石群自动控制原理(第7章)课件

第七章第七章 线性线性离散离散系统的分析与校正系统的分析与校正 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7-2 信号的信号的采样与保持采样与保持 7-3 z变换变换理论理论 7-4 离散系统的离散系统的数学模型数学模型 7-5 离散系统的离散系统的稳定性稳定性与与稳态误差稳态误差 7-6 离散系统的离散系统的动态性能分析动态性能分析 7-7 离散系统的离散系统的数字校正数字校正 7-8 离散控制系统设计离散控制系统设计7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念连续系统：连续系统：系统中所有信号都是系统中所有信号都是时间的连续函数时间的连续函数。信号在全部时间上都是已知的。信号在全部时间上都是已知的。离散离散(时间时间)系统系统 系统中至少一处系统中至少一处信号是脉冲或数码信号是脉冲或数码。那些信号只那些信号只定义在离散时间定义在离散时间上。上。采样采样/脉冲脉冲控制系统：控制系统：系统中的离散信号是系统中的离散信号是脉冲序列脉冲序列形式的离散系统。形式的离散系统。数字数字/计算机计算机控制系统控制系统 系统中的离散信号是系统中的离散信号是数字序列数字序列形式的离散系统。形式的离散系统。1.1.采样控制系统采样控制系统采样控制系统采样控制系统 采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时时间瞬时上上取值取值，而，而无法获取无法获取瞬时之瞬时之间间的的信息信息。周期周期采样：采样时间间隔具有规律性。采样：采样时间间隔具有规律性。等周期等周期采样：采样时间间隔两两相等。采样：采样时间间隔两两相等。非周期非周期/随机随机采样：采样：采样时间间隔是时变的、随机的。采样时间间隔是时变的、随机的。假定：本章仅讨论等周期采样，如果系统中有几个假定：本章仅讨论等周期采样，如果系统中有几个采样器，则它们是采样器，则它们是同步等周期同步等周期的。的。例例7-1(P305)T为为采样周期采样周期，为为采样持续时间采样持续时间。炉温采样控制，当检流计指针与电位器接触时，电炉温采样控制，当检流计指针与电位器接触时，电机才在采样信号作用下调节炉温。这种机才在采样信号作用下调节炉温。这种采样控制采样控制下，电下，电机时转时停，若再采用机时转时停，若再采用较大开环增益较大开环增益，不仅，不仅利于系统稳利于系统稳定定，还能，还能抑制响应超调抑制响应超调。通常，测量元件、执行元件、被控对象是通常，测量元件、执行元件、被控对象是模拟元件模拟元件，其输入和输出是其输入和输出是连续信号连续信号，即，即时间上和幅值上都连续时间上和幅值上都连续的的信号，称为信号，称为模拟信号模拟信号。脉冲元件脉冲元件的输入和输出是的输入和输出是脉冲序列脉冲序列，即，即时间上离散而时间上离散而幅值上连续幅值上连续的信号，称为的信号，称为离散模拟信号离散模拟信号。采样器采样器保持器保持器连续信号连续信号脉冲序列脉冲序列采样系统采样系统采样系统采样系统：采样器和保持器是特殊环节。：采样器和保持器是特殊环节。信号采样和复现信号采样和复现 采样：连续信号转变为脉冲信号。采样：连续信号转变为脉冲信号。采样器，例如采样器，例如采样开关采样开关。T是采样周期，是采样周期，fs=1/T是是采样频率采样频率。采样角频率采样角频率：s=2/T=2fs，单位是，单位是rad/s 采样持续时间采样持续时间T，max连续部分的时间连续部分的时间 常数常数，通常认为，通常认为趋近于趋近于0。矩形面积矩形面积 等于强度等于强度 复现：脉冲信号转变为连续信号。复现：脉冲信号转变为连续信号。复现装置，又称为复现装置，又称为保持器保持器。采样器输出脉冲信号采样器输出脉冲信号 ，其高频分量相当于连续，其高频分量相当于连续 部分的噪声。因此，部分的噪声。因此，采样器采样器后面后面串联串联信号复现滤信号复现滤 波器，可由波器，可由保持器保持器实现。实现。采样频率足够高时，采样频率足够高时，接近于连续信号。接近于连续信号。采样系统的典型结构图采样系统的典型结构图 开环采样系统：开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系采样器位于闭合回路之外，或者系统无闭合回路。统无闭合回路。闭环采样系统：闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内。采样器位于闭合回路之内。典型结构图：典型结构图：线性采样系统线性采样系统：采样开关的输出与输入存在线性关系，且系统其余采样开关的输出与输入存在线性关系，且系统其余部分的传递函数都具有线性特性。部分的传递函数都具有线性特性。2.数字控制系统数字控制系统 以数字计算机为控制器。以数字计算机为控制器。包括离散工作的计算机和连续工作的被控对象。包括离散工作的计算机和连续工作的被控对象。闭环控制系统。闭环控制系统。计算机计算机作为系统的控制器，其输入和输出是二进制作为系统的控制器，其输入和输出是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都编码的数字信号，即在时间上和幅值上都离散的信号离散的信号。被控对象和测量元件被控对象和测量元件的输入和输出是的输入和输出是连续信号连续信号。连续连续-A/D-离散离散-D/A-连续连续 Analog-Digital请分析：采样信号与数字信号的请分析：采样信号与数字信号的区别和联系区别和联系？区别区别 采样：在离散时刻，采集连续的幅值。采样：在离散时刻，采集连续的幅值。编码：即编码：即A/D过程，将采样值进行过程，将采样值进行0、1编码。编码。联系联系 两者都是离散信号，且可以相互转化。两者都是离散信号，且可以相互转化。解码：即解码：即D/A过程，将数码转换成连续信号。过程，将数码转换成连续信号。模拟模拟-采样采样-量化量化-数字数字-解码解码-复现复现-模拟模拟A/D转换器转换器 将连续模拟信号转换为离散数字信号的装置。将连续模拟信号转换为离散数字信号的装置。A/D转换包括转换包括采样采样和和量化量化两个过程。两个过程。