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第三章 直线回顾回顾l l一、点的两面投影一、点的两面投影l l二、点的三面投影二、点的三面投影l l三、特殊点的投影三、特殊点的投影l l四、点的投影与坐标关系四、点的投影与坐标关系l l五、两点的投影五、两点的投影AaoXH HV VaaVHaaxaxXob aa a b bXYY1ZO主要内容主要内容l l一、直线的投影一、直线的投影l l二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l l三、直线上的点三、直线上的点l l四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置一、直线的投影一、直线的投影l l1.1.1.1.直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性l l直线的投影一般情况下直线的投影一般情况下直线的投影一般情况下直线的投影一般情况下仍为直线仍为直线仍为直线仍为直线l l直线在某一投影面的投直线在某一投影面的投直线在某一投影面的投直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点影可由该直线上某两点影可由该直线上某两点影可由该直线上某两点的同名投影所确定。的同名投影所确定。的同名投影所确定。的同名投影所确定。A AB BabH一、直线的投影一、直线的投影l l1.1.1.1.直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性 B BA Aab 直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映其实长投影反映其实长 ab=AB 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短投影不反映实长投影不反映实长ab=AB*cos A AB Bab A AB Ba(b)M M(m)HHHB B一、直线的投影一、直线的投影l l2.2.2.2.直线的投影图直线的投影图直线的投影图直线的投影图abbabaYY1XZABabababZXY二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线投影面的垂直线投影面的垂直线投影面的平行线投影面的平行线平行于平行于平行于平行于某一投某一投影面而影面而倾斜于倾斜于倾斜于倾斜于其余投影面其余投影面垂直于垂直于垂直于垂直于某一投影面而某一投影面而平行于其余投影面平行于其余投影面水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 倾斜于倾斜于倾斜于倾斜于三三个投影面个投影面abbabaYY1XZABab ababZXY 1.1.一般线的投影特性：一般线的投影特性：一般线的投影特性：一般线的投影特性：一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的实长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的实长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的实长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的实长，也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l 直角三角形法直角三角形法直角三角形法直角三角形法 l 用用用用直直直直线线线线在在在在某某某某一一一一投投投投影影影影面面面面上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长作作作作为为为为一一一一条条条条直直直直角角角角边边边边，再再再再以以以以直直直直线线线线的的的的两两两两端端端端点点点点相相相相对对对对于于于于该该该该投投投投影影影影面面面面的的的的坐坐坐坐标标标标差差差差作作作作为为为为另另另另一一一一条条条条直直直直角角角角边边边边，所所所所作作作作直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形的的的的斜斜斜斜边边边边即即即即为为为为直直直直线线线线的的的的实实实实长长长长，斜斜斜斜边边边边与与与与投投投投影影影影长长长长间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角即即即即为为为为直直直直线线线线与与与与该投影面的夹角。该投影面的夹角。该投影面的夹角。该投影面的夹角。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|O|yA-yB|AB|yA-yB|DEAB|zA-zB|abz ABaa bbz aa bby y ababXOZAB=ZABC C在AB上量取AC=25mmccBA试在直线试在直线试在直线试在直线ABAB上其一点上其一点上其一点上其一点 C C，使，使，使，使AC=25 mmAC=25 mm，求点求点求点求点C C的投影。的投影。的投影。的投影。量取YABR=40mmYABabab已知直线已知直线已知直线已知直线ABAB的的的的V V投影，且投影，且投影，且投影，且AB=40mmAB=40mm，求，求，求，求ABAB的的的的H H投影。投影。投影。投影。ababYAB量取YAB已知直线已知直线已知直线已知直线ABAB的的的的V V投影，且投影，且投影，且投影，且=30=30，求，求，求，求ABAB的的的的H H投影。投影。投影。投影。ababz zABAB直线的直线的H投影长投影长以直线的以直线的H投影长投影长为半径，作圆弧为半径，作圆弧直线直线AB真长实长真长实长已知直线已知直线已知直线已知直线ABAB的的的的V V投影，且投影，且投影，且投影，且=30=30，求，求，求，求ABAB的的的的H H投影。投影。投影。投影。求一般位置直线求一般位置直线求一般位置直线求一般位置直线ABAB对对对对WW面的倾角面的倾角面的倾角面的倾角 ABABABABl l2.2.2.2.投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面平行线l l水平线：与水平线：与水平线：与水平线：与H H H H面平行面平行面平行面平行l l正平线：与正平线：与正平线：与正平线：与V V V V面平行面平行面平行面平行l l侧平线：与侧平线：与侧平线：与侧平线：与W W W W面平行面平行面平行面平行二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：1.1.1.1.水平线的水平线的水平线的水平线的H H H H投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OYOYOYOY轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为;=0;=0;=0;=0。2.2.2.2.水平线的水平线的水平线的水平线的V V V V投影投影投影投影 abOX abOX abOX abOX；W W W W投影投影投影投影 abOY abOY abOY abOY；abbaba 反映实长YY1XZaaabBbAbZXY二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：1 1 1 1、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的V V V V投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；与与与与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为;=0;=0;=0;=0。