画法几何4概论课件

画法几何画法几何第四讲第四讲第第四四章章 平面平面n4.1 平面平面的投影的投影 n4.2 平面上的点和直线平面上的点和直线n4.3 平面对投影面的相对平面对投影面的相对位置位置 n4.4-4.6 直线与平面直线与平面n 4.7 点、直线、平面的图点、直线、平面的图解方法解方法4.1 平面的投影性质平面的投影性质1.平面图形的投影，由平面图形的迹线的投影表示。XOabcabc2.一般情况下，平面图形的投影仍是一个类似的图形，但形状、大小可能变化，不能反映实形。3.平面垂直于某投影面时，在该投影面上的投影积聚成一直线。4.平面图形平行于某投影面时，在这个投影面上的投影反映平面图形的真实形状、大小和方向等。PpQqDCBAdcbaH1.1.不共线的三点不共线的三点4.1.2 几何平面确定的平面几何平面确定的平面 形状和大小任意的平面，它的空间位置，也可由下列任何一组几何元素来确定：aabbcc2.2.一直线及直线外一点一直线及直线外一点aabbcc.相交两直线相交两直线aabbcc4.4.平行两直线平行两直线aabbcc5.5.平面图形平面图形aabbccV XZY4.1.3 迹线表示法迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。PPVPHPWPXPYPZ规定：规定：V、H、W 各面迹线分别用各面迹线分别用PV、PH、PW 表示。表示。XZYY1OPVPZPXPHPYHPY1PWO 4.2 平面上的点和直线平面上的点和直线一点位于平面内一直线上，则该点位于平面上。一点位于平面内一直线上，则该点位于平面上。bcbcmnmnaa 点在面上点在面上点在线上点在线上线在面上线在面上“降维降维”判定判定2 2 平面上取点平面上取点 如点在平面内的任一直线上，则此点一定如点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上在该平面上取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线 作平面上的点的投影方法1、先在已知平面内作一条辅助直线2、再在此辅助直线上定点YW c aY c b a b a b c m m m 例：已知点在平面三角形上，作出点的三面投影例：已知点在平面三角形上，作出点的三面投影 ddd已知点在面内，补已知点在面内，补全点的投影全点的投影用辅助线用辅助线“降维降维”，转化为点在，转化为点在线上的问题线上的问题4.2.24.2.2 平面上直线平面上直线 经过属于该平面经过属于该平面经过属于该平面经过属于该平面的一已知点且平行的一已知点且平行的一已知点且平行的一已知点且平行于属于该平面的一于属于该平面的一于属于该平面的一于属于该平面的一已知直线已知直线已知直线已知直线 经过属于该平经过属于该平经过属于该平经过属于该平面的已知两点面的已知两点面的已知两点面的已知两点4.2.3 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线，除了符合平面上直线的上述条件外，尚应符合投影面平行线的投影性质。直线GF除了位于三角形ABC上外，又因为gf平行与ox轴，故GF为H面平行线。a c b a c f g g f b a c b ab c f 例：已知例：已知平面，并知该面上一点平面，并知该面上一点F F的的V V面投影面投影f，求f g g f类似于利用定比性在类似于利用定比性在线上定点的思路线上定点的思路VHXOXO迹线表示平面PVPH用迹线表示平面用迹线表示平面 平面迹线的作图平面迹线的作图：迹线平面上的直线的迹点，迹线平面上的直线的迹点，在平面的同名直线上。在平面的同名直线上。PVPHabcabcABC1122ababcc33444-3 各种位置平面的投影二二、投影面垂直面、投影面垂直面三三、投影面平行面、投影面平行面一一、一般位置平面的投影特性、一般位置平面的投影特性平面与投影面的相对位置4.34.3.平面与投影面的相对位置平面与投影面的相对位置一、一般位置平面一、一般位置平面 投影特征投影特征：三个投影面的投影均为类似形三个投影面的投影均为类似形 平面的倾角平面的倾角：平面与投影面的夹角平面与投影面的夹角 两面角：作一平面与已知两平面都垂直相交，这两条两面角：作一平面与已知两平面都垂直相交，这两条 交线的夹角即为两已知平面的夹角。交线的夹角即为两已知平面的夹角。平面对平面对H H面倾角：面倾角：；对对V V面倾角：面倾角：；对对W W面倾角：面倾角：。