物理光学与应用光学--光在各向异性介质中的传播-课件

第第4章章 光在各向异性介质中的传播光在各向异性介质中的传播4.1 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播理想单色平面光波在晶体中的传播4.3 平面光波在晶体表面上的反射与折射平面光波在晶体表面上的反射与折射4.4 晶体光学元器件晶体光学元器件4.1 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性4.1.1 张量的基础知识张量的基础知识4.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量4.1.1 张量的基础知识张量的基础知识1.张量的概念张量的概念2.张量的变换张量的变换3.对称张量对称张量1.张量的概念张量的概念 （1 1）把一个）把一个标量标量与一个或者多个与一个或者多个矢量矢量以等式的形式关以等式的形式关联起来，等式的关联因子就是张量。联起来，等式的关联因子就是张量。（2 2）把一个）把一个标量标量与一个与一个张量张量以等式的形式关联起来，以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。其中的关联因子就是张量。（3 3）把一个）把一个矢量矢量与一个或者多个与一个或者多个矢量矢量以等式的形式关以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。联起来，其中的关联因子就是张量。（4 4）把一个）把一个矢量矢量与一个与一个张量张量以等式的形式关联起来，以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。其中的关联因子就是张量。张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量其它矢量（或者张量）相关联的物理量，张量又称为并矢。，张量又称为并矢。式中，式中，是关联是关联 和和 的二阶张量。的二阶张量。例如，矢量例如，矢量 与矢量与矢量 有关，则其一般关系应为：有关，则其一般关系应为：二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序按一定顺序)相关。相关。在直角坐标系在直角坐标系 O-x1x2x3 中，中，可表示为矩阵形式可表示为矩阵形式：分量形式：分量形式：一般形式：一般形式：按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上式按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上式简化为简化为 pi=Tij qj i,j=1,2,3 可以看出：如果可以看出：如果 是张量，则是张量，则 矢量的某坐标分量不仅与矢量的某坐标分量不仅与 矢量同一坐标分量有关，矢量同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。还与其另外两个分量有关。pi=Tijkujvk i,j,k=1,2,3 分量表示式为：分量表示式为：为三阶张量，包含为三阶张量，包含 27 个张量元素，其矩阵形式为：个张量元素，其矩阵形式为：如果矢量如果矢量 与两个矢量与两个矢量 和和 相关，其一般关系式为：相关，其一般关系式为：标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。标记方法：标记方法：标量无下标；标量无下标；矢量有一个下标；矢量有一个下标；二阶张量有两个下标；二阶张量有两个下标；三阶张量有三个下标。三阶张量有三个下标。因此，因此，下标的数目等于张量的阶数下标的数目等于张量的阶数。2.张量的变换张量的变换 由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。若若在在原原坐坐标标系系中中，某某张张量量表表示示式式为为Tij，在在新新坐坐标标系系中中，该该张张量量表表示示式式为为Tij ，则则当当原原坐坐标标系系O-x1x2x3与与新新坐坐标标系系O-x 1x 2x 3 的的坐坐标标变变换换矩矩阵阵为为aij时时，Tij 与与 Tij的关系为的关系为 其分量表示形式为其分量表示形式为:i,j,k,l=1,2,3 张量变换定律。张量变换定律。逆变换逆变换:i,j,k,l=1,2,3 i,j=1,2,3 如果是矢量，则新坐标系矢量表示式如果是矢量，则新坐标系矢量表示式 A 与原坐标系表示式与原坐标系表示式 A 间的矩阵变换关系间的矩阵变换关系:其分量变换公式其分量变换公式:3.对称张量对称张量 一个二阶张量一个二阶张量Tij，如果有，如果有Tij=Tji，则称为对称张量，只有六个独立分量。，则称为对称张量，只有六个独立分量。与与任任何何二二次次曲曲面面一一样样，二二阶阶对对称称张张量量存存在在着着一一个个主主轴轴坐坐标标系系，在在该该主主轴轴坐坐标标系系中中，张张量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。可表示为可表示为:例如一对称张量例如一对称张量:经主轴变换经主轴变换张张量量与与矩矩阵阵的的区区别别：张张量量代代表表一一种种物物理理量量，因因此此在在坐坐标标变变换换时时，改改变变的的只只是是表表示示方方式式，其其物物理理量量本本身身并并不不变变化化；而而矩矩阵阵则则只只有有数数学学意意义义。因因此此，有有时时把把张张量量写写在在方方括括号号内内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。把矩阵写在圆括号内，以示区别。4.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 =0 r 是标量，是标量，与与 的方向相同，即的方向相同，即 的每个分量只与的每个分量只与 的的相应分量相应分量线性相关线性相关。介电常数介电常数 是表征介质电学特性的参量。是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中在各向同性介质中，电位移矢量，电位移矢量 与电场矢量与电场矢量 满足关系：满足关系：i,j=1,2,3介电常数介电常数 是二阶张量。其分量形式为：是二阶张量。其分量形式为：即即 的每个分量均与的每个分量均与 的的各个分量各个分量线性相关线性相关。在一般情况下，。在一般情况下，与与 的方向不同。的方向不同。对于各向异性介质对于各向异性介质(如晶体如晶体):在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：晶体的介电张量晶体的介电张量 是对称张量，有六个独立分量。是对称张量，有六个独立分量。经主轴变换后为对角张量，只有三经主轴变换后为对角张量，只有三个非零对角分量：个非零对角分量：1,2,3 称为主介电系数。称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：由麦克斯韦关系式：可相应定义三个主折射率可相应定义三个主折射率 n1,n2,n3。此此外外，由由固固体体物物理理学学知知道道，不不同同晶晶体体的的结结构构具具有有不不同同的的空空间间对对称称性性，自自然然界界中中存存在在的的晶晶体体按按其空间对称性的不同，分为七大晶系：其空间对称性的不同，分为七大晶系：立立方方晶晶系系；四四方方晶晶系系；六六方方晶晶系系；三三方方晶晶系系；正正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。方晶系；单斜晶系；三斜晶系。七大晶系的光学性质简介七大晶系的光学性质简介晶 系主轴坐标系非主轴坐标系光学分类三斜双轴单斜正交三方四方六方单轴立方各向同性 由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。由由该该表表可可见见，三三斜斜、单单斜斜和和正正交交晶晶系系中中，主主介介电电系系数数 1 2 3，这这几几类类晶晶体体在在光光学学上上称为双轴晶体；称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介电系数三方、四方、六方晶系中，主介电系数 1=2 3，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，立方晶系在光学上是各向同性的，1=2=3。4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播理想单色平面光波在晶体中的传播4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.光波在晶体中传播特性的一般描述光波在晶体中传播特性的一般描述3.光在几类特殊晶体中的传播规律光在几类特殊晶体中的传播规律1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性由麦克斯韦根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性由麦克斯韦方程组描述。方程组描述。在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体晶体)中，若中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：为简单起见，只讨论为简单起见，只讨论单色平面光波在晶体中的传播单色平面光波在晶体中的传播特性。特性。这样处理，可不考虑介质的色散特性；同时，任意复杂这样处理，可不考虑介质的色散特性；同时，任意复杂光波可分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以光波可分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。也不失其普遍性。物质方程物质方程2.光波在晶体中传播特性的一般描述光波在晶体中传播特性的一般描述(1)单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性(2)光波在晶体中传播特性的描述光波在晶体中传播特性的描述（1）单色平面光波在晶体中的传播特性）单色平面光波在晶体中的传播特性A.晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构B.能量密度能量密度C.相速度和光线速度相速度和光线速度A.晶体中光电磁波的结构晶体中光电磁波的结构是波法线方向的是波法线方向的单位矢量单位矢量麦克斯韦方程组变为：麦克斯韦方程组变为：设晶体中传播的单色平面波为：设晶体中传播的单色平面波为：平面光波的电磁结构平面光波的电磁结构DskEHvpvr波阵面波阵面重要结论：重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。即即 共面。一般情况下，共面。一般情况下，与与 不在同一方向。