任何数值的离散信号必须表示成任何数值的离散信号必须表示成最小位二进制的整最小位二进制的整数倍数倍，才能成为数字信号，才能进行运算。，才能成为数字信号，才能进行运算。数字计算机中信号在时间和数字计算机中信号在时间和幅值上幅值上都是都是断续断续的。的。采样信号，例如记作采样信号，例如记作 ，其数字信号记作，其数字信号记作 。A/D转换器若有足够的字长表示数码，或者称为精转换器若有足够的字长表示数码，或者称为精度高，即度高，即量化单位量化单位q足够小足够小，则量化引起的，则量化引起的幅值断续幅值断续性可以忽略性可以忽略。若采样若采样编码是瞬间编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数完成，并用理想脉冲等效代替数字信号，则数字信号可以看成脉冲信号，字信号，则数字信号可以看成脉冲信号，A/D转换器转换器可用每隔可用每隔T秒瞬时闭合一次的理想秒瞬时闭合一次的理想采样开关采样开关S来表示。来表示。D/A转换器转换器 将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。D/A转换包括转换包括解码解码和和复现复现两个过程。两个过程。离散数字离散数字-解码解码-离散模拟离散模拟-复现复现(保持器保持器)-连续模连续模拟拟 采样频率足够高时，连续模拟趋近于采样频率足够高时，连续模拟趋近于真正连续真正连续。计算机的计算机的输出寄存器输出寄存器和和解码网络解码网络相当于信号保持器。相当于信号保持器。数字控制系统的典型结构图数字控制系统的典型结构图假定：假定：A/D足够字长，量化单位足够字长，量化单位q足够小，忽略幅值断续性。足够小，忽略幅值断续性。采样编码过程是瞬时完成的。采样编码过程是瞬时完成的。可用理想脉冲幅值等效代替数字信号大小。可用理想脉冲幅值等效代替数字信号大小。A/D可用周期可用周期T的理想开关代替。的理想开关代替。数字控制器数字控制器(数字校正装置数字校正装置)表示每隔表示每隔T输出输出数字量数字量3.3.离散控制系统的特点离散控制系统的特点离散控制系统的特点离散控制系统的特点数字计算机构成数字校正装置，数字计算机构成数字校正装置，软件实现控制规律软件实现控制规律，易于修改、控制灵活。易于修改、控制灵活。采样信号，特别是采样信号，特别是数字信号数字信号的传递可以有效地抑制噪的传递可以有效地抑制噪声，提高系统声，提高系统抗干扰抗干扰能力。能力。允许采用高灵敏度控制元件，允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度提高控制精度。可用一台计算机可用一台计算机分时控制分时控制若干个系统，提高设备利用若干个系统，提高设备利用率，经济性好。率，经济性好。对于传输延迟，甚至对于传输延迟，甚至大延迟控制系统大延迟控制系统，可以引入采样，可以引入采样的方式稳定。的方式稳定。4.4.离散系统的研究方法离散系统的研究方法离散系统的研究方法离散系统的研究方法 数学基础：数学基础：Z变换。变换。7-2 信号的信号的采样与保持采样与保持1.1.采样过程采样过程采样过程采样过程采样器，又称采样器，又称采样开关采样开关：把连续信号变换为脉冲序列。：把连续信号变换为脉冲序列。采样过程：用一个周期性闭合的采样开关采样过程：用一个周期性闭合的采样开关S表示。表示。通常可认为，采样开关的闭合时间通常可认为，采样开关的闭合时间非常小，是非常小，是ms、s级的，远小于采样周期级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间和系统连续部分的最大时间常数。常数。分析时，分析时，可认为可认为=0，这样的采样器可用理想采样这样的采样器可用理想采样器来代替，且采样过程可看成是器来代替，且采样过程可看成是幅值调制过程幅值调制过程。c图所示为图所示为a图信号调制图信号调制在在b图载波上图载波上的结果。的结果。2.2.采样过程的数学描述采样过程的数学描述采样过程的数学描述采样过程的数学描述采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换 不能给出连续函数不能给出连续函数 在采样间隔之间的信息。在采样间隔之间的信息。求解求解 的过程中，初始值通常规定采用的过程中，初始值通常规定采用 。若若 是有理函数，则是有理函数，则 可表示成可表示成 的有理函数形式。的有理函数形式。只要只要 可表示可表示s的有限次多项式之比，就可推导出的有限次多项式之比，就可推导出的闭合形式。拉氏变换法研究离散系统，虽可得到的闭合形式。拉氏变换法研究离散系统，虽可得到 的的有理函数，但却是有理函数，但却是s的超越函数，不便分析和设计。的超越函数，不便分析和设计。z变换变换可以把离散系统的可以把离散系统的s超越方程超越方程变换为变换为z的代数方程的代数方程。采样信号的频谱采样信号的频谱 采样信号不包含采样间隔之间的信息，所以采样信号采样信号不包含采样间隔之间的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究采样信号的频谱，是为了找出研究采样信号的频谱，是为了找出 和和 之间的之间的联系。联系。3.3.香农采样定理香农采样定理香农采样定理香农采样定理 如果采样器的输入信号如果采样器的输入信号 具有有限带宽，并且有直具有有限带宽，并且有直到到 的频率分量，则使信号的频率分量，则使信号 圆满地从采样信号圆满地从采样信号中恢复过来的采样周期中恢复过来的采样周期T，满足以下条件：，满足以下条件：理想滤波器频率特性的幅值理想滤波器频率特性的幅值 必须在必须在 处处突然截止，则在理想滤波器输出端可准确得到突然截止，则在理想滤波器输出端可准确得到的连续频谱，仅是幅值变为的连续频谱，仅是幅值变为1/T倍，频谱形状没有畸变。倍，频谱形状没有畸变。控制工程实践中，总是取控制工程实践中，总是取 ，不取等于的情况。，不取等于的情况。4.4.采样周期的选取采样周期的选取采样周期的选取采样周期的选取正常趋势：正常趋势：T越小、越小、越大，获得控制信息越多，控制越大，获得控制信息越多，控制 效果越好。效果越好。T过小：增加计算负担，控制规律复杂，无实际意义。过小：增加计算负担，控制规律复杂，无实际意义。T过大：控制过程大误差，降低动态性能，稳定性差。过大：控制过程大误差，降低动态性能，稳定性差。