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提公因式法闫泽清襄阳市第二十三中学（1 1）已知：）已知：x=5x=5，a+b=3a+b=3，求，求axax2 2+bx+bx2 2的值。的值。（2 2）已知：）已知：a=101,b=99,a=101,b=99,求求a a2 2-b-b2 2的值的值.你能说说算得快的原因吗？你能说说算得快的原因吗？请把下列多项式写成整式乘积的形式：请把下列多项式写成整式乘积的形式：(3)ma+mb+mc=(3)ma+mb+mc=m(a+b+c)m(a+b+c)(4)x(4)x2 2-6x+9=-6x+9=(x-3)(x-3)2 2因式分解定义因式分解定义 把一个多项式化成几个把一个多项式化成几个整式整式的积的形式的积的形式,这种变这种变形叫做把这个多项式形叫做把这个多项式。想一想想一想:分解因式与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程练一练练一练 “理解概念理解概念”判断下列各式哪些是因式分解判断下列各式哪些是因式分解?为什么？为什么？(1)x(1)x2 2-4y-4y2 2=(x+2y)(x-2y)=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x (2)2x(x-3y)=2x2 2-6xy-6xy (3)x (3)x2 2+4x+4=(x+2)+4x+4=(x+2)2 2 (4)(a-3)(a+3)=a (4)(a-3)(a+3)=a2 2-9-9 (5)2R+2r=2(R+r)(5)2R+2r=2(R+r)因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 因式分解因式分解(6)(5a-1)(6)(5a-1)2 2=25a=25a2 2-10a+1-10a+1 整式乘法整式乘法 观察下列多项式有何共同特点？观察下列多项式有何共同特点？ab+ac;3xab+ac;3x2 2+x;mb+x;mb2 2+nb+b.+nb+b.多项式各项都含有多项式各项都含有相同的因式相同的因式，这个这个因式因式叫做这个多项式叫做这个多项式各项各项的的公因式公因式。如：如：a ab+bcb+bc的公因式是的公因式是b b说出下列各多项式的公因式：说出下列各多项式的公因式：(1)ma+mb(1)ma+mb；(2)4kx-8ky(2)4kx-8ky；(3)5y(3)5y3 3+20y+20y2 2；(4)a(4)a2 2b-2abb-2ab2 2+ab.+ab.m4k5y2abHOW?HOW?找公因式有找公因式有什么方法呢什么方法呢?最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数8a8a3 3b b2 212ab12ab3 3c c 的的公因式公因式是什么？是什么？说一说说一说（1 1）8 8与与1212的最大公约数是的最大公约数是 4 4（2 2）相同字母有相同字母有 和和 .a ab b（3 3）a a的最低指数的最低指数 b b的最低指数的最低指数 .1 12 2公因式公因式是是4ab4ab2 2(1)ax+xy=()()(1)ax+xy=()()(2)3mx-6my=()()(2)3mx-6my=()()(3)x(3)x2 2y+xyy+xy2 2=()()=()()(4)15a(4)15a2 2+10a=()()+10a=()()(5)12xyz(5)12xyz9x9x2 2y y2 2=()()=()()x x 3m3mxyxy5a5a3a+23a+23xy3xy4z4z3xy3xy将下列多项式因式分解将下列多项式因式分解:a+ya+yx-2yx-2yx+yx+y(6)2a(b+c)-3(b+c)=()()(6)2a(b+c)-3(b+c)=()()b+c 2a-3b+c 2a-3因式分解因式分解：把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc ma+mb+mc 就可以分解成就可以分解成两个因式两个因式m m和和(a+b+c)a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方的乘积。像这种因式分解的方法，叫做法，叫做提取公因式法提取公因式法。