第1章近世代数基本概念资料课件

2024/7/8近世代数基础近世代数基础(Abstract Algebra)近世代数课程是现代数近世代数课程是现代数近世代数课程是现代数近世代数课程是现代数学学学学的基础的基础的基础的基础,既是中学代数的继续发展，既是中学代数的继续发展，既是中学代数的继续发展，既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展也是高等代数课程的继续和发展也是高等代数课程的继续和发展也是高等代数课程的继续和发展,同同同同时它又同拓扑学、实变函数与泛函时它又同拓扑学、实变函数与泛函时它又同拓扑学、实变函数与泛函时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是分析构成现代数学的三大基石，是分析构成现代数学的三大基石，是分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学进入数学王国的必由之路，是数学进入数学王国的必由之路，是数学进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基与应用数学专业学生必修的重要基与应用数学专业学生必修的重要基与应用数学专业学生必修的重要基础课。础课。础课。础课。2024/7/8 高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例此，在本课程的学习中，大家要多注意实例此，在本课程的学习中，大家要多注意实例此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深以加深以加深以加深对概念的正确理解。对概念的正确理解。对概念的正确理解。对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。内容和方法以及习题课内容。内容和方法以及习题课内容。内容和方法以及习题课内容。近世代数基础近世代数基础(Abstract Algebra)2024/7/8引言引言 近世代数理论的两个来源近世代数理论的两个来源 两千多年之前古希腊两千多年之前古希腊两千多年之前古希腊两千多年之前古希腊时时代数学家就能代数学家就能代数学家就能代数学家就能够够利用开利用开利用开利用开方法解二方法解二次方程次方程 axax2 2+bx+c=+bx+c=0 0 。16161616世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545154515451545年意大利年意大利年意大利年意大利数学家数学家数学家数学家 G.Cardano(G.Cardano(G.Cardano(G.Cardano(卡尔达诺卡尔达诺卡尔达诺卡尔达诺)在他的著作大术中给出了在他的著作大术中给出了在他的著作大术中给出了在他的著作大术中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。直到直到直到直到18241824年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家 N.AbelN.Abel才证明五次和五才证明五次和五才证明五次和五才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除1)1)1)1)代数方程的解代数方程的解代数方程的解代数方程的解2024/7/8有理运算以及开方的方法求出它的所有根有理运算以及开方的方法求出它的所有根有理运算以及开方的方法求出它的所有根有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能什么条件之下不能什么条件之下不能什么条件之下不能求根。求根。求根。求根。最终解决这一问题的是法国年青数学家最终解决这一问题的是法国年青数学家最终解决这一问题的是法国年青数学家最终解决这一问题的是法国年青数学家GaloisGaloisGaloisGalois(1811-(1811-1832)1832)，GaloisGaloisGaloisGalois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在GaloisGaloisGaloisGalois之后群之后群之后群之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。引言引言 近世代数理论的两个来源近世代数理论的两个来源2024/7/8加罗华加罗华全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。