电磁场数学方法数学物理方程3课件

电磁场数学方法任课教师：任课教师：陈其科陈其科联系方式：联系方式：E_mail： 电电 话：话：61830311总总 学学 时时:80课时课时教教 材：材：梁昆淼，梁昆淼，数学物理方程数学物理方程（第四版）（第四版）成绩构成：成绩构成：平时平时20%+半期考试半期考试20%+期末考试期末考试60%电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程课程内容课程内容三种方程三种方程四种求解方法四种求解方法二个特殊函数二个特殊函数行波法行波法分离变量法分离变量法积分变换法积分变换法格林函数法格林函数法波动方程波动方程热传导热传导拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数贝赛尔函数勒让德函数勒让德函数分离变量法流程图电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程分离变量流程图4.1 4.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第五章第五章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法本章内容：球坐标系、柱坐标系中的分离变量法本章内容：球坐标系、柱坐标系中的分离变量法电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）波动方程的分离变量（一）波动方程的分离变量常微分方程常微分方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程用分离变量法解高维波动方程，归结为解亥姆霍兹方程。用分离变量法解高维波动方程，归结为解亥姆霍兹方程。波动方程：波动方程：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程常微分方程常微分方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程用分离变量法解高维输运方程，归结为解亥姆霍兹方程。用分离变量法解高维输运方程，归结为解亥姆霍兹方程。5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（二）输运方程的分离变量（二）输运方程的分离变量输运方程：输运方程：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程 直角坐标系直角坐标系 柱面坐标系柱面坐标系 球面坐标系球面坐标系电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量1 1、直角坐标系下、直角坐标系下5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程令：令：常微分方程常微分方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量2 2、球坐标系下、球坐标系下令令 ，代入方程得，代入方程得仅与仅与r r有关有关仅与仅与,有关有关5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）欧拉型微分方程欧拉型微分方程分离常数分离常数球函数方程球函数方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程欧拉型常微分方程的解是已知的，欧拉型常微分方程的解是已知的，对球函数方程进一步分离变量对球函数方程进一步分离变量令令 ，代入上式得，代入上式得2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）先求解方程先求解方程。由于。由于舍去舍去(A(A0 0=0=0时满足时满足)再求解方程再求解方程。将。将 代入代入5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）再求解方程再求解方程。做代换做代换 ，即，即 5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）l阶连带勒阶连带勒让德方程让德方程若若l阶勒让德方程阶勒让德方程注：勒让德方程的解是已知和明确的。注：勒让德方程的解是已知和明确的。5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第五章第五章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）小结：球坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解小结：球坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解连带勒让德方程连带勒让德方程（待求解）（待求解）欧拉方程欧拉方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程3 3、柱坐标系下、柱坐标系下令令 ，代入方程得，代入方程得5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程3 3、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）求解方程求解方程。由于。由于此时方程此时方程为为5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）求解方程求解方程。其解与分离变量。其解与分离变量u有关。有关。情形情形1 1：方程方程欧拉型常系数方程欧拉型常系数方程方程方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）情形情形2 2：方程方程方程方程做代换做代换 ，则方程，则方程变为变为m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）情形情形3 3：方程方程方程方程做代换做代换 ，则方程，则方程变为变为m阶虚宗量贝阶虚宗量贝塞尔方程塞尔方程若贝塞尔方程的解为若贝塞尔方程的解为x，则对应的虚宗量贝塞尔方程，则对应的虚宗量贝塞尔方程解为解为ix。