资源描述
1 导数的基本概念导数的基本概念 2 函数的求导法则函数的求导法则 3 参变量函数的导数 4 高阶导数高阶导数 5 函数的微分微分1 导数的概念一一 问题的提出问题的提出1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限播放播放MNT割线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.二二 导数的定义导数的定义1.定义定义导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即1）注注12 导函数导函数很明显很明显2）3）右导数右导数:3 单侧导数单侧导数左导数左导数:判断函数在某一点可导的充分必要条件：判断函数在某一点可导的充分必要条件：例例解解三三 由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解四 导数的意义1 几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为 导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为：2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。解：（1）函数 在x=2处的导数：（2）所求切线的斜率 即（4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为：即 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：例7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为：而直线 的斜率为 解此方程，得 将 代入曲线方程 ，得 。根据两直线平行的条件有所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。u 练习 求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程 解：所以，切线方程为：法线方程为：即即即切线的斜率为：例例8 8解解根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2 简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中）变速直线运动中路程对时间的导数为物路程对时间的导数为物体的瞬时速度体的瞬时速度.2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间的导数为电流强电量对时间的导数为电流强度度.3 3）非均匀物体中）非均匀物体中质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的的导数为物体的线导数为物体的线(面面,体体)密度密度.五五 可导与连续的关系可导与连续的关系结论：结论：可导的函数一定是连续的。可导的函数一定是连续的。证证比如比如解解注意注意:反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。2 函数的求导法则函数的求导法则一 导数的四则运算法则定理定理1 1 若函数若函数u(x),v(x)在点在点x处可导处可导,则它们的则它们的和和在点在点x处也可导处也可导,且且 (u(x)+v(x)=u(x)+v (x).定理定理2 2 若函数若函数u(x),v(x)在点在点x处可导处可导,则它们的则它们的差差在点在点x处也可导处也可导,且且 (u(x)v(x)=u(x)v (x).证证(1)(1)(2)(2)略略.推论推论例例1 1解解定理定理3推论推论注意注意:例例2 2解解定理定理4证证注意注意:例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.解解二 反函数的导数定理2(反函数求导法则)如果函数 j(y)在区间Iy内单调、可导且 j(y)0,则它的反函数 y=f(x)在区间Ix内也可导,且 或 证明 函数x=j(y)在区间Iy内单调、可导(从而连续),反函数y=f(x)在区间Ix内单调且连续.任取x Ix，给x以增量Dx,使得Dx 0，x+Dx Ix.由y=f(x)的严格单调性知 Dy=f(x+Dx)-f(x)0.于是有于是有即是即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1 1解解同理可得同理可得例例2 2解解同理可得同理可得例例3 3解解特别地特别地三 复合函数的求导法则定理3(复合函数求导法则)如果u=j(x)在点x处可导,而y=f(u)在点u=j(x)处可导，则复合函数 y=f j(x)在点x处可导，且其导数为 或 证明y=f(u)在点u可导,Dy=f(u)Du+aDu.当Dx0时，由于u=j(x)连续，此时必有 注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导.Du0或 Du=0.因而有注注2 例例4 4解解例例5 5解解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：例例6 6练习：练习：解解 例例7 求求 的导数。的导数。解：解：设设 由由 得得 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。由外及里、逐层求导。例例8 求求 的导数的导数解：解：y=(3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的导数的导数解：解：y=(cosx)2=2cosx(cosx)=2cosx(-sinx)例例10 求求 的导数的导数 解：解：解：解：y=sin(x3)2=2sin(x3)sin(x3)=2sin(x3)cos(x3)(x3)=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)例例11 求求 的导数的导数解：解：解：解：y=lnsin(4x)=sin(4x)=cos(4x)(4x)=cos(4x)例例12 求求 的导数的导数解：解：练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数 1.解：解：2.解：解：3.解：解：4.