物理课件第八章振动和波

第八章 机械振动与机械波18-1 8-1 简谐振动简谐振动8-2 8-2 波动学基础波动学基础2 1、什么是振动：、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为称为机械振动机械振动。广广义义地地，凡凡是是描描述述物物质质运运动动状状态态的的物物理理量量，在在某某一一固固定定值值附附近近作作周周期期性性变变化化，都都可可称称该该物物理理量量作作振振动。如：交变电流、交变电磁场等动。如：交变电流、交变电磁场等 如：气缸中活塞的往复运动、心脏的跳动、声带如：气缸中活塞的往复运动、心脏的跳动、声带的振动、乐器上的弦的振动、机器开动时各部分的微的振动、乐器上的弦的振动、机器开动时各部分的微小颤动等都是机械振动小颤动等都是机械振动物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。32、振动的特征、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动。、振动中最简单最基本的是简谐振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成的合成(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。8-1 简谐振动4一、简谐振动一、简谐振动 谐振方程谐振方程例：例：弹簧振子弹簧振子平衡位置平衡位置56令令简谐振动的判据简谐振动的判据弹簧振子的加速度与位移成正比，方向与位移相反。弹簧振子的加速度与位移成正比，方向与位移相反。具有此特征的振动称为简谐振动，又称谐振动具有此特征的振动称为简谐振动，又称谐振动7积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定8二、谐振动二、谐振动 的三要素的三要素1.1.振幅振幅 A A 简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移（或角位移）的绝对值。（或角位移）的绝对值。若已知初始条件若已知初始条件 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定9频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2.2.周期周期 、频率、角频率（圆频率）频率、角频率（圆频率）对弹簧振子对弹簧振子角频率角频率 固有角频率固有角频率 固有周期固有周期 固有频率固有频率周期周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。10 3、相位：、相位：相位是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指相位是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相月相之相取其具有周期性。）取其具有周期性。）(位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）月相月相:新月新月,娥眉月娥眉月,上弦月上弦月,满月满月,下弦月下弦月,残月等残月等娥眉月娥眉月上弦月上弦月下弦月下弦月满月满月11 存在一一对应的关系存在一一对应的关系;物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态(i)用分析法确定特殊用分析法确定特殊 情况下的相位情况下的相位v t=0 时，时，x0=A,v0=0.X0X0=+A12X0v t=0时,x0=0,v0013AXoXotXo-AXoAXotttt14例例8-1 8-1 某一弹簧振子的位移与时间的关系为某一弹簧振子的位移与时间的关系为 ，试求振动的振幅、频，试求振动的振幅、频率、周期和初相位，并求率、周期和初相位，并求t=1st=1s时的位移、速度与加时的位移、速度与加速度速度15三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使它使它的模等于振动的振的模等于振动的振幅幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的匀方向的匀角速转动角速转动，其角速其角速度度 与振动频率相与振动频率相等等，这个矢量就叫这个矢量就叫做做旋转矢量旋转矢量.16 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的的端点在端点在 轴上轴上的投影点的运的投影点的运动为简谐运动动为简谐运动.17 以以 为原点为原点旋转矢量旋转矢量 的端的端点在点在 轴上的轴上的投影点的运动投影点的运动为简谐运动为简谐运动.18 以以 为原点为原点旋转矢量旋转矢量 的端的端点在点在 轴上的轴上的投影点的运动投影点的运动为简谐运动为简谐运动.1920用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图21相位相位相位相位(位相位相)初相位初相位 相位的意义相位的意义:表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振动状物体振动状态（相貌）态（相貌）.物体经一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 .22讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间2324 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题）.25同步同步为其它为其它超前超前落后落后反相反相26作作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例四、简谐振动的能量例题27 质质量量为为0.10.1kg的的质质点点作作简简谐谐振振动动，频频率率为为1010Hz,在在 时时，位位移移 ，速速度度 。