形成和发展产生了巨大影响。形成和发展产生了巨大影响。形成和发展产生了巨大影响。被誉为天才数学家的伽罗瓦被誉为天才数学家的伽罗瓦被誉为天才数学家的伽罗瓦被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创是近世代数的创是近世代数的创是近世代数的创始人之一。他提出的始人之一。他提出的始人之一。他提出的始人之一。他提出的“伽罗瓦域伽罗瓦域伽罗瓦域伽罗瓦域”、“伽罗瓦伽罗瓦伽罗瓦伽罗瓦群群群群”和和和和“伽罗瓦理论伽罗瓦理论伽罗瓦理论伽罗瓦理论”是近世代数所研究的最是近世代数所研究的最是近世代数所研究的最是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，提供了全面而透彻的解答，提供了全面而透彻的解答，提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家解决了困扰数学家们长达们长达 数百年之久的问题。群论开辟了全数百年之久的问题。群论开辟了全数百年之久的问题。群论开辟了全数百年之久的问题。群论开辟了全引言引言 近世代数理论的两个来源近世代数理论的两个来源2024/7/8 2)Hamilton 2)Hamilton 四元数的发现四元数的发现四元数的发现四元数的发现 长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数发现可以把复数看成二元数发现可以把复数看成二元数发现可以把复数看成二元数 (a,ba,b)=a+bi=a+bi，其中，其中，其中，其中i i2 2=-=-1 1。二元数按二元数按二元数按二元数按 (a,ba,b)()(c,dc,d)=()=(a a c,bc,b d d)，(a,ba,b)()(c,dc,d)=()=(ad+bc,ac-bdad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱爱尔兰数学家了。但是爱爱尔兰数学家了。但是爱爱尔兰数学家了。但是爱爱尔兰数学家 W.Hamilton(1805-1865)W.Hamilton(1805-1865)于于于于18431843年年年年引言引言 近世代数理论的两个来源近世代数理论的两个来源2024/7/8成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。个重要理论来源。个重要理论来源。个重要理论来源。引言引言 近世代数理论的两个来源近世代数理论的两个来源2024/7/8第一章第一章 基本概念基本概念n n1.1.1.1.集合集合集合集合n n2.2.2.2.映射映射映射映射n n3.3.3.3.代数运算代数运算代数运算代数运算n n4.4.4.4.结合律结合律结合律结合律n n5.5.5.5.交换律交换律交换律交换律n n6.6.6.6.分配律分配律分配律分配律n n7.7.7.7.一一映射、变换一一映射、变换一一映射、变换一一映射、变换n n8.8.8.8.同态同态同态同态n n9.9.9.9.同构、自同构同构、自同构同构、自同构同构、自同构n n10.10.10.10.等价关系与集等价关系与集等价关系与集等价关系与集合的分类合的分类合的分类合的分类2024/7/81 集合集合 集合集合集合集合 若干个固定事物的全体若干个固定事物的全体若干个固定事物的全体若干个固定事物的全体.组成集合的对象称组成集合的对象称组成集合的对象称组成集合的对象称为集合的为集合的为集合的为集合的元素元素元素元素。集合一般用大写字母。集合一般用大写字母。集合一般用大写字母。集合一般用大写字母 A A，B B，C C，来表来表示。集合的元素一般用小写字母示。集合的元素一般用小写字母a a，b b，c c，来表示。来表示。集合与元素的关系：若集合与元素的关系：若集合与元素的关系：若集合与元素的关系：若a a是是是是A A的一个元素，则说的一个元素，则说的一个元素，则说的一个元素，则说a a属于属于属于属于A A，或说或说或说或说A A包含包含包含包含a a，记为，记为，记为，记为 a aA A ;若若若若a a不属于不属于不属于不属于A A,或说或说或说或说A A不包含不包含不包含不包含 空集合空集合空集合空集合 一个没有元素的集合一个没有元素的集合一个没有元素的集合一个没有元素的集合，记为记为记为记为 。a a,记为记为记为记为 .