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13.2奇偶性奇偶性第第1课时函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念1.结合具体函数，了解函合具体函数，了解函数奇偶性的含数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的掌握判断函数奇偶性的方法；方法；3.了解函数奇偶性与了解函数奇偶性与图象象的的对称性之称性之间的关系的关系.1.对函数奇偶性概念的函数奇偶性概念的理解理解(难点点)2.函数奇偶性的判定方函数奇偶性的判定方法法(重点重点)1轴对称称图形：如果一个形：如果一个图形上的任意一点形上的任意一点关于某一条关于某一条_的的对称点仍是称点仍是这个个图形上的点，形上的点，就称就称该图形关于形关于该直直线成成轴对称称图形，形，这条直条直线称作称作该轴对称称图形的形的_2中心中心对称称图形：如果一个形：如果一个图形上的任意一形上的任意一点关于某一点的点关于某一点的对称点仍是称点仍是这个个图形上的点，形上的点，就称就称该图形关于形关于该点成中心点成中心对称称图形，形，这个点个点称作称作该中心中心对称称图形的形的_直直线对称称轴对称中心称中心原点原点y轴提出问题提出问题一、一、偶函数的概念结论：结论：这两个函数的图象都关于 轴对称.一、一、偶函数的概念3.对两个函数，我们分别计算几个特殊的函数值：（-3），（3），（-2），（2），（-1），（1），观察并猜想，它们有何关系？提出问题提出问题结结论论:一一般般地地，如如果果对于于函函数数 ()的的定定义域域内任意一个内任意一个 ，都有，都有 (-)=()，那么函数，那么函数 ()就叫做偶函数就叫做偶函数.一、一、偶函数的概念提出问题提出问题反馈练习反馈练习一、一、偶函数的概念一、一、偶函数的概念提出问题提出问题二、二、奇函数的概念结论结论：一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(-)=-()，那么函数()就叫做奇函数.提出问题提出问题4.若任意一个奇函数()在原点处有定义，(0)是定值吗？二、二、奇函数的概念结结论论：若一个奇函数()在原点处有定义，根据奇函数的定义，有(-0)=-(0)，可得(0)=0.函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性项目目偶函数偶函数奇函数奇函数定定义一般地，如果一般地，如果对于函数于函数f(x)的定的定义域内任意一个域内任意一个x，都，都_，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函就叫做偶函数数.一般地，如果一般地，如果对于函数于函数f(x)的的定定义域内任意域内任意一个一个x，都有，都有_，那么函数那么函数f(x)就就叫做奇函数叫做奇函数.有有f(x)f(x)f(x)f(x)定定义域域关于原点关于原点对称称 图象象特征特征关于关于y轴对称称 关于原点关于原点对称称与与单调性性关系关系在在对称区称区间上，上，单调性相反性相反在在对称区称区间上，上，单调性相同性相同由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：,函数函数f(x)的解析的解析式均已知；式均已知；,判断奇偶性问题判断奇偶性问题.,解答此类题目应解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证验证f(x)与与f(x)之间的关系来确定奇偶性之间的关系来确定奇偶性.1函数函数f(x)x2，x 0，)的奇偶性是的奇偶性是()A奇函数奇函数B偶函数偶函数C非奇非偶函数非奇非偶函数 D既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数解析：解析：函数定义域不关于原点对称，所以函函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数数是非奇非偶函数答案：答案：C答案：答案：D3设函数函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，偶函数，则a_.答案：答案：1解析：解析：(1)f(x)的定义域为的定义域为R，且满足且满足f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，从而可知从而可知f(x)为偶函数；为偶函数；题后感悟题后感悟(1)利用定义判断函数的奇偶性要利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：注意以下几点：必须首先判断必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对的定义域是否关于原点对称；称；有些函数必须根据定义域化简后才可判断，有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误如本例否则可能无法判断或判断错误如本例(4)中，中，若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式训练中的第训练中的第(4)小题小题若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可个反例即可(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断则应进一步判断f(x)是否等于是否等于f(x)，或判断，或判断f(x)f(x)是否等于是否等于0，从而确定奇偶性，从而确定奇偶性图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶轴对称，则函数为偶函数函数另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为偶函仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶偶)数个奇数个奇函数的积、商函数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；一个函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用注：利用以上结论时要注意各函数的定义域以上结论时要注意各函数的定义域)解析：解析：(1)函数定义域为函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(2)函数的定义域为函数的定义域为x|x1不关于原点对不关于原点对称，称，函数函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数(3)f(x)的定义域是的定义域是R，又又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数是偶函数策略点睛策略点睛(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：判断分段函数奇偶性的注意事项：根据根据x所属区间进行分类讨论，只不过经所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写过转化最后变成了先写x的所属区间；的所属区间；f(x)与与f(x)需用不同分段上的解析式，因为需用不同分段上的解析式，因为x与与x所属区间不同；所属区间不同；定义域内的定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏值应讨论全面，不能遗漏解析：解析：当当x0时，时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，另一方面，当另一方面，当x0时，时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，而而f(0)0，f(x)是奇函数是奇函数解析：解析：当当x0时，时，x0f(x)x2f(x)当当x0f(x)(x)2x2f(x)当当x0时，时，f(x)0f(x)f(x)是偶函数是偶函数解题过程解题过程函数定义域为函数定义域为R，其定义域关于，其定义域关于原点对称原点对称f(xy)f(x)f(y)，令令yx，则则f(0)f(x)f(x)，再令再令xy0，则则f(0)f(0)f(0)，得，得f(0)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数题后感悟题后感悟如何判断抽象函数的奇偶性？如何判断抽象函数的奇偶性？明确目标：判断明确目标：判断f(x)与与f(x)的关系；的关系；用赋值法在已知抽象关系中凑出用赋值法在已知抽象关系中凑出f(x)与与f(x),如本例中令如本例中令yx；用赋值法求特殊函数值，如本例中令用赋值法求特殊函数值，如本例中令xy0,求求f(0)证明：证明：令令x0，yx，则则f(x)f(x)2f(0)f(x)又令又令xx，y0得得f(x)f(x)2f(x)f(0)得得f(x)f(x)f(x)是偶函数是偶函数1准确理解函数奇偶性定义准确理解函数奇偶性定义(1)偶函数偶函数(奇函数奇函数)的定的定义中中“对D内任意一个内任意一个x，都有，都有x D，且，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明表明f(x)与与f(x)都有意都有意义，即，即x、x同同时属于定属于定义域域因此偶因此偶(奇奇)函数的定函数的定义域是关于坐域是关于坐标原点原点对称称的也就是的也就是说，定，定义域关于坐域关于坐标原点原点对称是函称是函数具有奇偶性的前提条件数具有奇偶性的前提条件存在既是奇函数又是偶函数的函数，即存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)0，x D，这里定里定义域域D是关于坐是关于坐标原点原点对称的非空数集称的非空数集(2)函数按奇偶性可以分函数按奇偶性可以分为四四类：奇函数，偶函：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数不是偶函数【错因错因】没有考察函数定义域的对称性没有考察函数定义域的对称性【正解正解】因为函数因为函数f(x)的定义域的定义域1x1不关不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数于原点对称，故此函数为非奇非偶函数.
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