5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程 小结：柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解小结：柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程情形情形1 1：（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程 小结：拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量法求解小结：拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量法求解2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程情形情形2 2：m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程情形情形3 3：m阶虚宗量阶虚宗量贝塞尔方程贝塞尔方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程1 1、球坐标系下、球坐标系下令令 ，代入方程得，代入方程得电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程1 1、球坐标系下、球坐标系下方程方程：（与拉普拉斯方程的分离变量一致）（与拉普拉斯方程的分离变量一致）球函数方程球函数方程 将球函数方程进一步分离变量后可得：将球函数方程进一步分离变量后可得：(参看拉普拉斯方参看拉普拉斯方程内容程内容)l阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程阶球贝塞尔方程阶球贝塞尔方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程1 1、球坐标系下、球坐标系下方程方程：如本项为如本项为0 0，方程为欧拉方程，方程为欧拉方程做代换做代换 ,方程整理得方程整理得阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程1 1、球坐标系下、球坐标系下 小结：亥姆霍兹方程在球坐标系下分离变量法求解小结：亥姆霍兹方程在球坐标系下分离变量法求解阶球贝塞尔方程阶球贝塞尔方程l阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程2 2、柱坐标系下、柱坐标系下m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程做代换做代换电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）亥姆霍兹方程的分离变量法（四）亥姆霍兹方程的分离变量法5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程2 2、柱坐标系下、柱坐标系下 小结：亥姆霍兹方程在柱坐标系下分离变量法求解小结：亥姆霍兹方程在柱坐标系下分离变量法求解m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第五章第五章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 1 1、球坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解、球坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解连带勒让德方程连带勒让德方程（待求解）（待求解）欧拉方程欧拉方程小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解特征值：特征值：,l电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程情形情形1 1：2 2、柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解、柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解特征值：特征值：,u电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程情形情形2 2：m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程情形情形3 3：m阶虚宗量阶虚宗量贝塞尔方程贝塞尔方程2 2、柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解、柱坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解特征值：特征值：,u电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程阶球贝塞尔方程阶球贝塞尔方程l阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程3 3、球坐标系下亥姆霍兹方程分离变量法求解、球坐标系下亥姆霍兹方程分离变量法求解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解特征值：特征值：,l电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程4 4、柱坐标系下亥姆霍兹方程分离变量法求解、柱坐标系下亥姆霍兹方程分离变量法求解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解小结：拉普拉斯方程及亥姆霍兹方程通解特征值：特征值：,v(u)电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程小结小结球函数方程：球函数方程：l阶阶(连带连带)勒勒让德方程：让德方程：球坐标系下的方程：球坐标系下的方程：l阶球贝塞尔方程：阶球贝塞尔方程：柱坐标系下的方程：柱坐标系下的方程：m阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：m阶虚宗量贝塞阶虚宗量贝塞尔方程：尔方程：l+1/2阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.2 5.2 二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的标准形式：二阶常微分方程的标准形式：1 1、方程的常点和奇点、方程的常点和奇点常点常点：若在若在z0点点解析解析，称，称z0为方程常点为方程常点。奇点奇点：之一（或全部）若在之一（或全部）若在z0不解析不解析，称，称z0为方程奇点为方程奇点。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.2 5.2 二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的级数解2 2、常点邻域上的级数解、常点邻域上的级数解为待定常数。为待定常数。若在若在z0为方程常点，则在其邻域为方程常点，则在其邻域 中，方中，方程存在程存在唯一唯一解析解：解析解：泰勒级数泰勒级数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.2 5.2 二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的级数解3 3、奇点邻域上的级数解、奇点邻域上的级数解为常数。为常数。若在若在z0为方程奇点，则在其邻域为方程奇点，则在其邻域 中，中，方程存在两个线性无关的解：方程存在两个线性无关的解：洛朗级数洛朗级数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程5.2 5.2 二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的级数解4 4、正则奇点邻域上的级数解、正则奇点邻域上的级数解为常数。为常数。