探索发现探索发现解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法找出公因式找出公因式提取公因式得到另提取公因式得到另一个因式一个因式写成积的形式写成积的形式=4ab=4ab2 2(2a(2a2 2-3bc)-3bc)解解:原式原式=4ab=4ab2 2 2a2a2 2-4ab-4ab2 2 3bc3bc如何检验如何检验例例1 1 把把8a8a3 3b b2 2-12ab-12ab3 3c c分解因式分解因式找出公因式找出公因式提取公因式得到提取公因式得到 另一个因式另一个因式写成积的形式写成积的形式不能漏掉不能漏掉=x(3x-6y+1)=x(3x-6y+1)解解:原式原式=x=x 3x3x -x x 6y6y +x x 1 1例例2 2 把把3x3x2 2-6xy+x-6xy+x分解因式分解因式利用提取公因式法分解因式利用提取公因式法分解因式:(1)2x(1)2x3 3-6x-6x2 2 (2)3ab(2)3ab3 3+15a+15a3 3b b(3)12a(3)12a2 2b b3 38a8a3 3b b2 216ab16ab4 4试一试试一试例例3 3 把把 -24-24x3 1212x2+28x +28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系数是当多项式第一项系数是负数，通常先提出负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号数变为正数，注意括号内各项都要变号。内各项都要变号。解：原式解：原式=-(24x=-(24x3 3+12x+12x2 2-28x)-28x)=-4x(6x =-4x(6x2 2+3x-7)+3x-7)方法一方法一把把 -24x-24x3 3 12x12x2 2+28x +28x 分解因式分解因式.原式原式=28x-12x=28x-12x2 2-24x-24x3 3=4x=4x(7(7-6x-6x2 2)-3x-3x方法二方法二例例4 4 分解因式分解因式 2a(b+c)-3(b+c)2a(b+c)-3(b+c)公因式可以是数公因式可以是数,单独一个字母单独一个字母,多项式多项式练习练习:2a(y-z)-3b(z-y)2a(y-z)-3b(z-y)(b+c)(2a-3)(b+c)(2a-3)解解:原式原式=把下列各式分解因式把下列各式分解因式:(1)(1)24x24x3 3y-18xy-18x2 2y y (2)(2)7ma+14ma7ma+14ma2 2(3)(3)-16x-16x4 4+32x+32x3 3-56x-56x2 2(4)(4)-7ab-14abx+49aby-7ab-14abx+49aby 2 2、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指一看系数二看字母三看指数数小结小结3 3、提公因式法分解因式步骤、提公因式法分解因式步骤(分三步分三步)：第一步，确定公因式；第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式；第二步，求出另一个因式；第三步第三步,写成积的形式。写成积的形式。1 1、什么叫因式分解？、什么叫因式分解？4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽）公因式要提尽（2 2）小心漏掉）小心漏掉（3 3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号（2 2）分解分解-4-4x x3 3+8x+8x2 2+16x+16x的结果是（的结果是（）（A A）-x(4x-x(4x2 2-8x+16)-8x+16)（B B）x(-4xx(-4x2 2+8x-16)+8x-16)（C C）4(-x4(-x3 3+2x+2x2 2-4x)-4x)（D D）-4x(x-4x(x2 2-2x-4)-2x-4)D（1 1）多项式多项式6 6abab2 2+18a+18a2 2b b2 2-12a-12a3 3b b2 2c c的公因式（的公因式（）（A A）6ab6ab2 2c c（B B）abab2 2 （C C）6ab6ab2 2 （D D）6a6a3 3b b2 2C CC1.1.选择选择课后练习课后练习(3)(3)若多项式若多项式-6-6ab+18abx+24abyab+18abx+24aby的一个因式是的一个因式是-6-6abab，那么另一个因式是（那么另一个因式是（）（A A）-1-3x+4y -1-3x+4y （B B）1+3x-4y1+3x-4y （C C）-1-3x-4y -1-3x-4y （D D）1-3x-4y1-3x-4yD D2.2.若多项式若多项式(a+b)x2+(a+b)x(a+b)x2+(a+b)x要分解因式要分解因式,则要提的公则要提的公因式是因式是 .(a+b)x(a+b)xn分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程.n分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点:1.1.分解的对象必须是多项式分解的对象必须是多项式.2.2.分解的结果一定是几个分解的结果一定是几个整式整式的乘积的形式的乘积的形式.3.3.要分解到不能分解为止要分解到不能分解为止.规律总结规律总结谢谢！谢谢！
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