p根据根据频域频域性能指标性能指标选选T 控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性，控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性，随随动系统动系统输入信号频率高于输入信号频率高于闭环谐振频率闭环谐振频率 时，信号通过时，信号通过系统会很快衰减，可认为通过系统的控制系统会很快衰减，可认为通过系统的控制信号的最高频信号的最高频率率是是 。随动系统，认为开环系统的截止频率随动系统，认为开环系统的截止频率 等于闭环系统等于闭环系统的谐振频率的谐振频率 。随动系统选取：随动系统选取：p根据根据时域时域性能指标性能指标选选T 基于单位阶跃响应，根据经验公式：基于单位阶跃响应，根据经验公式：5.5.信号保持信号保持信号保持信号保持 工程实践中，理想滤波器并不存在，只能用特性接近工程实践中，理想滤波器并不存在，只能用特性接近的低通滤波器代替，的低通滤波器代替，零阶保持器零阶保持器是常用的低通滤波器之是常用的低通滤波器之一。把数字信号转换为一。把数字信号转换为连续信号连续信号的装置，称为保持器。的装置，称为保持器。保持器的数学描述保持器的数学描述 采样时刻上，连续信号的函数值等于脉冲序列的脉冲采样时刻上，连续信号的函数值等于脉冲序列的脉冲强度。保持器具有强度。保持器具有外推作用外推作用，表现为现在时刻的输出信，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。号取决于过去时刻离散信号的外推。多项式外推公式：多项式外推公式：由由确定外推系数确定外推系数m表示表示保持器保持器的的阶数，阶数，工程实践普遍工程实践普遍采用采用m=0阶保持器。阶保持器。零阶保持器零阶保持器 阶次阶次m=0，则外推公式为：，则外推公式为：显然，上式显然，上式 也成立。所以，也成立。所以，零阶保持器按照常值外推，其数学表达式为：零阶保持器按照常值外推，其数学表达式为：把把nT采样值保持到采样值保持到(n+1)T，使采样信号，使采样信号 变成阶梯变成阶梯信号信号 。连接连接阶梯信号中点阶梯信号中点，可得到与可得到与e(t)形状一形状一致，但时间落后致，但时间落后T/2的响应的响应et-(T/2)。零阶保持过程是理想脉冲零阶保持过程是理想脉冲 的结果。的结果。零阶保持器零阶保持器零阶保持器零阶保持器传递函数传递函数(脉冲响应的拉氏变换脉冲响应的拉氏变换)：零阶保持器零阶保持器频率特性频率特性：零阶保持器特性零阶保持器特性：低通特性。低通特性。根据幅频特性可知，零阶保持器根据幅频特性可知，零阶保持器基本上是基本上是一个低通滤波器一个低通滤波器。但与理想滤波器特性相比，在。但与理想滤波器特性相比，在 处，幅值是初值的处，幅值是初值的63.7%，且，且截止频率不止一个截止频率不止一个，因，因此主要频谱分量和此主要频谱分量和部分高频频谱部分高频频谱分量都分量都可以通过可以通过，进，进而造成数字控制系统的而造成数字控制系统的输出中存在纹波输出中存在纹波。相角滞后特性。相角滞后特性。根据相频特性，零阶保持器的相角滞根据相频特性，零阶保持器的相角滞后，随着后，随着 的增大而增大。在的增大而增大。在 处滞后处滞后 ，使，使闭环系闭环系统稳定性变差统稳定性变差。时间滞后特性。时间滞后特性。零阶保持器的输出为阶梯信号零阶保持器的输出为阶梯信号 ，平均响应为平均响应为 ，说明，说明输出比输入滞后输出比输入滞后 ，相，相当于给系统当于给系统增加增加一个延迟时间为一个延迟时间为 的的延迟环节延迟环节，是，是系统总的系统总的相角滞后相角滞后增大，对系统稳定性不利，增大，对系统稳定性不利，且阶梯且阶梯输出增加系统输出增加系统输出中的纹波输出中的纹波。一阶保持器一阶保持器 阶次阶次m=1，则外推公式为：，则外推公式为：解得外推系数：解得外推系数：得：得：一阶保持器与零阶保持器相比较：一阶保持器与零阶保持器相比较：复现复现原信号的原信号的准确度更高准确度更高。幅频特性普遍较大，允许通过高频分量较多，幅频特性普遍较大，允许通过高频分量较多，更易造更易造成纹波成纹波。相角滞后更严重相角滞后更严重，处滞后可达处滞后可达 ，对，对稳定性更稳定性更加不利加不利。结论：结论：数字控制系统中，数字控制系统中，普遍普遍采用采用零阶零阶保持器，保持器，很少很少采用采用一一阶阶保持器，基本保持器，基本不用更高阶不用更高阶保持器。保持器。工程实践中，可用输出寄存器实现零阶保持器，还应工程实践中，可用输出寄存器实现零阶保持器，还应附加模拟滤波器，有效去除采样频率及其谐波频率附近附加模拟滤波器，有效去除采样频率及其谐波频率附近的高频分量。的高频分量。7-3 z变换变换理论理论 z变换的思想源于连续系统。变换的思想源于连续系统。线性离散系统的性能，可用线性离散系统的性能，可用z变换的方法获得。变换的方法获得。z变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏变换。变换。1.z变换定义变换定义 各项均含有各项均含有项，则为项，则为s的超越函数。的超越函数。令令，T为采样周期，为采样周期，z是复数变量，是复数变量，z变换算子。变换算子。z的的s反解：反解：这种写法只这种写法只是书写方便，是书写方便，意义同前意义同前2.z变换方法变换方法 取取 ，可将，可将s域超越函数变换为域超越函数变换为z的幂级数或者的幂级数或者有理分式。有理分式。级数求和法级数求和法例例7-6 求单位阶跃函数求单位阶跃函数1(t)的的z变换。变换。(对比对比P313例例7-3)解：解：若若，即，即则可得封闭形式：则可得封闭形式：例例7-7 设设 求理想脉冲序列求理想脉冲序列的的z变换。变换。解：解：比较比较例例7-6和和例例7-7的的结论结论：相同的相同的z变换变换E(z)对应对应相同的采样函数相同的采样函数e*(t)，但，但是是不一定对应不一定对应于相同的连续函数于相同的连续函数e(t)。部分分式法部分分式法例例7-8 已知连续函数的拉氏变换为已知连续函数的拉氏变换为 ，求，求 。解：解：根据：根据：得：得：例例7-9 设设 ，求，求 。解：解：根据根据欧拉公式欧拉公式：注意！注意！