不在同一方向。，所以，所以；一般情况下，一般情况下，和和 不在同一方向。不在同一方向。间夹角与间夹角与 间夹角相同。间夹角相同。；，即，即 共面。共面。B.能量密度能量密度 根据电磁能量密度公式有：根据电磁能量密度公式有：对于各向同性介质：对于各向同性介质：C.相速度和光线速度相速度和光线速度关系：关系：光线速度光线速度光波能量的传播速度光波能量的传播速度相速度相速度光波等相位面的传播速度光波等相位面的传播速度vp与与 vr 的关系的关系AvpvrksBAB结论：结论：在一般情况下，在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。均不相同。在各向同性介质中，在各向同性介质中，单色平面波的相速度即是其能量传播速度（光线单色平面波的相速度即是其能量传播速度（光线速度）。速度）。(2)光波在晶体中传播特性的描述光波在晶体中传播特性的描述A.晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程B.菲涅耳方程菲涅耳方程A.晶体光学的基本方程晶体光学的基本方程由矢量恒等式由矢量恒等式得：得：（4.2-20）所以所以（4.2-21）因为：因为：E和和D的定义的定义 EE D(s D)sskD(k E)k由折射率的定义由折射率的定义 类似地定义类似地定义“光线折射率光线折射率”：又：又：则：则：（4.2-26）或或（4.2-27）给出了沿某一给出了沿某一 方向传播的光波电场方向传播的光波电场 与晶体与晶体特性特性 n(nr)的关系，是描述的关系，是描述晶体光学性质的基本方程。晶体光学性质的基本方程。B.菲涅耳方程菲涅耳方程 波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)波法线菲涅耳方程（波法线方程）波法线菲涅耳方程（波法线方程）（4.2-30）选取主轴坐标系选取主轴坐标系 描述了晶体中传播的光波法线方向描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应折射率与相应折射率 n和晶体光学参量（主介电张量）和晶体光学参量（主介电张量）之间的关系。之间的关系。（4.2-31）即光波场沿即光波场沿 x1、x2、x3 三个主轴方向的相速度。三个主轴方向的相速度。定义定义因为因为（4.2-33）则则 描述了晶体中传播的光波法线方向描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应相速度与相应相速度 vp和晶体光学参量（主速度）和晶体光学参量（主速度）vp1、v2、v3 之间的关系。之间的关系。由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度或相速度)随随 方向变化。方向变化。波法线方程是波法线方程是 n2 或或 的二次方程，一般有两个独立实根的二次方程，一般有两个独立实根 n、n 或或 ，因，因而对应每一个波法线方向而对应每一个波法线方向 ，有两个具有不同的折射率或不同相速度的光波。，有两个具有不同的折射率或不同相速度的光波。波法线菲涅耳方程确定了波法线方向波法线菲涅耳方程确定了波法线方向 上，特许的两个线偏振光（本征模式）的折射上，特许的两个线偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振态。率（或相速度）和偏振态。这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度或相速度)的特性就是晶体的的特性就是晶体的光学各向异光学各向异性性。确定与确定与 相应的光波场相应的光波场 和和 ：（4.2-30）n vpn vp(E1,E2,E3)(D1,D2,E3)(E1,E2,E3)(D1,D2,D3)对于每一个波法线方向对于每一个波法线方向 ，有：，有：可以证明：可以证明：与给定与给定的的 k 相应的相应的 D、E 和和 s Eks D E D s 通常称这两个线偏振光为相应于给定通常称这两个线偏振光为相应于给定 方向的两个可以传播的本征模式。方向的两个可以传播的本征模式。结论：结论：不同的光线方向不同的光线方向不同的光线速度不同的光线速度 不同的折射率或相速度不同的折射率或相速度 对于晶体中给定的波法线方向对于晶体中给定的波法线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，其，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，其 矢量相互垂直，因而振动面相互垂直，且有：矢量相互垂直，因而振动面相互垂直，且有：光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)由（4.2-27）得（4.2-36）（4.2-37）结论：结论：不同的波法线方向不同的波法线方向不同的折射率不同的折射率不同的光线速度不同的光线速度 在给定的晶体中，相应于每个光线方向在给定的晶体中，相应于每个光线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光，只允许有两个特定振动方向的线偏振光（两本征模）传播，其（两本征模）传播，其 矢量相互垂直，所以振动面相互垂直。一般情况下有：矢量相互垂直，所以振动面相互垂直。一般情况下有：光线菲涅耳方程确定了光线方向光线菲涅耳方程确定了光线方向 上，两特许线偏振光的光线速度和偏振态。上，两特许线偏振光的光线速度和偏振态。