2 2 2 2、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的H H H H投影投影投影投影 a bOX a bOX a bOX a bOX；W W W W投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；abbaba反映实长YY1XZabAabBabZXY二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置abbaba反映实长YY1XZabAabBabZXY 侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：1.1.1.1.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的W W W W投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与投影反映实长，实长投影与OYOYOYOY夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为 ；=0=0=0=0。2.2.2.2.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的V V V V投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；H H H H投影投影投影投影 a bOY a bOY a bOY a bOY；二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l l投影面平行线投影特征：投影面平行线投影特征：投影面平行线投影特征：投影面平行线投影特征：l l在所平行的投影面上的投影反映实长，并反映与在所平行的投影面上的投影反映实长，并反映与在所平行的投影面上的投影反映实长，并反映与在所平行的投影面上的投影反映实长，并反映与其它二投影面的倾角；其它二投影面的倾角；其它二投影面的倾角；其它二投影面的倾角；l l另外二投影分别平行于相应的投影轴。另外二投影分别平行于相应的投影轴。另外二投影分别平行于相应的投影轴。另外二投影分别平行于相应的投影轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l l3.3.3.3.投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线l l铅垂线：垂直于铅垂线：垂直于铅垂线：垂直于铅垂线：垂直于H H H H面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于V V V V、W W W W面。面。面。面。l l正垂线：垂直于正垂线：垂直于正垂线：垂直于正垂线：垂直于V V V V面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于H H H H、W W W W面。面。面。面。l l侧垂线：垂直于侧垂线：垂直于侧垂线：垂直于侧垂线：垂直于W W W W面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于H H H H、V V V V面。面。面。面。abbab(a)YY1XZabA(a)bBabZXY 铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：1 1 1 1、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的H H H H投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的V V V V、W W W W投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于OZOZOZOZ轴。轴。轴。轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置baa(b)baYY1XZa(b)BbAabaZXY 正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：1 1 1 1、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的V V V V投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的H H H H、W W W W投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于OYOYOYOY轴。轴。轴。轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置ab（b）abaYY1XZabAabBa（b）ZXY 侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：1 1 1 1、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的W W W W投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的V V V V、H H H H投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于投影反映直线的实长，且平行于OXOXOXOX轴。轴。轴。轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l l投影面垂直线投影特征：投影面垂直线投影特征：投影面垂直线投影特征：投影面垂直线投影特征：l l在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；l l另外二投影分别平行于相应的投影轴且反映实长。另外二投影分别平行于相应的投影轴且反映实长。另外二投影分别平行于相应的投影轴且反映实长。另外二投影分别平行于相应的投影轴且反映实长。ZXa b aOYY1a bb H HW WV VZXYOBbbabaA a二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置从属于某一投影面的平行线从属于某一投影面的平行线从属于某一投影面的平行线从属于某一投影面的平行线ZY1b Xa b a(b)OYa H HW WV VZXYO二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置从属于某一投影面的垂直线从属于某一投影面的垂直线从属于某一投影面的垂直线从属于某一投影面的垂直线Bb Aa b a(b)a ZXa b aOYY a b b二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置从属于投影轴的直线从属于投影轴的直线从属于投影轴的直线从属于投影轴的直线H HW WV VZXYOa b aa b bAB三、直线上的点三、直线上的点ABCa(b)EFDedf(c)l l1.1.1.1.直线上点的投影直线上点的投影直线上点的投影直线上点的投影l l直线上点的投影必定位直线上点的投影必定位直线上点的投影必定位直线上点的投影必定位于直线的同名投影上。于直线的同名投影上。于直线的同名投影上。于直线的同名投影上。l l直线上的点分割直线为直线上的点分割直线为直线上的点分割直线为直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之两段，则线段的空间之两段，则线段的空间之两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，比等于它们的投影之比，比等于它们的投影之比，比等于它们的投影之比，即：即：即：即：ED:DF=e d:d f ED:DF=e d:d f ED:DF=e d:d f ED:DF=e d:d f=ed:=ed:=ed:=ed:df=ed:dfdf=ed:dfdf=ed:dfdf=ed:dfababkkkabXZYY1O判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上？