本课程主要研究：本课程主要研究：常用时间函数常用时间函数z变换后，是变换后，是z的有理分式的有理分式，且，且分母分母多多项式的项式的次数大于或等于分子次数大于或等于分子多项式的次数。多项式的次数。分母分母z多项式的多项式的最高次数最高次数等于等于相应传递函数分母相应传递函数分母s多多项式的项式的最高次数最高次数。P322表表7-2 z变换表变换表 谁也不能全背下来！且让我指出考试常用的变换，哈！谁也不能全背下来！且让我指出考试常用的变换，哈！表表7-2:重重 点：点：1、2、3、4、5、8 次重点：次重点：7、9、16、173.z变换性质变换性质(证明考试不考，了解即可证明考试不考，了解即可)线性定理线性定理 实数位移定理实数位移定理例例7-10 计算滞后一个采样周期的函数计算滞后一个采样周期的函数 的的z变换。变换。解：解：复数位移定理复数位移定理 理解为理解为 乘以指数序列乘以指数序列 。例例7-11 计算计算 的的z变换。变换。解：解：终值定理终值定理 若若 为有限值，且极限为有限值，且极限 存在，则：存在，则：例例7-12 设设z变换函数为变换函数为求求 。解：解：卷积定理卷积定理 定义离散卷积：定义离散卷积：若若 则则 卷积定理是沟通时域与卷积定理是沟通时域与z域的桥梁。域的桥梁。4.z反变换反变换 先先z变换，把变换，把s超越方程或者离散系统差分方程转换为超越方程或者离散系统差分方程转换为z的代数方程的代数方程，然后写出离散系统脉冲传递函数，然后写出离散系统脉冲传递函数(z 传递传递函数函数)，再用，再用z反变换求出反变换求出离散系统时间响应离散系统时间响应。z反变换反变换 ：单边性：单边性：时时 部分分式法（查表法）部分分式法（查表法）设设已知的已知的z变换函数变换函数 无重极点无重极点，且考虑，且考虑 分子分子普遍含有普遍含有z，则：，则：为为 在极点在极点 处的留数。处的留数。例例7-13 已知已知 求求z反变换。反变换。解：解：幂级数法（综合除法）幂级数法（综合除法）如果如果无穷幂级数收敛无穷幂级数收敛，则，则 是采样脉冲是采样脉冲序列序列 的脉冲强度的脉冲强度 。工程实际中，只需计算有限的几项，可用工程实际中，只需计算有限的几项，可用幂级数法幂级数法，但是但是不易求不易求得得通项的、封闭的通项的、封闭的表达式。表达式。例例7-14 设设z变换函数变换函数求求z反变换。反变换。解：解：注意：注意：无穷幂级数只要在无穷幂级数只要在z平面的平面的某个区域内是收敛某个区域内是收敛的，则用的，则用z变换法解决离散系统问题时，就变换法解决离散系统问题时，就不需要指出不需要指出具体在具体在什么什么z值值上上收敛收敛。反演积分法（留数法）反演积分法（留数法）当当z变换函数变换函数E(z)除了有理分式外，也可能除了有理分式外，也可能是超越函是超越函数数，此时无法用部分分式法和幂级数法求，此时无法用部分分式法和幂级数法求z反变换，反变换，只只能采用反演积分法能采用反演积分法。当然，反演积分法对当然，反演积分法对E(z)为有理分式的情况也适用。为有理分式的情况也适用。设设 为为z平面上包围平面上包围 全部极点的封闭曲线。全部极点的封闭曲线。沿沿 逆时针方向，对逆时针方向，对 两端同时积分。两端同时积分。对于围绕原点的积分闭路对于围绕原点的积分闭路 ：则则根据柯西留数定理，设除有限个极点根据柯西留数定理，设除有限个极点 外，在域外，在域G上是解析的。如果有闭合路径上是解析的。如果有闭合路径 包含了这些极点，则：包含了这些极点，则：例例7-15 设设z变换函数变换函数求求z反变换。反变换。解：解：留数计算方法：留数计算方法：若若 为为单极点单极点，则：，则：若若 有有n阶阶重极点重极点 ，则：，则：5.关于关于z变换的说明变换的说明z变换的非唯一性变换的非唯一性z变换只与采样序列对应，而与原连续时间函数并非一变换只与采样序列对应，而与原连续时间函数并非一一对应。一对应。对于给定对于给定z变换变换E(z)，由于采样信号只在采样瞬间和原，由于采样信号只在采样瞬间和原连续时间函数相同，所以连续时间函数相同，所以E(z)反变换也不可能是唯一的。反变换也不可能是唯一的。对于连续时间函数，对于连续时间函数，z变换和变换和z反变换都不是唯一反变换都不是唯一的。的。z变换的收敛区间变换的收敛区间拉氏变换存在性条件：拉氏变换存在性条件：双边双边z变换变换的定义：的定义：若令：若令：则：则：则其则其收敛条件收敛条件：大多数工程问题中，因为大多数工程问题中，因为n0时，时，e(nT)=0，所以，所以z变变换是单边的，其定义式：换是单边的，其定义式：且且E(z)为有理分式函数，因而为有理分式函数，因而z变换的收敛区间与变换的收敛区间与E(z)的的零极点分布有关。零极点分布有关。满足满足 时，双边时，双边z变换一致收敛，即变换一致收敛，即e(nT)的的z变换存在。变换存在。例：例：公比为：公比为：，当，当 时，时，其收敛区间为：其收敛区间为：E(z)的零点是的零点是z=0，极点是极点是z=a，收敛区域，收敛区域如图如图7-21所示。所示。大多数工程问题中的大多数工程问题中的z 变换都存在，所以可变换都存在，所以可不必特别指出不必特别指出z 变换的变换的收敛区间。收敛区间。7-4 离散系统的离散系统的数学模型数学模型 线性离散系统的数学模型有三种：线性离散系统的数学模型有三种：差分方程差分方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 离散状态空间表达式离散状态空间表达式1.离散系统的数学定义离散系统的数学定义 将输入序列将输入序列 ，变换为输出序列，变换为输出序列 的的一种变换关系，称为离散系统，记作：一种变换关系，称为离散系统，记作：简记为：简记为：如果关系如果关系F是线性是线性的，就称为的，就称为线性离散线性离散系统；系统；如果关系如果关系F是非线性的，就称为非线性离散系统。是非线性的，就称为非线性离散系统。线性离散系统线性离散系统线性定常离散系统线性定常离散系统 定义：定义：输入与输出关系输入与输出关系不随时间改变不随时间改变的线性离散系统。的线性离散系统。2.线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法 n阶阶后向差分后向差分方程方程(nm)n阶阶前向差分前向差分方程方程(nm)解常系数线性差分方程：经典法、迭代法、解常系数线性差分方程：经典法、迭代法、z变换法。