求求：位位移移表表达达式式；加加速速度度表表达达式式；振振动动的的总总能量。能量。28解解:由由简谐振动方程简谐振动方程代入初始条件数据：代入初始条件数据：联立可得联立可得:例题29一简谐振动曲线如图所示，求振动方程。一简谐振动曲线如图所示，求振动方程。0-51030解：由曲线知解：由曲线知A=10=10cm利用旋转矢量图，由三角关利用旋转矢量图，由三角关系可知：系可知：初始状态初始状态x0 0=-5=-5cm，v0 00 0当当t=2s=2s时时x=0=0，v0,0,有：有：可得：可得：0-510PAP0 x31五、两个同方向、同频率谐振动的合成五、两个同方向、同频率谐振动的合成X1=A1cos(t+1)X2=A2 cos(t+2)求求：X X1 X2 32可以看出：同方向、同频率的两简谐振动的合成可以看出：同方向、同频率的两简谐振动的合成仍是简谐振动，且频率不变。仍是简谐振动，且频率不变。其中：其中：33分振动分振动同相同相，即，即分振动分振动反相反相，即，即txOA1A2AA2A1AOxt34质点合振动的轨迹方程：质点合振动的轨迹方程：分振动分振动六、两个方向相互垂直、同频率简谐振动的合成六、两个方向相互垂直、同频率简谐振动的合成35合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论36合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移37合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴为轴线的椭圆轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。38合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴为轴线的椭圆轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。39 =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。40*2、垂直方向不同频率垂直方向不同频率 可可看看作作两两频频率率相相等等而而 随随t 缓缓慢慢变变化化，合合运运动动轨轨迹将按上页图依次缓慢变化。迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o o-A2-A1两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小为整数比为整数比合成轨迹为稳定的闭合曲线合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图李萨如图例如右图：例如右图：41 x y2 13 13 2 x=0：y=0 y x08-3 简谐波振动振动:于平衡位置，无随波逐流于平衡位置，无随波逐流.波动波动:机械波机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程：机械振动在弹性介质中的传播过程.电磁波电磁波：交变电磁场在空间的传播过程交变电磁场在空间的传播过程.物质波物质波：微观粒子的运动微观粒子的运动,其本身具有的波粒二象性其本身具有的波粒二象性.波动的种类波动的种类:振动的传播过程振动的传播过程.43波动的共同特征：波动的共同特征：具有一定的传播速度，具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能产且都伴有能量的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射生反射、折射、干涉和衍射等现象等现象.水波水波水波水波声波声波声波声波天天天天线线线线发发发发射射射射出出出出电电电电磁磁磁磁波波波波441.机械波产生的形成机械波产生的形成 条件条件波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体.机械波机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波地传播出去，就形成机械波.弹性介质：弹性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质.机械振动只能在弹性介质中传播机械振动只能在弹性介质中传播.说明说明2.2.横波与纵波横波与纵波横波与纵波横波与纵波横波：横波：纵波：纵波：质元的振动方向与波的传播方向垂直质元的振动方向与波的传播方向垂直.质元的振动方向与波的传播方向平行质元的振动方向与波的传播方向平行.一、概述一、概述45振动曲线振动曲线ty结论结论(1)波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；yx波动曲线波动曲线(2)各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后,波波 动是相位的传播；动是相位的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同波动曲线与振动曲线不同.463.波速波速 波长波长 周期（频率）周期（频率）同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质点的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离前进的距离.波前进一个波长距离所需的时间波前进一个波长距离所需的时间.周期表征了波的周期表征了波的时间周期性时间周期性.单位时间内，波前进距离中完整波的数目单位时间内，波前进距离中完整波的数目.频率与周期的关系为频率与周期的关系为:振动状态在媒质中的传播速度振动状态在媒质中的传播速度.波速与波长、周期和频率的关系为波速与波长、周期和频率的关系为:波长反映了波的波长反映了波的空间周期性空间周期性.47(1)波的周期和频率与媒质的性质无关波的周期和频率与媒质的性质无关;一般情况下一般情况下,与波源振动的周期和频率相同与波源振动的周期和频率相同.a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：b.