子集子集子集子集 若集合若集合若集合若集合B B的每一个元素都属于集合的每一个元素都属于集合的每一个元素都属于集合的每一个元素都属于集合A A,则说则说则说则说B B是是是是A A的的的的子集，记为子集，记为子集，记为子集，记为 ;否则否则否则否则,B B不是不是不是不是A A的子集，记为的子集，记为的子集，记为的子集，记为集合相等集合相等集合相等集合相等:A A和和和和B B的的的的交集交集交集交集:真子集真子集真子集真子集 若若若若B B是是是是A A的子集的子集的子集的子集,且至少有一个且至少有一个且至少有一个且至少有一个A A的元素不属于的元素不属于的元素不属于的元素不属于B B,则说则说则说则说B B是是是是A A的真子集，记为的真子集，记为的真子集，记为的真子集，记为 .并集并集并集并集：以集合以集合以集合以集合A A的所有子集为元素的集合，称为的所有子集为元素的集合，称为的所有子集为元素的集合，称为的所有子集为元素的集合，称为A A的的的的幂集幂集幂集幂集，记，记，记，记为为为为P P(A A).).).).如果集合如果集合如果集合如果集合A A包含有无穷多个元素，则记为包含有无穷多个元素，则记为包含有无穷多个元素，则记为包含有无穷多个元素，则记为 如果集合如果集合如果集合如果集合A A包含包含包含包含n n个元素，则记为个元素，则记为个元素，则记为个元素，则记为1 集合集合2024/7/8 两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意n n个集合上去。个集合上去。个集合上去。个集合上去。设设设设 是给定的集合是给定的集合是给定的集合是给定的集合.由由由由 的一切元的一切元的一切元的一切元1 集合集合素所成的集合叫做素所成的集合叫做素所成的集合叫做素所成的集合叫做 的并的并的并的并；由由由由 的一的一的一的一切公共元素所成的集合叫做切公共元素所成的集合叫做切公共元素所成的集合叫做切公共元素所成的集合叫做 的交的交的交的交.的并和交分别记为：的并和交分别记为：的并和交分别记为：的并和交分别记为：2024/7/8集合的差运算：集合的差运算：集合的差运算：集合的差运算：即即即即A A-B B是由一切属于是由一切属于是由一切属于是由一切属于A A但不属于但不属于但不属于但不属于B B 的元素所组成。的元素所组成。的元素所组成。的元素所组成。注意注意注意注意：并没有要求：并没有要求：并没有要求：并没有要求B B是是是是A A的子集的子集的子集的子集.例如，例如，例如，例如，可以定义多个集合的积：可以定义多个集合的积：可以定义多个集合的积：可以定义多个集合的积：1 集合集合集合的积：集合的积：集合的积：集合的积：设设设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令是两个集合，令是两个集合，令则称则称则称则称A AB B为为为为A A与与与与B B的笛卡儿积的笛卡儿积的笛卡儿积的笛卡儿积(简称为积简称为积简称为积简称为积).其中其中其中其中序对序对序对序对(a a,b b)的的的的第一个第一个第一个第一个元素元素元素元素a a称为第一分量称为第一分量称为第一分量称为第一分量(或坐标或坐标或坐标或坐标)，第二个元素，第二个元素，第二个元素，第二个元素b b b b 称为第二称为第二称为第二称为第二分量分量分量分量(或坐标或坐标或坐标或坐标).2024/7/8常用的数集：常用的数集：常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为全体整数的集合，表示为全体整数的集合，表示为全体整数的集合，表示为Z Z全体有理数的集合，表示为全体有理数的集合，表示为全体有理数的集合，表示为全体有理数的集合，表示为Q Q全体实数的集合，表示为全体实数的集合，表示为全体实数的集合，表示为全体实数的集合，表示为R R全体复数的集合，表示为全体复数的集合，表示为全体复数的集合，表示为全体复数的集合，表示为C C1 集合集合2024/7/82 映射映射定义定义定义定义 设设设设 X X,Y Y 是两个非空集合是两个非空集合是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规若存在一个对应规若存在一个对应规则则则则 f f,使得使得使得使得有有有有唯一唯一唯一唯一确定的确定的确定的确定的与之对应与之对应与之对应与之对应,则称则称则称则称f f 为从为从为从为从 X X 到到到到 Y Y 的的的的映射映射映射映射,记作记作记作记作元素元素元素元素 y y 称为元素称为元素称为元素称为元素 x x 在映射在映射在映射在映射 f f 下的下的下的下的像像像像,记作记作记作记作元素元素元素元素 x x 称为元素称为元素称为元素称为元素 y y 在映射在映射在映射在映射 f f 下的下的下的下的原像原像原像原像.