变换法。经典法：需要求解微分方程，计算量大。经典法：需要求解微分方程，计算量大。迭代法迭代法 根据差分方程的后向描述或者前向描述，结合已知的根据差分方程的后向描述或者前向描述，结合已知的初始条件，利用递推关系，求解输出序列。初始条件，利用递推关系，求解输出序列。z变换法变换法 对差分方程两端取对差分方程两端取z变换，并利用变换，并利用z变换的实数位移定变换的实数位移定理，得到理，得到z的代数方程，再求解的代数方程，再求解z反变换得输出序列。反变换得输出序列。3.脉冲传递函数脉冲传递函数 为了研究线性离散系统的分析和校正等问题，用为了研究线性离散系统的分析和校正等问题，用 z 变变换导出脉冲传递函数。换导出脉冲传递函数。脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义 零初始条件：零初始条件：t0时，时，均为均为0。当线性定常离散系统满足零初始条件时，定义其脉冲当线性定常离散系统满足零初始条件时，定义其脉冲传递函数为：传递函数为：实际实际系统系统输出输出往往是往往是连续连续信号信号c(t),则可在输出则可在输出端端虚设虚设一个理想一个理想采样开关采样开关，与其，与其它采样开关同步它采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。工作，并具有相同的采样周期。如果实际输出比较平滑，且采样频率较高，可用如果实际输出比较平滑，且采样频率较高，可用描述描述 。虚设采样开关是不存在的，只表明脉冲传递函数所能虚设采样开关是不存在的，只表明脉冲传递函数所能描述的，只是输出描述的，只是输出 在采样时刻上的离散值在采样时刻上的离散值 。脉冲传递函数意义脉冲传递函数意义 对于对于线性定常离散线性定常离散系统：系统：输出为单位脉冲响应序列：输出为单位脉冲响应序列：若输入为单位序列：若输入为单位序列：当输入单位脉冲序列时间移动当输入单位脉冲序列时间移动k个单位：个单位：输出单位脉冲序列时间相应移动输出单位脉冲序列时间相应移动k个单位：个单位：则则和和 称为称为“加权加权序列序列”，即当对一个连，即当对一个连续信号采样时，每一采样时刻的脉冲值，就等于该时续信号采样时，每一采样时刻的脉冲值，就等于该时刻的函数值。刻的函数值。任何一个采样序列，都可以认为是被加了任何一个采样序列，都可以认为是被加了权权的脉冲的脉冲序列序列。对于对于线性定常离散线性定常离散系统：系统：若输入采样信号为：若输入采样信号为：系统系统脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)，等于系统加权序列等于系统加权序列K(nT)的的z变换。变换。脉冲传递函数求法脉冲传递函数求法系统系统后向差分后向差分方程方程后向差分后向差分方程和方程和脉冲传递脉冲传递函数的关系：函数的关系：方法方法：方法方法：根据根据z变换表，直接由变换表，直接由G(s)得到得到G(z)。加权序列的加权序列的采样拉氏变换与其采样拉氏变换与其z变换变换的关系：的关系：加权序列：加权序列：采样拉氏变换：采样拉氏变换：4.开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数影响求解开环系统脉冲传递函数的两个因素：影响求解开环系统脉冲传递函数的两个因素：组成系统的环节组成系统的环节 采样开关采样开关的数目和的数目和位置位置采样拉氏变换的采样拉氏变换的两个性质两个性质 周期性周期性 不必重复离散化不必重复离散化p有串联环节时的开环系统脉冲传递函数有串联环节时的开环系统脉冲传递函数串联环节串联环节之间之间有有采样采样开关开关 串联环节串联环节之间之间无无采样采样开关开关 结论结论：串联环节之间：串联环节之间有、无同步采样有、无同步采样开关时，总的脉冲开关时，总的脉冲 传递函数传递函数G(z)和输出和输出z变换变换C(z)是不相同的。是不相同的。不同不同点：点：G(z)、C(z)的的零点零点。相同相同点：点：G(z)、C(z)的的极点极点。有零阶保持器时有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数的开环系统脉冲传递函数 说明说明：当当G0(s)为为s有理分有理分式函数时，式函数时，ZG0(s)/s也必然是也必然是z的有理分式函数。的有理分式函数。比较两例的开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相比较两例的开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相同，零点不同。同，零点不同。结论结论：零阶保持器零阶保持器不影响不影响离散系统脉冲传递函数的离散系统脉冲传递函数的极点极点。5.闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数 由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因此闭环离散系统因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式没有唯一的结构图形式。本例图本例图虚线开关是虚设的，虚线开关是虚设的，所有开关都是所有开关都是T。-闭环离散系统的特征方程：闭环离散系统的特征方程：注意：注意：只要只要e(t)处没有处没有采样采样开开关关，r*(t)(包括虚构的包括虚构的r*(t)便不存在，此时便不存在，此时不可能求出闭环离散系不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传统对于输入量的脉冲传递函数，而递函数，而只能求出只能求出C(z)。-由于上式由于上式求不出求不出C(z)/R(z)，所以，所以无法求解闭环传递函无法求解闭环传递函数数，但可以求出，但可以求出C(z)和和c*(t)。6.z变换法的局限性及修正变换法的局限性及修正z变换变换z变换法的变换法的局限性局限性z变换法的推导，建立在假定采样信号可以用理想脉变换法的推导，建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，等于冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，等于采样瞬时上的时间函数。