若若方程的两个线性无关的解方程的两个线性无关的解 均只具有均只具有有有限个负幂项限个负幂项，则称，则称 为方程的为方程的正则奇点正则奇点。洛朗级数洛朗级数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第六章第六章 球函数球函数 第二篇 数学物理方程6.1 勒让德函数勒让德函数6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数6.3 一般球函数一般球函数 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）定解问题举例（一）定解问题举例6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数求定解问题：求定解问题：求解区域为球内空间求解区域为球内空间隐含条件：隐含条件：由由5.15.1节内容，设节内容，设？与与无关，轴对称无关，轴对称电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数l阶勒让德方程阶勒让德方程接下来的工作：接下来的工作：为习惯起见，将为习惯起见，将 记做记做 。即方程为：。即方程为：在球坐标系下，在球坐标系下，求解求解l阶勒让德方程在区间阶勒让德方程在区间-1,1上的上的有界非有界非0 0解解。求解方法：级数解法（见求解方法：级数解法（见ppt 5.2节）。节）。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数 区间区间-1,1可视作中心可视作中心x0=0的邻域。很明显，的邻域。很明显，x=0点点为方程的常点，因此在为方程的常点，因此在-1,1的邻域内，方程解为的邻域内，方程解为代入方程：代入方程：=?=?电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数代入方程得代入方程得整理系数得：整理系数得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数该一般解是否满足原问题要求？该一般解是否满足原问题要求？电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数从收敛性考虑：从收敛性考虑：利用比值判定法，可求得利用比值判定法，可求得 和和 的收敛半径的收敛半径 ,也就是说在也就是说在x=x=1 1处不收敛。处不收敛。一般情况下，要求勒让德方程解在一般情况下，要求勒让德方程解在x=x=1(1(=)处处有限，该条件称为勒让德方程的有限，该条件称为勒让德方程的自然边界条件自然边界条件。上述解仍需修正！上述解仍需修正！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数要满足勒让德方程自然边界条件，要满足勒让德方程自然边界条件，l必须为正整数或必须为正整数或0 0。情况情况1 1：当：当 l 为偶数时（为偶数时（l=2k）2k+22k+2项及更高次项系数均包含项及更高次项系数均包含(2k-l)项，因而必然等于项，因而必然等于0。而而 始终发散，要满足自然边界条件，则要求始终发散，要满足自然边界条件，则要求a1=0。即：即：当当l为偶数时为偶数时，勒让德方程特解勒让德方程特解为：为：偶函数偶函数有限项多项式，收敛有限项多项式，收敛特征值特征值电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数2k+3项及更高次项系数均包含项及更高次项系数均包含(2k+1-l)项，因而必然等于项，因而必然等于0。情况情况2 2：当当 l 为奇数时（为奇数时（l=2k+1）而而 始终发散，要满足自然边界条件，则要求始终发散，要满足自然边界条件，则要求a0=0。即：即：当当l为奇数时，特解为奇数时，特解奇函数奇函数要满足勒让德方程自然边界条件，要满足勒让德方程自然边界条件，l 必须为正整数或必须为正整数或0 0。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数构造构造勒让德多项式勒让德多项式：可以证明：可以证明：当当 l 为偶数时：为偶数时：当当 l 为奇数时：为奇数时：结论：结论：l 阶勒让德方程的解为：阶勒让德方程的解为：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程定解问题：定解问题：（二）勒让德方程的解（二）勒让德方程的解6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数隐含条件：隐含条件：要从上式求得系数要从上式求得系数 ，则必须要了解，则必须要了解 的的性质性质？0 0通解：通解：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数l 阶勒让德函数：阶勒让德函数：1 1、常见的低阶、常见的低阶重要！重要！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数1 1、常见的低阶、常见的低阶电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数1 1、常见的低阶、常见的低阶例例:证明证明证：证：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数2 2、的值的值重要！重要！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数2 2、的值的值电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数3 3、的微分表达式的微分表达式罗德里格斯公式罗德里格斯公式证明：二项式定理：证明：二项式定理：证毕！证毕！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数4 4、的积分表达式的积分表达式施列夫利积分施列夫利积分证明证明:设设 ，则由柯西积分公式：，则由柯西积分公式：得证！得证！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数4 4、的积分表达式的积分表达式施列夫利积分施列夫利积分在在施列夫利积分施列夫利积分中，若取积分路径中，若取积分路径c c为：为：圆心：圆心：z=x半径：半径：拉普拉斯积分拉普拉斯积分电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数4 4、的积分表达式的积分表达式例例 求证：求证：证明证明:由拉普拉斯积分公式由拉普拉斯积分公式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数5 5、母函数（生成函数）、母函数（生成函数）将将 展开为展开为 的幂级数，其对应项系的幂级数，其对应项系数为数为 ，则称，则称 为为 的母函数。即：的母函数。即：或或重要！重要！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数6 6、勒让德函数的递推公式（、勒让德函数的递推公式（重要重要）从勒让德方程的母函数出发，可以推得其递推公式：从勒让德方程的母函数出发，可以推得其递推公式：重要！重要！