均匀细棒中，纵波的波速为：均匀细棒中，纵波的波速为：(2)波速实质上是相位传播的速度波速实质上是相位传播的速度,故称为相速度故称为相速度;其其 大小主要决定于媒质的性质大小主要决定于媒质的性质,与波的频率无关与波的频率无关.说明说明 张力张力 线密度线密度 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度例如：例如：48d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出:c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量 固体密度固体密度 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量 流体的密度流体的密度 e.稀薄大气中的纵波波速为稀薄大气中的纵波波速为:气体摩尔热容比气体摩尔热容比 气体摩尔质量气体摩尔质量 气体摩尔常数气体摩尔常数49波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波.平面简谐波平面简谐波:简谐波简谐波:介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动中各质点作同频率的谐振动.1 平面简谐波波函数的建立平面简谐波波函数的建立一、波函数一、波函数:设波源的振动表达式为设波源的振动表达式为(x0)：简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数二、简谐波二、简谐波50从时间看从时间看,P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O点点时刻的位移时刻的位移.P点的振动表达式：点的振动表达式：即即 t=x/u时时,P点的振动状态与点的振动状态与O点点t=0时的状态相同时的状态相同.平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数51将将代入上式代入上式波函数的波函数的其它形式其它形式 如果波沿如果波沿x 轴的负方向传播，则轴的负方向传播，则P点的相位要比点的相位要比O点的相位点的相位超前超前.则波函数为则波函数为:52讨论波函数的物理意义讨论波函数的物理意义(1)当当 x=x 0(常数常数)时，时，表示表示x0处质元的振动表达式处质元的振动表达式.(2)当当 t=t 0(常数常数)时，时，表示各质元的位移分布函数表示各质元的位移分布函数.对应函数曲线对应函数曲线波形图波形图.53yxOx1x2u(3)波形图的分析：波形图的分析：a.可表示振幅可表示振幅A，A波长波长；b.波形图中波形图中 x1 和和 x2 两质点的相位差两质点的相位差:相位差：相位差：波程差波程差:x2x1,1s，试试根根据据图图中中绘绘出出的的条条件件求求出出波波动动表表达达式式，并并求求A点点的的振振动动表达式。表达式。(已知已知A=0.01m)解：解：由图可知由图可知:波速：波速：y(cm)x(cm)123456A原点振动表达式：原点振动表达式：61波动表达式：波动表达式：A点振动表达式：点振动表达式：62例例:一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度u=20 m/s,沿沿x轴轴的负向传播。已知的负向传播。已知A点的振动方程为点的振动方程为y=3cos 4 t.y 解：解：A点为坐标原点点为坐标原点B点为原点点为原点,波源坐标为波源坐标为:AxyBu求求:(1)以以A点为坐标原点求波函数；点为坐标原点求波函数；(2)以距以距A点点5m处的处的B为坐标原点求波函数。为坐标原点求波函数。63三、波的能量三、波的能量1.波动能量的传播波动能量的传播质元由静止开始振动质元由静止开始振动质元也发生形变质元也发生形变以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：设波沿设波沿x 方向传播方向传播波动表达式：波动表达式：1.介质元的能量介质元的能量1)介质元的振动动能：介质元的振动动能：波动波动过程过程波动过程是能波动过程是能量的传播过程量的传播过程642)介质元的弹性势能介质元的弹性势能(证明略证明略)：3)介质元的总能量：介质元的总能量：65结论结论(1)介质元介质元dV 的总能量：的总能量：周期性变化周期性变化(2)介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等.(3)机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传播机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传播.(4)最大位移处最大位移处:平衡位置处平衡位置处:662.波的能量密度波的能量密度单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量.1)能量密度：能量密度：2)平均能量密度：平均能量密度：单位单位:Jm-3结论结论 机械波的能量与机械波的能量与振幅的平方振幅的平方、频率的平方频率的平方以及以及介质的密度介质的密度成正比成正比.一个周期内的平均值一个周期内的平均值.672.能流和能流密度能流和能流密度单位时间内垂直通过介质单位时间内垂直通过介质中某一面积的波的能量中某一面积的波的能量Suu能流能流(P)：平均能流：平均能流：能流密度能流密度(波的强度波的强度)：单位时间内流过垂直于波传播方向的单位面积单位时间内流过垂直于波传播方向的单位面积的波的平均能量的波的平均能量一个周期内的平均值一个周期内的平均值.