这假定，只当采样持续时间采样瞬时上的时间函数。这假定，只当采样持续时间远小于系统最大时间常数时才成立。远小于系统最大时间常数时才成立。C(z)只能确定只能确定c(t)在采样瞬时上的数值，不能反映在采样瞬时上的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。在采样间隔中的信息。用用z变换法分析离散系统时，变换法分析离散系统时，系统连续部分的传递函系统连续部分的传递函数数G(s)的极点至少要比其零点数多的极点至少要比其零点数多2，即，即G(s)的脉冲的脉冲传递函数传递函数K(t)在在t=0时必须没有跳跃，或者满足：时必须没有跳跃，或者满足：否则，否则，z变换法得到变换法得到c*(t)和和c(t)差别较大，甚至完全不差别较大，甚至完全不符。符。z变换法得到变换法得到的输出曲线的输出曲线拉氏变换法得拉氏变换法得到的输出曲线到的输出曲线不满足不满足修正修正z变换法变换法 z变换的一种推广，是研究离散系统在变换的一种推广，是研究离散系统在采样间隔采样间隔中中响应响应的一种普遍有效的方法。的一种普遍有效的方法。本质：本质：分频分频而而不影响原频不影响原频。为为 的的脉冲脉冲过渡过渡函数函数。Sn1的输出的输出值为：值为：Sn1的采样输出的采样输出为：为：S1的输出的输出z变换为：变换为：采样间隔之间，需要补插采样间隔之间，需要补插q个点，则个点，则n=q+1。修正修正z变换法也可以应用于闭环离散系统。变换法也可以应用于闭环离散系统。7-5 离散系统的离散系统的稳定性稳定性与与稳态误差稳态误差1.s域到域到z域的映射域的映射 s域虚轴域虚轴()单位圆单位圆()主要带：主要带：到到 的的周期带周期带，z平面点从平面点从 逆时针逆时针 变化到变化到 ，转了一圈。，转了一圈。次要带次要带：其余的周期带。：其余的周期带。稳定区稳定区：s域域左半平面左半平面，主要带和次要带，映射成主要带和次要带，映射成z平面的平面的单位圆内部单位圆内部。等等 线映射线映射 s平面等平面等 线，映射到线，映射到z平面以原点为圆心，平面以原点为圆心，为为半径的同心圆。半径的同心圆。s平面虚轴平面虚轴 z平面原点圆心的单位圆平面原点圆心的单位圆 s平面虚轴平面虚轴左侧左侧 z平面单位圆平面单位圆内部同心内部同心圆圆 s平面虚轴平面虚轴右侧右侧 z平面单位圆平面单位圆外部同心外部同心圆圆 等等 线映射线映射 在特定在特定T的情况下，由的情况下，由 可知，可知，s平面等平面等 线映射线映射成成z平面一簇从原点出发的射线，相角从正实轴开始计量。平面一簇从原点出发的射线，相角从正实轴开始计量。在在s平面平面 处水平线，映射为处水平线，映射为z平面负实轴。平面负实轴。等等 线映射线映射 s平面上的等平面上的等 线：线：为等为等 线与虚线与虚轴之间的夹角。轴之间的夹角。等等 线从线从s域到域到z域的映射关系为：域的映射关系为：除除 和和 外，当外，当 为常数时，左半为常数时，左半s平面上平面上的等的等 线，映射为线，映射为z平面上平面上单位圆内单位圆内一簇一簇收敛的对数螺旋收敛的对数螺旋线线，起点为，起点为z平面上平面上正实轴的正实轴的1处处，终点为，终点为z平面的平面的原点原点。s平面平面主要带主要带映射为映射为z平面上的平面上的单位圆单位圆及单位及单位圆内的负圆内的负实轴实轴。由由 ，s平面上所有平面上所有次要带次要带，在，在z平面上均映射为平面上均映射为相同的相同的单位圆单位圆及单位及单位圆内的负实轴圆内的负实轴。2.离散离散系统系统稳定稳定的的充分必要充分必要条件条件 定义：若离散系统在定义：若离散系统在有界输入有界输入序列作用下，其序列作用下，其输出输出序序列列也是有界也是有界的，则称该的，则称该离散离散系统是系统是稳定稳定的。的。线性定常连续线性定常连续系统系统稳定充要稳定充要条件条件 系统齐次微分方程的解收敛系统齐次微分方程的解收敛 系统特征方程式的根均具有负实部系统特征方程式的根均具有负实部 系统传递函数的极点均位于左半系统传递函数的极点均位于左半s平面平面时域时域中中离散离散系统系统稳定稳定的的充分必要充分必要条件条件 设线性定常设线性定常(后向后向)差分方程为差分方程为 对应的齐次差分方程为对应的齐次差分方程为设通解为设通解为 ，代入齐次方程，得，代入齐次方程，得 得差分方程的特征方程得差分方程的特征方程不失一般性，设特征方程有不失一般性，设特征方程有n个不同的特征根，则：个不同的特征根，则：上式系数上式系数 由给定的由给定的n个初始条件决定。个初始条件决定。当特征根当特征根 时，时，必有必有 。则。则线性定常线性定常离散离散系统系统稳定充要稳定充要条件是：条件是：当且仅当当且仅当(后向后向)差分方程所有特征根模差分方程所有特征根模z域域中中离散离散系统系统稳定稳定的的充分必要充分必要条件条件-z域充要域充要条件：条件：系统系统特征方程特征方程所有特征根的分布所有特征根的分布在在 z 平面上的单位平面上的单位圆内，或者所有特圆内，或者所有特征根的模小于征根的模小于1，即：即：上述稳定充要条件是在特征方程无重根的情况下推导上述稳定充要条件是在特征方程无重根的情况下推导出来的，但是对于有重根的情况，也是正确的。出来的，但是对于有重根的情况，也是正确的。现实不存在临界稳定情况，现实不存在临界稳定情况，是不稳定的。是不稳定的。-3.离散系统的离散系统的稳定性判据稳定性判据 连续系统劳斯连续系统劳斯-赫尔维茨稳定判据，实质是判断系统赫尔维茨稳定判据，实质是判断系统特征方程根是否都在特征方程根是否都在s左半平面。左半平面。离散系统的稳定性判据就是离散系统的稳定性判据就是寻找某个寻找某个z域到域到w 域的映域的映射射，使，使z平面上单位圆内平面上单位圆内映射成映射成w 平面上左半平面平面上左半平面，这，这种坐标变换称为双线性变换，或称种坐标变换称为双线性变换，或称w变换。然后，变换。然后，在在w平面上平面上，利用，利用劳斯劳斯-赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据进行进行间接判别间接判别。