解：例13 解 例例14 求下列函数的导数求下列函数的导数解：解：（1）解：（2）l 先化简再运用导数法则求导先化简再运用导数法则求导 例例15 求下列函数的导数求下列函数的导数 解解：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得（1）解：因为 所以解：因为所以（2）（3）练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数例例1616解解1 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式五五 小结小结2 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.(1)、复合函数求导的关键，在于首先把、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。(2)、熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接直接由外及里、逐层处理复合关系由外及里、逐层处理复合关系进行求导。进行求导。(3)、有些函数可先化简再求导。、有些函数可先化简再求导。u 作业作业 p102 2：(1)(12)3:(1)(26)3 参变量函数的导数参变量函数的导数一 隐函数的导数 函数的解析表达方式有两种.一种用的形式来表示,例如 它们都是用变量 x的表达式 f(x)来表示因变量 y,这样的函数叫做显函数.但有些函数的表达式却不是这样.例如，方程 x2-x+y 3=1和 y-x+sin(xy)=0分别确定了一个函数,即对自变量x在某个区间I上的任一取值,都有y的一个确定的值与之对应,使得x,y满足所考虑的方程.这种由方程F(x,y)=0形式表示的因变量y与自变量x的函数关系，称为隐函数.有的隐函数可以化成显函数,例:x2-x+y3=1可得 这种过程称为隐函数的显化.但是,多数隐函数无法显化或者只能局部显化.例:y-x+sin(xy)=0所确定的隐函数就不能显化.而方程 x2+y2=a2(a 0)确定的隐函数，当限制|x|a,0 y a时可显化为 当限制|x|a,-a y 0时可显化为 问题:隐函数(不显化)是否能求导?如果能,如何求导?答案:对于隐函数，在一定条件下,可以直接从确定隐 函数的方程中对含有自变量的各项求导来求函数的导数,而不需要先把它表为显函数再求导.事实上,设y=y(x)是由方程 函数，将y=y(x)代入方程中，得到恒等式 利用复合函数的求导法则,在恒等式两边对自变量x求导数(视y为中间变量)，就可以求得到一个含有 例1 求方程所确定的隐函数y=y(x)对x的导数.解 方程中y是x的函数,方程两边对x求导,由导 数的四则运算法则和复合函数求导法则有 y+x y+sin(x-y)(1-y)=0,例2 求由方程 解 于是,切线方程为即例3 求由 解 于是 例4 求 解 该函数是特殊形式的幂指函数.解(1)原式等价于 解(2)两边取对数，得 这种方法叫做对数求导法.对于一般形式的幂指函数如果 u(x)与 v(x)都可导，则可采用对数求导法求出该幂指函数的导数.另一方面,对于有限个可导函数 的连乘积的求导,采用对数求导法能“化积为和”，常可简化运算.例5 求解 先假定x 2.两边取对数得:上式两边对x求导得:于是 当x 2的情形一样.二 由参数方程所确定的函数的导数若由参数方程 可确定y与x之间的函数关系，则称此函数为由.参数方程()所确定的函数.()下面来求这类函数的导数.由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例1 1解解:先求运动的方先求运动的方向向再求速度的大小再求速度的大小例例2 2解解 所求切线方程为所求切线方程为例例3 3 解解例例4 4解解例例5 5解解4 高阶导数高阶导数一 问题的提出(Introduction)变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度问题问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。即加速度是位移对时间的导数的导数。二 高阶导数的定义记作类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.高阶导数的定义高阶导数的定义三 高阶导数的求法1 1 直接法直接法.求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例1解解例例2解解例例3 3解解例例4 4解解2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数例例5 5解解同理可得同理可得3 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6解解3 3 间接法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.例例7 7解解5 5 函数的微分函数的微分一 问题的提出1 1 面积问题面积问题 设有一边长为设有一边长为 的正方形的正方形2 自由落体问题自由落体问题二二 微分的定义微分的定义1 定义定义 恩格斯在恩格斯在自然辩证法自然辩证法中，对微分作了一个形中，对微分作了一个形象的解释：象的解释：硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。是微不足道的。MNT）2 几何意义几何意义(如图如图)P 注注1 1：注注2 2：注注3 3：三三 可微与可导关系可微与可导关系定理定理证证(1)必要性必要性(2)充分性充分性注注1：函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分微分导数导数注注3：导数与微分的区别：导数与微分的区别例例1 1解解例例2 2解解四 基本初等函数的微分公式与法则基本初等函数的微分公式与法则 先先计算函数的导数计算函数的导数,再再 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3 复合函数的微分法则复合函数的微分法则结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性解解2例例3 3解解1微分形式的不变性微分形式的不变性例例4 4解解1解解2例例5 5解解1解解2例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.
展开阅读全文