单位单位:Wm-268四、波的吸收四、波的吸收吸收媒质吸收媒质,实验表明：实验表明：O 为为介质吸收系数介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波的频，与介质的性质、温度、及波的频率有关率有关IxIxI0I0O69五、波的特性五、波的特性1.波的几何描述波的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点构成的曲面相同的点构成的曲面.沿波的传播方向作的有方向的线沿波的传播方向作的有方向的线.波面波面:波线波线:波前波前:波传播过程中波传播过程中,某一时刻最前面的波面某一时刻最前面的波面.在各向同性均匀媒质中，在各向同性均匀媒质中，波线波线波面波面.注意注意702.惠更斯原理惠更斯原理介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前络面就是新的波前子波波源子波波源波前波前子波子波S1S2utc tR1=u tR2=u(t+t)S2S1R1R2utS1S2利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的传播现象。的传播现象。723.波的衍射波的衍射波的衍射现象：波的衍射现象：波在传播的过程中遇到障碍物或小波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象.731）波传播的独立性原理波传播的独立性原理 几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立地保持自己原有的特性地保持自己原有的特性(频率，波长，振幅，振动方频率，波长，振幅，振动方向向)传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样一样.2）波的叠加原理）波的叠加原理 在波相遇区域内，任一在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动在时所引起的振动的合振动.4.波的干射波的干射743）干涉现象：干涉现象：两列波在空间相遇两列波在空间相遇(叠加叠加)时，介质中有些点的振动始时，介质中有些点的振动始终加强，有些点的振动始终终加强，有些点的振动始终减弱或完全消失的现象减弱或完全消失的现象.5）相干波相干波:4）相干条件）相干条件:频率相同、振动方向相同、相位差恒定频率相同、振动方向相同、相位差恒定.6）相干波源）相干波源:满足相干条件的波满足相干条件的波.产生相干波的波源产生相干波的波源.75六、多普勒效应六、多普勒效应 波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，观察者接收到的频率和波源的真实频率并不相等，观察者接收到的频率和波源的真实频率并不相等，这一现象称为这一现象称为多普勒效应多普勒效应.观察者观察者RS波源波源u观察者观察者相对于介质的运动相对于介质的运动速度速度，接近波源为正，反之为负接近波源为正，反之为负.uR:波波的的传播传播速度速度，接近观察者为正，反之为负接近观察者为正，反之为负.u:波源波源相对于介质的运动相对于介质的运动速度速度，接近观察者为正，反之为负接近观察者为正，反之为负.uS:76波源静止波源静止,观察者静止观察者静止:观察者接收到的频率观察者接收到的频率 观察者在单位时间内接收到完整波形的数目观察者在单位时间内接收到完整波形的数目.观察者RS波源u波源的频率波源的频率波源在单位时间内发出的完全波的数量波源在单位时间内发出的完全波的数量.波的频率波的频率单位时间内通过介质中某点的完全波的数量单位时间内通过介质中某点的完全波的数量.R:S:W:771.波源静止，观察者以速度波源静止，观察者以速度uR相对于介质运动相对于介质运动1)观察者接近波源观察者接近波源观察者单位时间内接收的完全观察者单位时间内接收的完全波的数量为：波的数量为：2)观察者离开波源观察者离开波源 782.观察者静止，波源以速度观察者静止，波源以速度 uS相对介质运动相对介质运动1)波源接近观察者波源接近观察者在每个周期中，波源移近观察者在每个周期中，波源移近观察者yy,即每个波长缩短了即每个波长缩短了的距离为的距离为频率变高频率变高792.波源离开观察者波源离开观察者 频率变低频率变低yy在每个周期中，波源离开观察者在每个周期中，波源离开观察者 ,即每个波长增加了即每个波长增加了的距离为的距离为 80 波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高，波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高，反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低.3.波源以波源以uS运动，观测者以运动，观测者以uR运动（相向为正）运动（相向为正）由于波源的运动，介质中波的频率由于波源的运动，介质中波的频率:由于观察者的运动，观察者接收到的频率与波的频由于观察者的运动，观察者接收到的频率与波的频率之间的关系率之间的关系:观察者接收到的频率观察者接收到的频率:结论结论例题 一物体做简谐振动，其振动的方程是一物体做简谐振动，其振动的方程是求求 1.1.振动的振幅、频率、周期和初相位振动的振幅、频率、周期和初相位 2.2.求求t=0.5st=0.5s时，物体的位置、速度时，物体的位置、速度 和加速度和加速度81例题一列平面简谐波在介质中以速度一列平面简谐波在介质中以速度c=20m/sc=20m/s沿直沿直线传播，已知其频率线传播，已知其频率f=2Hzf=2Hz，在传播途径上，在传播途径上y y方向的方向的A A点的振动方程为点的振动方程为y yA A=3cos4tcm=3cos4tcm，求，求（1 1）若以）若以A A点为坐标原点，写出波动方程点为坐标原点，写出波动方程（2 2）若以距）若以距A A点点5m5m处的处的B B点为坐标原点，写出点为坐标原点，写出波动方程波动方程（3 3）仍以）仍以A A为波源，写出为波源，写出C C点、点、D D点的振动方程点的振动方程（4 4）分别求出）分别求出C C、B B和和C C、D D两质点间的相位差两质点间的相位差82