电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数6 6、勒让德函数的递推公式、勒让德函数的递推公式（重要）（重要）证明：由母函数证明：由母函数两端对两端对z z求导数得：求导数得：两端比较两端比较zl的系数，得的系数，得电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数6 6、勒让德函数的递推公式、勒让德函数的递推公式（重要）（重要）例：证明：例：证明：证明：由递推公式，有证明：由递推公式，有由由(1)+(2)(1)+(2)得：得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数7 7、勒让德函数的正交性、勒让德函数的正交性（重要）（重要）勒让德函数系勒让德函数系 在区间在区间-1,1-1,1上正交，即：上正交，即：对比三角函数的正交性：对比三角函数的正交性：勒让德多项式正交性定理：勒让德多项式正交性定理：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数7 7、勒让德函数的正交性、勒让德函数的正交性（重要）（重要）证明：证明：勒让德函数是勒让德方程的解，即有勒让德函数是勒让德方程的解，即有同理：同理：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数7 7、勒让德函数的正交性、勒让德函数的正交性（重要）（重要）（证明：续）（证明：续）两式相减得：两式相减得：两边积分得：两边积分得：(分步积分法）分步积分法）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数8 8、勒让德函数的模（重要）、勒让德函数的模（重要）勒让德函数归一性定理勒让德函数归一性定理：勒让德多项式满足：勒让德多项式满足定义：定义：勒让德多项式的模勒让德多项式的模电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）勒让德函数（三）勒让德函数 的性质的性质6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数9 9、以勒让德函数为基的广义傅里叶级数展开、以勒让德函数为基的广义傅里叶级数展开 勒让德函数系满足勒让德函数系满足正交性正交性和和归一性归一性，是，是完备的完备的。因。因此可将其作为广义傅里叶级数展开基函数。此可将其作为广义傅里叶级数展开基函数。将定义在区间将定义在区间-1,1的函数的函数f(x)展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数得：得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程定解问题：定解问题：隐含条件：隐含条件：？0 0遗留问题遗留问题电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例例 在球在球 的内部求解的内部求解 ，使其满足边界条件，使其满足边界条件隐含条件：隐含条件：球内解有意义，则要求球内解有意义，则要求由边界条件可知：由边界条件可知：u与与 无关，即为无关，即为轴对称轴对称问题。问题。解：定解问题：解：定解问题：则通解为：则通解为：由边界条件：由边界条件：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数(续上例续上例)由广义傅里叶级数展开公式由广义傅里叶级数展开公式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程解：解：，可得问题通解为，可得问题通解为（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例：求定解问题：例：求定解问题：由边界条件：由边界条件：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）即：即：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例例 在原本是均匀的静电场在原本是均匀的静电场 中放置半径中放置半径r=a的的均匀介均匀介质球质球(介电常数介电常数)，求空间中的电位分布。，求空间中的电位分布。解：写出定解问题。解：写出定解问题。令球外电位为令球外电位为u1,球内为球内为u2。衔接条件衔接条件(边界条件边界条件)衔接条件衔接条件(边界条件边界条件)无穷远条件无穷远条件零点条件零点条件电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数(续上例）续上例）写出写出u1,u2通解为：通解为：确定系数：确定系数：由于边界条件与由于边界条件与 无关，故问题为轴对称。无关，故问题为轴对称。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数(续上例）续上例）由衔接条件（边界条件）由衔接条件（边界条件）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数(续上例）续上例）比较同阶勒让德函数的系数比较同阶勒让德函数的系数l=0：l=1：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数(续上例）续上例）比较同阶勒让德函数的系数比较同阶勒让德函数的系数l0,1：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例例 将半径为将半径为a a的接地导体球放在点电荷的接地导体球放在点电荷 产生的电场中，产生的电场中，球心与点电荷相距球心与点电荷相距d(dd(da),a),求空间中电位分布。求空间中电位分布。分析：球内区域电位为分析：球内区域电位为0；球外区域有点电荷，不满足拉普拉斯方程。球外区球外区域有点电荷，不满足拉普拉斯方程。球外区域电位由点电荷及导体球感应电荷共同产生。球外区域不域电位由点电荷及导体球感应电荷共同产生。球外区域不存在感应电荷，故存在感应电荷，故感应电荷产生电位满足拉氏方程感应电荷产生电位满足拉氏方程。解：令球外电位为解：令球外电位为u，考虑到球外电位由两部分电荷产生，故设考虑到球外电位由两部分电荷产生，故设其中其中 为点电荷产生，为点电荷产生，。为感应电荷产生电为感应电荷产生电位（位（待求待求），满足拉普拉斯方程），满足拉普拉斯方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）写出（续上例）写出 的通解，得的通解，得由定解问题及相关物理意义，有如下边界条件由定解问题及相关物理意义，有如下边界条件自然边界条件自然边界条件衔接条件衔接条件由由电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）由由(母函数母函数)电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例：求定解问题：例：求定解问题：(重要重要)解：将定解问题延拓到整个球形区域。为满足半球底面边解：将定解问题延拓到整个球形区域。