集合集合集合集合 X X 称为映射称为映射称为映射称为映射 f f 的的的的定义域定义域定义域定义域;Y Y 的子集的子集的子集的子集称为称为称为称为 f f 的的的的值域值域值域值域.2024/7/8 例例例例1 1 1 1 设设设设 例例例例2 2 设设设设A A是非零有理是非零有理是非零有理是非零有理数集，数集，数集，数集，B B是整数是整数是整数是整数集集集集.令令令令2 映射映射注意注意注意注意:1)1)映射三要素映射三要素映射三要素映射三要素 定义域定义域定义域定义域 ,对应规则对应规则对应规则对应规则,值域值域值域值域.2)2)元素元素元素元素 x x 的像的像的像的像 y y 是唯一的是唯一的是唯一的是唯一的,但但但但 y y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一的原像不一定唯一的原像不一定唯一.则则则则 f f 是是是是A A到到到到B B的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射.则则则则 f f 不不不不是是是是A A到到到到B B的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射.因为因为因为因为2024/7/82 映射映射多元映射多元映射多元映射多元映射:例例例例3 3 例例例例4 4 A A=东东东东,南南南南,B B=南南南南,D D=高高高高,低低低低.定义定义定义定义例例例例5 5 设设设设A A=D D=R R.定义定义定义定义2 映射映射映射定义要注意以下几点映射定义要注意以下几点映射定义要注意以下几点映射定义要注意以下几点:映射相等映射相等映射相等映射相等:2 映射映射1 1）集合集合集合集合 可以相同可以相同可以相同可以相同;2 2）的次序不能掉换的次序不能掉换的次序不能掉换的次序不能掉换;3 3）映射一定要替每一个元规定一个象）映射一定要替每一个元规定一个象）映射一定要替每一个元规定一个象）映射一定要替每一个元规定一个象;4 4）一个元只能有惟一的象）一个元只能有惟一的象）一个元只能有惟一的象）一个元只能有惟一的象;5 5）所有的象都必须是）所有的象都必须是）所有的象都必须是）所有的象都必须是D D的元的元的元的元.3 代数运算代数运算 实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二元映射。比如加法：元映射。比如加法：元映射。比如加法：元映射。比如加法：定义定义定义定义1 1 一个一个一个一个A A B B到到到到D D的映射叫做一个的映射叫做一个的映射叫做一个的映射叫做一个A A B B到到到到D D的代数的代数的代数的代数运算运算运算运算.即代数运算就是一种二元映射即代数运算就是一种二元映射即代数运算就是一种二元映射即代数运算就是一种二元映射.(2)(2)(2)(2)一个代数运算可以用一个代数运算可以用一个代数运算可以用一个代数运算可以用表示，并将表示，并将表示，并将表示，并将(a a,b b)在在在在下的下的下的下的 注注注注 (1)(1)(1)(1)为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设是映射，若是映射，若是映射，若是映射，若，则可以说，则可以说，则可以说，则可以说a a和和和和b b在在在在的法则下运算得到的法则下运算得到的法则下运算得到的法则下运算得到d d。像记作像记作像记作像记作3 代数运算代数运算 例例例例1 1 A A=所有整数所有整数所有整数所有整数,B B=所有不等于整数所有不等于整数所有不等于整数所有不等于整数,D D=所有有理数所有有理数所有有理数所有有理数 注意注意注意注意:当当当当A A=B B的时候的时候的时候的时候,A A B B=B B A A,但这并不是说但这并不是说但这并不是说但这并不是说3 代数运算代数运算 例例例例1 1 设设设设A A是正整数集，问下列运算是不是是正整数集，问下列运算是不是A A的代数运算的代数运算?根据定义，它们都根据定义，它们都根据定义，它们都根据定义，它们都不是不是A A的代数运算的代数运算。例例例例4 4 设设设设A Aa a,b b,c c规定规定规定规定A A的两个不同的代数运算的两个不同的代数运算的两个不同的代数运算的两个不同的代数运算 练习：练习：练习：练习：例例例例2 2 并与交是否是非空集合并与交是否是非空集合并与交是否是非空集合并与交是否是非空集合A A的幂集的幂集P P(A A)的的的的代数运算代数运算?