平面上的对投影面的平面上的对投影面的最大最大斜度斜度线线：平面对某一投影面的倾角，可由该平面上垂直于任一条同名的平面对某一投影面的倾角，可由该平面上垂直于任一条同名的投影面平行线的一条最大斜度的倾角表示。投影面平行线的一条最大斜度的倾角表示。H两直线垂直两直线垂直直角投影直角投影 已知已知:直线直线AB BC,直线直线AB H面面投影特性投影特性：若两条直线相互（相交或交叉）：若两条直线相互（相交或交叉）垂直，且其中有一条直线平行于某个投影面，垂直，且其中有一条直线平行于某个投影面，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。则两直线在该投影面上的投影互相垂直。cba分析分析:由于由于AB垂直于垂直于BC且平行于且平行于H，所以所以AB垂直于平面垂直于平面BCcb，故故ab垂直于垂直于BCcB，abbcbc。垂直两直线垂直两直线ABCabca b c Ha最大倾斜线的特征最大最大斜度斜度线的特征线的特征 作图原理作图原理：过平面过平面P上任意一点上任意一点A；作直；作直线线AB PH，作点，作点A在在 H面的投面的投影影a；在平面上过；在平面上过 A作作AC AB，与与PH交于交于C 点；连接点；连接Ca，在，在PH上，任上，任 取一点取一点D，连接，连接Da；设；设 ACa=,ADa=，则：，则：；即：即：AC为为P 平面上对平面上对H面的最大倾斜线面的最大倾斜线 证明证明：Aa PH;AC PH PHACa ACa P 且且ACa H 为为P、H面的夹角面的夹角 又：又：ACPACPH H,ADAC,ADAC ACa、ADa均为直角三角形均为直角三角形 ACa ADa；即；即 AC为为P对对H面的最大倾斜线；且面的最大倾斜线；且 为为AC对对H面的倾角。面的倾角。PPHBCcDdA 结论结论：平面上与平面上与投影面投影面平行线垂直的直平行线垂直的直线为最大倾斜线；其对投影面的倾角线为最大倾斜线；其对投影面的倾角为平面对投影面的倾角为平面对投影面的倾角abcOXabcz作平面对投影面的倾角作平面对投影面的倾角作平面对投影面的倾角作图步骤作图步骤：在平面上作投影面的平行线；在平面上作投影面的平行线；作该平行线的垂直线（最大倾斜线）作该平行线的垂直线（最大倾斜线）作该最大倾斜线对投影面的倾角作该最大倾斜线对投影面的倾角 例例已知平面已知平面ABC；分别作该平面对；分别作该平面对 H、V面的倾角面的倾角、作图作图 过过a作水平线作水平线a1与与bc交于交于1；过过b作作a1的垂线的垂线bd,与与a1交于交于d，则则BD为平面对为平面对H面的最大倾斜线。面的最大倾斜线。根据根据BD的两面投影作的两面投影作BD对对H面的面的 倾角倾角，即为平面对即为平面对H面的倾角。面的倾角。过过a作正平线作正平线a2与与bc交于交于2；过过b作作a1的垂线的垂线be,与与a1交于交于e,则则BE为平面对为平面对V面的最大倾斜线。面的最大倾斜线。de2de11 作作BE对对V面的倾角面的倾角，即为平面对即为平面对 V面的倾角。面的倾角。z2yy例：已知正方形例：已知正方形ABCD平面的前下方一边水平线平面的前下方一边水平线AB的投影，且的投影，且平面的倾角平面的倾角30，完成此正方形的投影。，完成此正方形的投影。ababl30=abcdZL为对H面的最大斜度线，故L对H 面的倾角等于30dcZ二二、投影面垂直面投影面垂直面H H H H面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面投影特性投影特性投影特性投影特性 ：(1)(1)(1)(1)水平投影积聚为一条直线；水平投影积聚为一条直线；水平投影积聚为一条直线；水平投影积聚为一条直线；(2)(2)(2)(2)正面投影和侧面投影为原形的正面投影和侧面投影为原形的正面投影和侧面投影为原形的正面投影和侧面投影为原形的类似形；类似形；类似形；类似形；(3)(3)(3)(3)水平投影与水平投影与水平投影与水平投影与OXOXOXOX、OY OY OY OY 的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；V V V V面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面投影特性投影特性投影特性投影特性 ：(1)(1)(1)(1)正面投影积聚为一条线；正面投影积聚为一条线；正面投影积聚为一条线；正面投影积聚为一条线；(2)(2)(2)(2)水平投影和侧面投影为水平投影和侧面投影为水平投影和侧面投影为水平投影和侧面投影为类似形；类似形；类似形；类似形；(3)(3)(3)(3)正面投影与正面投影与正面投影与正面投影与OXOXOXOX、OZ OZ OZ OZ 的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；W W W W面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面投影特性投影特性投影特性投影特性 ：(1)(1)(1)(1)侧面投影积聚为一条线；侧面投影积聚为一条线；侧面投影积聚为一条线；侧面投影积聚为一条线；(2)(2)(2)(2)水平投影和正面投影为水平投影和正面投影为水平投影和正面投影为水平投影和正面投影为类似形；类似形；类似形；类似形；(3)(3)(3)(3)侧面投影与侧面投影与侧面投影与侧面投影与OYOYOYOY、OZ OZ OZ OZ 的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；角的真实大小；例：正方形ABCD为H面垂直面，已知其对角线AC的两面投影，求该正方形的两面投影和倾角。acacbdb(d)分析：1、由投影可知AC为水平线2、因BD和AC垂直，且正方形垂直于H面，故BD为铅垂线3、b d=BD=AC=ac思考：对角线AC和BD对投影 面的相对位置关系？三三、投影面平行面投影面平行面H H H H面平行面面平行面面平行面面平行面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：(1)(1)(1)(1)水平投影反映平面实形；水平投影反映平面实形；水平投影反映平面实形；水平投影反映平面实形；(2)(2)(2)(2)正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OXOXOXOX、OYOYOYOY1 1 1 1 投影轴；投影轴；投影轴；投影轴；V V V V面平行面面平行面面平行面面平行面 投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：(1)(1)(1)(1)正面投影反映实形；正面投影反映实形；正面投影反映实形；正面投影反映实形；(2)(2)(2)(2)水平投影水平投影水平投影水平投影 、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相应的应的应的应的OXOXOXOX、OZ OZ OZ OZ 投影轴；投影轴；投影轴；投影轴；y y y yy y y yW W W W面平行面面平行面面平行面面平行面 投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：(1)(1)(1)(1)侧面投影反映平面实形；侧面投影反映平面实形；侧面投影反映平面实形；侧面投影反映平面实形；(2)(2)(2)(2)水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的相应的相应的相应的OYOYOYOY、OZ OZ OZ OZ 投影轴；投影轴；投影轴；投影轴；OXabab平行面作图平行面作图平行面作图 例例已知水平的正三角形已知水平的正三角形 ABC的一边的一边AB的两面的两面 投影，补全投影，补全ABC的两面的两面 投影。投影。分析分析由于由于ABC为水平面，为水平面，所以所以ABC的水平投影的水平投影 反映真形。由反映真形。由AB的投影的投影 ab，可得到，可得到ABC的边长的边长 等于等于ab的长度。而的长度。而ABC 为正三角形，故为正三角形，故ac、bc 于于ab等长。等长。又：顶点又：顶点C的位置可在的位置可在 AB的前后，因此本题有的前后，因此本题有 2解，分别为解，分别为c、c1，如图，如图 所示。所示。ccc1c1 直线与平面平面与平面的相对位置4-54-5 相交问题相交问题4-64-6 垂直问题垂直问题4-7 4-7 综合问题解题示例综合问题解题示例4 4-4 4 平行问题平行问题4-4 平行问题一、直线和平面平行一、直线和平面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行P一、直线和平面平行一、直线和平面平行几何条件 如果平面如果平面P 外的一条直线外的一条直线AB 与平面内的一条直线与平面内的一条直线平行平行,那么这条直线那么这条直线AB 和这个平面和这个平面P 平行。平行。AB 反之，如果直线反之，如果直线AB 与平面与平面P 平行，那么在平面内平行，那么在平面内一定有一条直线与该直线一定有一条直线与该直线AB 平行。平行。L LP；L AB；AB P。例例1 1 已知线已知线1212，作平面与直线作平面与直线ABAB（ab b，ab b）平行。