为满足半球底面边界条件（第二类），需做偶延拓，即界条件（第二类），需做偶延拓，即上半球上半球电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）球域内，通解为球域内，通解为电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例例 计算以下积分：计算以下积分：解：由递推公式解：由递推公式代入积分式得：代入积分式得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）当当l为奇数时：为奇数时：当当l为偶数时为偶数时(l=2n)：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解6.16.1节解决的求定解问题：节解决的求定解问题：隐含条件：隐含条件：由由5.15.1节内容，设节内容，设勒让德方程勒让德方程与与无关，轴对称无关，轴对称6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解接下来要解决的定解问题：接下来要解决的定解问题：隐含条件：隐含条件：由由5.15.1节内容，设节内容，设连带勒让德方程连带勒让德方程非轴对称非轴对称6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数连带勒让德方程为：连带勒让德方程为：做代换做代换 ，则方程变为，则方程变为 可以证明，将可以证明，将勒让德方程求勒让德方程求m次导数次导数后，有：后，有：即方程即方程的解为：的解为：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数因此，连带勒让德方程的解为：因此，连带勒让德方程的解为：定义：定义：l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数或或连带勒让德方程及自然边界条件构成本征值问题：连带勒让德方程及自然边界条件构成本征值问题：本征值：本征值：本征函数：本征函数：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数1 1、m m的取值范围的取值范围 为为l 阶多项式，故当阶多项式，故当ml+1时，有时，有故故m的取值范围应为：的取值范围应为：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数2 2、连带勒让德函数的微分表示表示、连带勒让德函数的微分表示表示勒让德函数微分表示：勒让德函数微分表示：可以推得：可以推得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数3 3、连带勒让德函数的正交性（重要）、连带勒让德函数的正交性（重要）连带勒让德函数系连带勒让德函数系 在区间在区间-1,1-1,1内正交，即内正交，即或或电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数4 4、连带勒让德函数的模、连带勒让德函数的模归一性（重要）归一性（重要）连带勒让德函数的模连带勒让德函数的模为：为：或或电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数5 5、连带勒让德函数的傅里叶级数展开定理、连带勒让德函数的傅里叶级数展开定理（重要）（重要）若若 ，且满足一定连续性原理，则，且满足一定连续性原理，则其中其中电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数6 6、连带勒让德函数的积分表示、连带勒让德函数的积分表示 根据连带勒让德函数的微分表示并结合柯西公式，得根据连带勒让德函数的微分表示并结合柯西公式，得施列夫利积分施列夫利积分拉普拉斯积分拉普拉斯积分取取c为圆周：圆心为圆周：圆心z=x,半径为半径为电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数7 7、连带勒让德函数的递推公式、连带勒让德函数的递推公式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数8 8、常见的低阶连带勒让德函数、常见的低阶连带勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数在球坐标系下，拉普拉斯方程分离变量后，得在球坐标系下，拉普拉斯方程分离变量后，得欧拉方程欧拉方程球函数方程球函数方程球函数方程的解即为球函数方程的解即为球函数球函数，即，即其中其中 为连带勒让德方程的解，即为连带勒让德方程的解，即电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数1 1、球函数的表达式、球函数的表达式表示其中列举函数线性独立表示其中列举函数线性独立球函数表达式有三种情况：球函数表达式有三种情况：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数1 1、球函数的表达式、球函数的表达式线性独立的线性独立的l阶阶球函数共有球函数共有2l+1个：个：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的复数形式、球函数的复数形式由欧拉公式：由欧拉公式：球函数可表示成复数形式球函数可表示成复数形式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数1 1、球函数的正交性、球函数的正交性球函数在区间球函数在区间 内正交，即：内正交，即：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的模、球函数的模电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的模、球函数的模复数形式的球函数的模：复数形式的球函数的模：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数3 3、以球函数为基的广义傅里叶级数展开、以球函数为基的广义傅里叶级数展开电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数4 4、正交归一化球函数（复数形式）、正交归一化球函数（复数形式）正交正交归一化球函数归一化球函数定义：定义：则可推得：则可推得：正交归一正交归一电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数例：将例：将展为球函数。展为球函数。解：（解：（1 1）（2 2）（3 3）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数(续上例续上例)电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数例：求解定解问题例：求解定解问题解：令解：令 ，其通解为，其通解为由：由：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数（续上例）（续上例）即：即：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数例：求解定解问题例：求解定解问题解：令解：令 ，由分离变量法得，由分离变量法得由：由：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3