例例例例3 3 矩阵乘法是否是全体矩阵乘法是否是全体矩阵乘法是否是全体矩阵乘法是否是全体n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵的代数运算的代数运算？在在在在A A和和和和B B都是有限集的时候都是有限集的时候都是有限集的时候都是有限集的时候,一个一个一个一个A A B B到到到到D D的代数运算常用的代数运算常用的代数运算常用的代数运算常用一个表来表示一个表来表示一个表来表示一个表来表示.3 代数运算代数运算4 结合律结合律结论：一个集合的代数运算并不能保证结论：一个集合的代数运算并不能保证结论：一个集合的代数运算并不能保证结论：一个集合的代数运算并不能保证4 结合律结合律结合律的作用：结合律的作用：结合律的作用：结合律的作用：在集合在集合在集合在集合A A中任意取中任意取中任意取中任意取3 3个元个元个元个元 a a1 1，a a2 2 ，a a3 3，运算，运算，运算，运算一般没有意义，除非结合律成立。一般没有意义，除非结合律成立。一般没有意义，除非结合律成立。一般没有意义，除非结合律成立。假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数骤的个数总是一个有限整数骤的个数总是一个有限整数骤的个数总是一个有限整数,假定它是假定它是假定它是假定它是N N.我们把由这我们把由这我们把由这我们把由这N N个步个步个步个步骤所得的结果用骤所得的结果用骤所得的结果用骤所得的结果用4 结合律结合律 来表示，这样得到的来表示，这样得到的来表示，这样得到的来表示，这样得到的N N个个个个 未必相等，规定未必相等，规定未必相等，规定未必相等，规定 假如对于假如对于假如对于假如对于 A A 的的的的 个固定的元个固定的元个固定的元个固定的元 来说来说来说来说,所有所有所有所有的的的的 都相等都相等都相等都相等,我们就用我们就用我们就用我们就用 来表示这来表示这来表示这来表示这唯一的结果唯一的结果唯一的结果唯一的结果.问题问题问题问题 什么条件下什么条件下什么条件下什么条件下,所有的所有的所有的所有的 都相等都相等都相等都相等?定理定理定理定理 假如一个集合假如一个集合假如一个集合假如一个集合 A A 的代数运算的代数运算的代数运算的代数运算 适合结合律适合结合律适合结合律适合结合律,那那那那么么么么4 结合律结合律对于对于对于对于A A的任意的任意的任意的任意 个元个元个元个元 来说来说来说来说,所有的所有的所有的所有的都相等都相等都相等都相等;因此符号因此符号因此符号因此符号 也就总有意义也就总有意义也就总有意义也就总有意义证明对证明对证明对证明对n n用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法用数学归纳法.(I)(I)n n=2,3=2,3时，定理是对的时，定理是对的时，定理是对的时，定理是对的(II)(II)假定个数假定个数假定个数假定个数 ，定理是对的在这个假定之下，如果，定理是对的在这个假定之下，如果，定理是对的在这个假定之下，如果，定理是对的在这个假定之下，如果 我们能够证明我们能够证明我们能够证明我们能够证明:对于一个任意的对于一个任意的对于一个任意的对于一个任意的 来说来说来说来说(一个固定的结果一个固定的结果一个固定的结果一个固定的结果)定理也就证明了定理也就证明了定理也就证明了定理也就证明了.这一个这一个这一个这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结是经过一种加括号的步骤所得来的结是经过一种加括号的步骤所得来的结是经过一种加括号的步骤所得来的结4 结合律结合律果果果果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算:这里这里这里这里,是前面若干个是前面若干个是前面若干个是前面若干个,假定是假定是假定是假定是 个元个元个元个元 经过一个加经过一个加经过一个加经过一个加括号的步骤所得的结果括号的步骤所得的结果括号的步骤所得的结果括号的步骤所得的结果,是其余的是其余的是其余的是其余的 个元个元个元个元由归纳法的假定由归纳法的假定由归纳法的假定由归纳法的假定,经过一个加括号的步骤所得的结果。因为经过一个加括号的步骤所得的结果。因为经过一个加括号的步骤所得的结果。因为经过一个加括号的步骤所得的结果。因为 和和和和 都都都都 情况情况情况情况1 1 假定假定假定假定 ,那么上式就是要证明的那么上式就是要证明的那么上式就是要证明的那么上式就是要证明的(1)(1)式式式式情况情况情况情况2 2 假定假定假定假定 ，那么，那么，那么，那么即即即即(1)(1)式仍然成立证完。