已知点（xi，yi），就可以得到一个对未知函数的，就可以得到一个对未知函数的 n 元一次联立代数方程组：元一次联立代数方程组：其中其中 Cij 为影响系数，表示为影响系数，表示 处的单位偶极子密度对处的单位偶极子密度对物体表面某点物体表面某点 Pi(xi，yi)处的流函数的贡献。处的流函数的贡献。4.展开上式，即展开上式，即 利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，确定偶极子密度确定偶极子密度 mj。5.一旦解得所给定物体外形的偶极子密度分布，则可确定一旦解得所给定物体外形的偶极子密度分布，则可确定流场内任意点处的流函数，此后可由流函数与速度的关流场内任意点处的流函数，此后可由流函数与速度的关系及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。系及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。在上述过程中，我们实际上是把第在上述过程中，我们实际上是把第 j 段中分布的偶极子用段中分布的偶极子用集中在该段中点处的等强度的偶极子来代替了。显然，集中在该段中点处的等强度的偶极子来代替了。显然，如果分段数量较多，这种近似表示才有一定的准确性。如果分段数量较多，这种近似表示才有一定的准确性。理论上，当段数理论上，当段数 n 趋于无限大时，偶极子密度分布的数趋于无限大时，偶极子密度分布的数值结果趋近于精确解。值结果趋近于精确解。在实际应用时，由于计算机容量和计算机机时的限制，以在实际应用时，由于计算机容量和计算机机时的限制，以及多元一次联立方程组的解的不稳定性。分段的数目不及多元一次联立方程组的解的不稳定性。分段的数目不宜太多。宜太多。位函数数值求解位函数数值求解也可以由位函数出发，用位函数对应的物面条件来解决也可以由位函数出发，用位函数对应的物面条件来解决实际流动问题。这两种方法是等价的。在实际应用中，实际流动问题。这两种方法是等价的。在实际应用中，用位函数叠加法比用流函数法更广泛。用位函数叠加法比用流函数法更广泛。