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Xiamen University十一十一十一十一届届届届“景润杯景润杯景润杯景润杯”数学竞赛数学竞赛数学竞赛数学竞赛系列讲座系列讲座系列讲座系列讲座 第二讲第二讲 函数与函数的连续性函数与函数的连续性 1、函数的连续性、函数的连续性分析：分析：函数函数f(x)在在x=0处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是分析：分析：函数函数f(x)在在 a,b 上严格单调，即对上严格单调，即对若函数若函数f(x)在在 a,b 上不严格单调，即存在上不严格单调，即存在试用反证法证！试用反证法证！分析：分析：函数函数f(x)在在 a,b 上有界，即对上有界，即对若函数若函数f(x)在在 a,b 上无界，即对任意的上无界，即对任意的M00试用反证法证！试用反证法证！分析：分析：如果单调函数如果单调函数f(x)在在x x0 0a,b 处间断，处间断，则在间断点处，函数的左右极限是存在的则在间断点处，函数的左右极限是存在的,即即试用反证法证！试用反证法证！分析：分析：利用函数利用函数f(x)在在 a,b 上的最值定理，上的最值定理，找矛盾找矛盾.分析：分析：利用函数利用函数f(x)在在 a,b 上连续性和周期性上连续性和周期性分析：分析：只需证明只需证明f(x+0)=f(x-0)=f(x)即可即可.2、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(有有界界性性和和最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.定理定理2.零点定理与介值定理零点定理与介值定理定义定义如果如果使使则则称为函数称为函数的零点的零点.零点定理零点定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且与与异号异号(即即即至少有即至少有一点一点使使那么在开区那么在开区内至少有函数内至少有函数间间的一个零点的一个零点,即方程即方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根.几何解释几何解释:2224252627举一反三练习举一反三练习 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End31谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日 32
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