式仍然成立证完。式仍然成立证完。式仍然成立证完。4 结合律结合律结合律成立，保证了可以应用结合律成立，保证了可以应用结合律成立，保证了可以应用结合律成立，保证了可以应用 个符号。个符号。个符号。个符号。结合律的重要也就在此结合律的重要也就在此结合律的重要也就在此结合律的重要也就在此5 交换律交换律结论：一个代数运算并不能保证结论：一个代数运算并不能保证结论：一个代数运算并不能保证结论：一个代数运算并不能保证6 分配律分配律 引言引言引言引言 现在讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就现在讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就现在讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就现在讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就是是是是分配律分配律分配律分配律。看两种代数运算：。看两种代数运算：。看两种代数运算：。看两种代数运算：那么，对于那么，对于那么，对于那么，对于B B的任意元的任意元的任意元的任意元b b和和和和A A的任意元的任意元的任意元的任意元a a1 1，a a2 2来说：来说：来说：来说：都有意义，都是都有意义，都是都有意义，都是都有意义，都是A A的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。6 分配律分配律证明对证明对证明对证明对n n用归纳法用归纳法用归纳法用归纳法.n n=1,2=1,2时，定理显然成立时，定理显然成立时，定理显然成立时，定理显然成立假设假设假设假设a a1 1，a a2 2，的个数是的个数是的个数是的个数是n n-1-1个时成立，则当为个时成立，则当为个时成立，则当为个时成立，则当为n n个时有：个时有：个时有：个时有：6 分配律分配律类似地，再类似地，再类似地，再类似地，再看两种代数运算：看两种代数运算：看两种代数运算：看两种代数运算：那么，对于那么，对于那么，对于那么，对于B B的任意元的任意元的任意元的任意元b b和和和和A A的任意元的任意元的任意元的任意元a a1 1，a a2 2来说：来说：来说：来说：都有意义，都是都有意义，都是都有意义，都是都有意义，都是A A的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。的元，但这两个元不一定相等。6 分配律分配律2024/7/8映射定义复习映射定义复习映射定义复习映射定义复习设设设设 X X,Y Y 是两个非空集合是两个非空集合是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规若存在一个对应规若存在一个对应规则则则则 f f,使得使得使得使得有有有有唯一唯一唯一唯一确定的确定的确定的确定的与之对应与之对应与之对应与之对应,则称则称则称则称f f 为从为从为从为从 X X 到到到到 Y Y 的的的的映射映射映射映射,记作记作记作记作元素元素元素元素 y y 称为元素称为元素称为元素称为元素 x x 在映射在映射在映射在映射 f f 下的下的下的下的像像像像,记作记作记作记作元素元素元素元素 x x 称为元素称为元素称为元素称为元素 y y 在映射在映射在映射在映射 f f 下的下的下的下的原原原原(逆逆逆逆)像像像像.7 一一映射、变换一一映射、变换7 一一映射、变换一一映射、变换3)3)一个既是满射又是单射的映射叫做一个既是满射又是单射的映射叫做一个既是满射又是单射的映射叫做一个既是满射又是单射的映射叫做一一映射一一映射一一映射一一映射(双射双射双射双射).7 一一映射、变换一一映射、变换 证明略证明略证明略证明略.一一映射具有以下重要性质：一一映射具有以下重要性质：一一映射具有以下重要性质：一一映射具有以下重要性质：证明要证明是一一映射，只须证明：证明要证明是一一映射，只须证明：证明要证明是一一映射，只须证明：证明要证明是一一映射，只须证明：1 1）是映射；）是映射；）是映射；）是映射；2 2）是单射；）是单射；）是单射；）是单射；3 3）是满射）是满射）是满射）是满射.7 一一映射、变换一一映射、变换7 一一映射、变换一一映射、变换定义定义定义定义 一个一个一个一个A A到到到到A A的映射叫做的映射叫做的映射叫做的映射叫做A A的一个的一个的一个的一个变换变换变换变换.对应地对应地对应地对应地,有满射变换、单射变换和一一变换的概念。