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Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 与与C-R 条件条件第二节第二节 初等解析函数初等解析函数第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 Department of Mathematics第一节、解析函数的概念与第一节、解析函数的概念与 柯西柯西黎曼条件黎曼条件一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.定义定义2.1在定义中应注意在定义中应注意:2.微分微分注注:可导与可微等价可导与可微等价.例例1 解解二.解析函数的概念及其简单性质1.定义定义2.2注注1注注2区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.2.奇点的定义奇点的定义 但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.定义定义2.3u注1、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；但反之不成立.u注2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；u注3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；3.求导法则反函数求导法则复合函数求导法则u利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注注例例2 解解在全平面解析二、Cauchy-Riemann方程1.可微的必要条件证明则则存在存在存在存在存在存在注:定理条件是必要而非充分的证证例例3 2.可微的充要条件证证(1)必要性必要性.(2)充分性充分性.由于由于证毕证毕3.可微的充分条件4.解析的充要条件5.解析的充分条件注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件例例4 解解例例5 解解四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数例例6 证明证明例例7 解解例例8证证参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:例例9 9证证根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得思考题思考题思考题答案思考题答案作业wP90习题(一)w5(2),(4);6(2);7;8(1),(2)结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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