w变换与劳斯稳定判据变换与劳斯稳定判据 z稳定，特征方程根稳定，特征方程根都在都在z单位圆内。单位圆内。w稳定，特征方程根稳定，特征方程根都在都在w左半平面。左半平面。w域，可用劳斯判据。域，可用劳斯判据。研究研究u的分子，的分子，有什么结论？有什么结论？u的分母的分母 始终为正，则：始终为正，则：当当 时，时，即：即：w虚轴虚轴 z单位圆单位圆周周。当当 时，时，即：即：w左半左半 z单位圆单位圆内内。当当 时，时，即：即：w右半右半 z单位圆单位圆外外。离散系统稳定性判别：离散系统稳定性判别：w劳斯判据劳斯判据 z朱利判据朱利判据朱利判定判据朱利判定判据 类似于连续系统的赫尔维茨判据，根据类似于连续系统的赫尔维茨判据，根据 z 特征方程，特征方程，判断其根是否在判断其根是否在 z 单位圆内。单位圆内。朱利稳定判据朱利稳定判据：特征方程：特征方程D(z)=0的根，全部位于的根，全部位于z平面平面 单位圆内的单位圆内的充分必要条件充分必要条件是：是：当当n为偶数时为偶数时当当n为奇数时为奇数时以及下列以及下列(n-1)个个约束条件成立：约束条件成立：缺点缺点：不容易确定不容易确定临界稳定的临界稳定的条件和不稳条件和不稳定的程度。定的程度。4.采样周期与开环增益对采样周期与开环增益对稳定性稳定性的影响的影响 主要影响因素：主要影响因素：开环增益开环增益K、零极点分布、传输延迟和、零极点分布、传输延迟和采样周期采样周期T。由例由例7-30可知，可知，K与与T对离散系统对离散系统稳定性稳定性有如下有如下影响影响：当当T一定时，增大一定时，增大K会使离散系统的稳定性变差，甚至会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。使系统变得不稳定。当当K一定时，越增大一定时，越增大 T，丢失的信息越多，对离散系，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至使系统变得不稳统的稳定性及动态性能均不利，甚至使系统变得不稳定。定。总之，总之，K大、大、T大，离散系统稳定性差。大，离散系统稳定性差。5.离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 连续系统中，计算稳态误差方法：连续系统中，计算稳态误差方法：拉氏变换终值定理拉氏变换终值定理，求稳态误差，求稳态误差 系统误差传递函数，系统误差传递函数，动态误差系数动态误差系数，求出动态误，求出动态误 差的稳态分量。差的稳态分量。可将这两种方法推广至离散系统。可将这两种方法推广至离散系统。离散系统没有唯一的典型结构图形式，设如图结构：离散系统没有唯一的典型结构图形式，设如图结构：注意注意注意注意：线性定常离散系统的稳态误差，不但与：线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统系统本身本身的的结构和参数结构和参数有关，而且与有关，而且与输入序列输入序列的的形式及幅值形式及幅值有关。有关。此外，此外，G(z)与采样周期与采样周期T有关，典型输入有关，典型输入R(z)也与也与T有关，有关，因此，离散系统的稳态误差与因此，离散系统的稳态误差与采样周期采样周期T有关。有关。研究稳态误研究稳态误差前，先要差前，先要判断系统的判断系统的稳定性稳定性是否是否满足！满足！说明说明说明说明：对于求解离散系统扰动稳态误差，只需求出系统扰对于求解离散系统扰动稳态误差，只需求出系统扰动误差的动误差的z变换函数变换函数En(z)，然后应用，然后应用z变换的终值定变换的终值定理求解。理求解。对于非单位反馈等复杂系统，讨论对于非单位反馈等复杂系统，讨论型别与静态误差型别与静态误差系数系数。6.离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数零阶保持器不影响开环系统脉冲传递函数的极点。零阶保持器不影响开环系统脉冲传递函数的极点。G(z)的极点与的极点与G(s)的极点是一一对应的。的极点是一一对应的。G(s)根据根据s=0极点个数确定连续系统型别，极点个数确定连续系统型别，G(z)根据根据z=1极点个数极点个数确定确定离散系统型别离散系统型别。以图以图7-43为例，研究三种典型信号的稳态误差。为例，研究三种典型信号的稳态误差。单位单位阶跃阶跃输入时的稳态误差输入时的稳态误差 其中其中 称为静态称为静态位置误差位置误差系数。系数。0型系统型系统的定义：的定义：G(z)没有没有z=1的极点，的极点，若若G(z)有多余等于有多余等于1个个z=1的极点，则的极点，则 这样的系统叫做这样的系统叫做1型或型或1型以上的离散系统。型以上的离散系统。l结论：结论：0型离散系统在型离散系统在采样瞬时采样瞬时存在位置误差存在位置误差。1型或型或1型以上离散系统，在采样瞬时没有位置误差。型以上离散系统，在采样瞬时没有位置误差。单位单位斜坡斜坡输入时的稳态误差输入时的稳态误差 其中其中 称为静态称为静态速度误差速度误差系数。系数。0型离散系统的型离散系统的Kv=0，而，而1型型系统的系统的Kv为为有限值有限值，2型型及以上系统的及以上系统的Kv=。结论：结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用。型离散系统不能承受单位斜坡函数作用。1型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差。型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差。2型或型或2型以上离散系统，在单位斜坡函数作用下不型以上离散系统，在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。存在稳态误差。单位单位加速度加速度输入时的稳态误差输入时的稳态误差 其中其中 称为静态称为静态加速度误差加速度误差系数。系数。0型及型及1型系统的型系统的Ka=0，2型型系统的系统的Ka为为常值常值，3型及型及以上系统的以上系统的Ka=。结论：结论：0型和型和1型离散系统不能承受单位加速度函数作用。型离散系统不能承受单位加速度函数作用。2型离散系统单位加速度函数作用下存在速度误差。型离散系统单位加速度函数作用下存在速度误差。