上？上？上？XYY1ZababkkabkO判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上？上？上？上？ababC c cXO试在直线试在直线试在直线试在直线ABABABAB上确定一点上确定一点上确定一点上确定一点C C C C，使，使，使，使AC:CB=2:3AC:CB=2:3AC:CB=2:3AC:CB=2:3，求，求，求，求C C C C点的两面投点的两面投点的两面投点的两面投影。影。影。影。三、直线上的点三、直线上的点XAb aa m N n bBM mnOVHa b bam mnm XO 直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。三、直线上的点三、直线上的点l l迹点投影的两个特征：迹点投影的两个特征：迹点投影的两个特征：迹点投影的两个特征：l l迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；l l迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的相交处。相交处。相交处。相交处。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置两直线的两直线的两直线的两直线的相对位置相对位置相对位置相对位置两直线垂直两直线垂直两直线垂直两直线垂直两直线相交两直线相交两直线相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线交叉 两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同名投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同名投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同名投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同名投影相互平行。即ABCDABCDABCDABCD，则：则：则：则：abcd abcd abcd abcd；abcdabcdabcdabcd；abcd abcd abcd abcd。xobaadbbccxobaabdcdcABCD四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置a d c b adcba c d b XZOYY1AB、CD不平行不平行对于投影面平行线，对于投影面平行线，对于投影面平行线，对于投影面平行线，则必须考察它们的在则必须考察它们的在则必须考察它们的在则必须考察它们的在该投影面上的同名投该投影面上的同名投该投影面上的同名投该投影面上的同名投影，才可以断定它们影，才可以断定它们影，才可以断定它们影，才可以断定它们在空间的真实位置。在空间的真实位置。在空间的真实位置。在空间的真实位置。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置ADCBa(b)c(d)当互相平行的两当互相平行的两当互相平行的两当互相平行的两直线垂直于某一直线垂直于某一直线垂直于某一直线垂直于某一投影面时，则在投影面时，则在投影面时，则在投影面时，则在该投影面上的投该投影面上的投该投影面上的投该投影面上的投影影影影(积聚为两点积聚为两点积聚为两点积聚为两点),),),),反映它们在空反映它们在空反映它们在空反映它们在空间的真实距离。间的真实距离。间的真实距离。间的真实距离。obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同名投影必定相交，且投两直线相交，则两直线的同名投影必定相交，且投两直线相交，则两直线的同名投影必定相交，且投两直线相交，则两直线的同名投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。影的交点符合点的投影规律。影的交点符合点的投影规律。影的交点符合点的投影规律。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置XZOYY1aa cdbd c b a d b c 对于其中有一条是对于其中有一条是对于其中有一条是对于其中有一条是投影面平行线的两投影面平行线的两投影面平行线的两投影面平行线的两直线，则必须考察直线，则必须考察直线，则必须考察直线，则必须考察它们在该投影面上它们在该投影面上它们在该投影面上它们在该投影面上的同名投影是否相的同名投影是否相的同名投影是否相的同名投影是否相交。交。交。交。ObXaabcddcee(f)fXOBDACbbaaccddFEe(f)fe 两直线交叉的投影特性：两直线交叉的投影特性：两直线交叉的投影特性：两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉.四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置XaacddcbbodcabY1YZ四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置判断方法一判断方法一cboaacddbx11=1d=1c四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置判断方法二判断方法二d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef作直线作直线作直线作直线KLKLKLKL与与与与ABABABAB、CDCDCDCD相交，且平行于相交，且平行于相交，且平行于相交，且平行于EFEFEFEF直线。直线。直线。直线。AHBCacbcOXba cba 两直线垂直的投影规律：两直线垂直的投影规律：两直线垂直的投影规律：两直线垂直的投影规律：空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。影反映直角关系。影反映直角关系。影反映直角关系。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置OXbabamnnmBHACcbaMNnm四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置l l互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。互相垂直。互相垂直。互相垂直。l l反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。线一定垂直。线一定垂直。线一定垂直。efefaabbcc量取bc=30mm已知直角三角形已知直角三角形已知直角三角形已知直角三角形ABCABC，其一直角边，其一直角边，其一直角边，其一直角边BCBC在在在在EFEF线上，长线上，长线上，长线上，长30mm30mm，试完成三角形试完成三角形试完成三角形试完成三角形ABCABC的投影。的投影。的投影。的投影。afeefabcdbdcoo=XAOXAO半对角线长已知正方形已知正方形已知正方形已知正方形ABCDABCD的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线EFEF上，上，上，上，试完成该正方形的正面、侧面投影。试完成该正方形的正面、侧面投影。试完成该正方形的正面、侧面投影。试完成该正方形的正面、侧面投影。aabbcdc(d)nmm两交叉线间距离(n)求两直线求两直线求两直线求两直线ABAB、CDCD之间的距离。之间的距离。之间的距离。之间的距离。课堂小结课堂小结l l一、直线的投影一、直线的投影l l二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置l l三、直线上的点三、直线上的点l l四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置
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