平行。只要只要含含点点作直线与作直线与AB 平行平行，则含此直线所作的则含此直线所作的任意任意平面均符合题意。平面均符合题意。1.1.作作1 3 ab；13 ab；3322XO abab11作图：作图：则平面则平面平行平行于直线于直线AB。分析：分析：例例例例 试判断已知直线试判断已知直线试判断已知直线试判断已知直线AB AB AB AB 是否平行于平面是否平行于平面是否平行于平面是否平行于平面CDECDECDECDE答案：不答案：不答案：不答案：不平行平行平行平行当平面为特殊位置平面时，直线与平面的平行关系，可当平面为特殊位置平面时，直线与平面的平行关系，可直接在平面有积聚性的投影中反映。直接在平面有积聚性的投影中反映。ppbaabAB/平面平面P二、平面与平面平行几何条件：如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别对应平行，则两平面平行。直线分别对应平行，则两平面平行。PRL1L2L3L4 L1 L2；L3 L4 ；R P 。二、平面与平面平行举例 含点A A1 1 作平面平行于平面（A A2 2 B B2 2 C C2 2 ）。b1c1XOa2b2c2a2b2c2a1a1c1b1 只要只要含含点点A1 作相交直线分别与作相交直线分别与A2B2 和和A2C2 平行即可。平行即可。1.1.作作a1b1 a2 b2；a1b1 a 2 b 2；作图：作图：则平面则平面(A1B1C1)与与平面平面（A2B2C2）平行。平行。分析：分析：2.2.作作a1c1 a2 c2；a1c1 a2 c2；二、平面与平面平行特殊位置平面的平行 两投影面垂直两投影面垂直面平行面平行，在它们所垂直的投影面上，在它们所垂直的投影面上，它们的它们的积聚性投影积聚性投影相互相互平行平行。pQXqqppP Qp q04-5 垂直问题一、直线和平面垂直一、直线和平面垂直二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直一、直线和平面垂直 如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直。ABDCL直线和平面垂直的条件直线和平面垂直的条件定理：定理：直线与平面垂直，则该直线必垂直于平面上的任何直线。LK平面P 则：LK水平线AB LK正平线CD 一、直线和平面垂直定理定理1 1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。acacnnkfdbdbfk定理定理2 2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。直线必垂直于该平面。例1 含点E E 作直线垂直ABCABC。2211cbaaxcobeekff解题过程：解题过程：1.1.在平面在平面 内取正平线内取正平线C (c2OX);2.2.在平面内取水平线在平面内取水平线A (a 1 OX);3.3.过过e 作作efa1;过过e 作作e f c 2 ;则则EF 垂直垂直ABC例例2、经过已知点作平面垂直于已知直线、经过已知点作平面垂直于已知直线aaefefbbcc直线AB和AC所确定的平面就是所求平面例3 已知ABABBCBC，完成bc bc。PABCbbaaxco分析：分析：解题思路：解题思路：1.1.过过B 作平面作平面PAB；2.2.使使C 点在点在P 面内，则面内，则BC 在在P 面内，面内，ABBC。2cbbaaxco2113443解题过程：解题过程：4.4.由由从属性在从属性在34上定点上定点c，得得bc。1.1.作水平线作水平线B垂直垂直AB，(b1ab )2.2.作正平线作正平线B垂直垂直AB，(b2ab)3.3.过过C 在在B内取线内取线 (即过即过c 在在b12 内取内取34)；例3 已知ABBC，完成bc。平面平面P 以相交直线以相交直线(BB)表示。表示。二、两平面垂直二、两平面垂直如果一平面上有一直线与另一平面垂直，则两个平面互相垂直。如果一平面上有一直线与另一平面垂直，则两个平面互相垂直。若一直线垂直于一定平面，则经过这条直线的所有平面都垂直若一直线垂直于一定平面，则经过这条直线的所有平面都垂直于该平面。于该平面。PAB两平面相垂直两平面不垂直 反之，如果两平面垂直，则含第一个平面内一点所反之，如果两平面垂直，则含第一个平面内一点所做垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。做垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。