3型或型或3型以上离散系统，在单位加速度函数作用下型以上离散系统，在单位加速度函数作用下不存在采样瞬时的稳态误差。不存在采样瞬时的稳态误差。7-6 离散系统的离散系统的动态性能分析动态性能分析 应用应用z变换法分析线性定常变换法分析线性定常离散系统离散系统的动态性能，通常的动态性能，通常有时域法、根轨迹法和频域法，其中有时域法、根轨迹法和频域法，其中时域法最简便时域法最简便。1.离散系统的时间相应离散系统的时间相应 在已知离散系统结构和参数时，常假定在已知离散系统结构和参数时，常假定1(t)作用。作用。存在存在E*(s)时，可求时，可求 不存在不存在E*(s)时，时，R(z)为固化形态。为固化形态。不求不求 ，根据，根据R(s)，研究，研究拉氏变换固化拉氏变换固化，然后直，然后直 接求接求C(z)，求解，求解c*(t)。展成幂级数，展成幂级数，z反反变换，求解变换，求解c*(t)。离散系统离散系统时域指标时域指标，只能按照，只能按照采采样周期整数倍的采样值样周期整数倍的采样值计算，因此计算，因此是是近似近似的。的。2.采样器和保持器对动态性能的影响采样器和保持器对动态性能的影响采样器和保持器采样器和保持器不影响开环不影响开环脉冲传递函数的脉冲传递函数的极点极点，仅，仅影响其零点影响其零点。对于闭环离散系统，对于闭环离散系统，开环开环脉冲传递函数脉冲传递函数零点零点的变化，的变化，必然必然引起闭环引起闭环脉冲传递函数脉冲传递函数极点的改变极点的改变。因此，采样器和保持器因此，采样器和保持器影响影响闭环离散系统的闭环离散系统的动态性能动态性能。2号线号线：有采样器，：有采样器，没有零阶保持器。没有零阶保持器。3号线号线：有采样器，：有采样器，有零阶保持器。有零阶保持器。1号线号线：没有采样器，没有零阶保持器。：没有采样器，没有零阶保持器。采样器和保持器对离散系统动态性能的影响采样器和保持器对离散系统动态性能的影响 结论结论结论结论：采样器采样器可使系统可使系统tp和和ts略有减小略有减小，但使，但使增大增大，故采样造，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。成的信息损失会降低系统的稳定程度。特例：有时在具有大延迟的系统中，误差采样反而会特例：有时在具有大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。提高系统的稳定程度。零阶保持器零阶保持器使使tp和和ts都增大都增大，和振荡次数和振荡次数N都增大都增大。因。因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。后降低了系统的稳定程度。3.3.闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应的关系 离散系统离散系统闭环脉冲传递函数的极点闭环脉冲传递函数的极点在在z平面上单位圆内平面上单位圆内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。设闭环脉冲传递函数设闭环脉冲传递函数 m个零点和个零点和n个极点可以是个极点可以是实数实数，也可以是，也可以是共轭复数共轭复数。若闭环极点都在若闭环极点都在z平面单位圆内，则平面单位圆内，则 此此时离散系统稳定。为便于讨论，假定时离散系统稳定。为便于讨论，假定 无重极点，这不无重极点，这不失一般性，失一般性，右端右端第第1项项z反变换为反变换为M(1)/D(1)，是是c*(t)的的稳态值稳态值，若值为，若值为1，则，则单位反馈离散系统在单位阶跃信号作用下稳态误差为单位反馈离散系统在单位阶跃信号作用下稳态误差为0。第第2项的项的z反变换反变换为为c*(t)的的瞬态值瞬态值。根据。根据pk在单位圆内在单位圆内的位置，可以确定的位置，可以确定c*(t)的动态响应形式。下面讨论：的动态响应形式。下面讨论：正实轴上的闭环单极点正实轴上的闭环单极点设设pk为正实数，为正实数，pk对应的瞬态分量为：对应的瞬态分量为：若若 ，闭环单极点位于，闭环单极点位于z平面上平面上单位圆外正实轴上单位圆外正实轴上，有有 ，故动态响应，故动态响应 按按指数规律发散指数规律发散的脉冲序列。的脉冲序列。若若 ，闭环单极点位于，闭环单极点位于右半右半 z 平面上平面上单位圆周上单位圆周上，有有 ，故动态响应，故动态响应 ，为，为等幅脉冲序列等幅脉冲序列。若若 ，闭环单极点位于，闭环单极点位于 z 平面上平面上单位圆内的正实单位圆内的正实轴上轴上，有，有 ，故动态响应，故动态响应 是按是按指数规律收敛指数规律收敛的的脉冲序列，且脉冲序列，且 越接近原点，越接近原点，越大，越大，衰减越快。衰减越快。负实轴上的闭环单极点负实轴上的闭环单极点 设设 为负实数，根据为负实数，根据 ，当，当n为奇数时，为奇数时，为为负；当负；当n为偶数时，为偶数时，为正。故负实数极点对应的动态响为正。故负实数极点对应的动态响应应 是是交替变号的双向脉冲交替变号的双向脉冲序列。序列。若若 ，闭环单极点位于，闭环单极点位于z平面上平面上单位圆外负实轴上单位圆外负实轴上，则则 为为交替变号交替变号的的发散发散脉冲序列。脉冲序列。若若 ，闭环单极点位于左半，闭环单极点位于左半z平面平面单位圆周上单位圆周上，则，则 为为交替变号交替变号的的等幅等幅脉冲序列。脉冲序列。若若 ，闭环单极点位于，闭环单极点位于z平面平面单位圆内的负实轴单位圆内的负实轴上，则上，则 为为交替变号交替变号的的衰减衰减脉冲序列，脉冲序列，且且 离原点越离原点越远近，远近，衰衰减越快。减越快。结论结论，由上图，由上图7-46可知：可知：若闭环实数极点位于若闭环实数极点位于右半右半z平面平面，则输出动态响应形，则输出动态响应形 式为式为单向正脉冲单向正脉冲序列。序列。实极点位于单位圆实极点位于单位圆内内，脉冲序列，脉冲序列收敛收敛，且实极点越接，且实极点越接近原点，收敛越快。近原点，收敛越快。实极点位于单位圆实极点位于单位圆上上，脉冲序列，脉冲序列等幅等幅变化。变化。实极点位于单位圆实极点位于单位圆外外，脉冲序列，脉冲序列发散发散。若闭环实数极点位于若闭环实数极点位于左半左半z平面平面，则输出动态响应形，则输出动态响应形 式为式为双向交替脉冲双向交替脉冲序列