有满射变换、单射变换和一一变换的概念。有满射变换、单射变换和一一变换的概念。有满射变换、单射变换和一一变换的概念。A A的一个的一个的一个的一个单射变换单射变换单射变换单射变换.A A的一个的一个的一个的一个满射变换满射变换满射变换满射变换.问是否是问是否是问是否是问是否是A A的一个的一个的一个的一个满射变换满射变换满射变换满射变换？问是否是问是否是问是否是问是否是A A的一个的一个的一个的一个单射变换单射变换单射变换单射变换？8 同态同态 引代数系引代数系引代数系引代数系(统统统统)由一个集合和定义在这个集合上的一种或若干种代数运由一个集合和定义在这个集合上的一种或若干种代数运由一个集合和定义在这个集合上的一种或若干种代数运由一个集合和定义在这个集合上的一种或若干种代数运算所构成的系统，称为算所构成的系统，称为算所构成的系统，称为算所构成的系统，称为代数系代数系代数系代数系(统统统统)。例如，整数集合例如，整数集合例如，整数集合例如，整数集合Z Z和普通和普通和普通和普通的整数加法的整数加法的整数加法的整数加法“+”+”构成一个代数系统，记为构成一个代数系统，记为构成一个代数系统，记为构成一个代数系统，记为 (Z Z,+),+)；Z Z和普通和普通和普通和普通加加加加法法法法“+”+”普通乘法普通乘法普通乘法普通乘法“”也构成一个代数系统，记为也构成一个代数系统，记为也构成一个代数系统，记为也构成一个代数系统，记为(Z Z,+,),+,)。如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义:经过运动经过运动经过运动经过运动,顶点可以重合顶点可以重合顶点可以重合顶点可以重合.这这这这里涉及两个步骤里涉及两个步骤里涉及两个步骤里涉及两个步骤:第一第一第一第一,点间有一个对应点间有一个对应点间有一个对应点间有一个对应(映射映射映射映射););第二第二第二第二,对应后可以重合对应后可以重合对应后可以重合对应后可以重合.8 同态同态 现在现在现在现在比较两个代数系统比较两个代数系统比较两个代数系统比较两个代数系统 和和和和 .第一第一第一第一,我们需要一个映射我们需要一个映射我们需要一个映射我们需要一个映射 ;第二第二第二第二,这个映射还能够使这个映射还能够使这个映射还能够使这个映射还能够使“运算重合运算重合运算重合运算重合”或或或或说说说说：保持运算：保持运算：保持运算：保持运算.具体的说具体的说具体的说具体的说,假如假如假如假如 和和和和 是是是是 的两个元的两个元的两个元的两个元,那么那么那么那么 和和和和 都有义都有义都有义都有义,都是都是都是都是 的元的元的元的元.保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立:换一种表示，假定在换一种表示，假定在换一种表示，假定在换一种表示，假定在 之下的像，之下的像，之下的像，之下的像，上面的等式即上面的等式即上面的等式即上面的等式即:8 同态同态 如果对于代数运算如果对于代数运算如果对于代数运算如果对于代数运算 和和和和 有一个有一个有一个有一个A A到到到到 的满射的同态映的满射的同态映的满射的同态映的满射的同态映射存在射存在射存在射存在,则说这个映射是一个同态满射则说这个映射是一个同态满射则说这个映射是一个同态满射则说这个映射是一个同态满射,并说代数系统并说代数系统并说代数系统并说代数系统 与与与与 同态，简称同态，简称同态，简称同态，简称A A与与与与 同态同态同态同态.例例例例1 1 设设设设 A A=所有整数所有整数所有整数所有整数,A A 的代数运算是普通加法的代数运算是普通加法的代数运算是普通加法的代数运算是普通加法“+”+”；,的代数运算是普通乘法的代数运算是普通乘法的代数运算是普通乘法的代数运算是普通乘法“”.”.则则则则1)1)规定规定规定规定 (是是是是 的任一元的任一元的任一元的任一元)2)2)规定规定规定规定证明证明证明证明 是一个是一个是一个是一个 到到到到 的满射的同态映射的满射的同态映射的满射的同态映射的满射的同态映射.证明证明证明证明 显然显然显然显然 是是是是 到到到到 的满射的满射的满射的满射.对于对于对于对于 的任意两个整数的任意两个整数的任意两个整数的任意两个整数和和和和 来说来说来说来说,分三种情况分三种情况分三种情况分三种情况:(1)(1)若若若若 ,都是偶数都是偶数都是偶数都是偶数,那么那么那么那么 也是偶数。于是也是偶数。于是也是偶数。于是也是偶数。于是8 同态同态显然显然显然显然 是映射，且是映射，且是映射，且是映射，且故故故故 是一个是一个是一个是一个 到到到到 的同态映射。的同态映射。的同态映射。的同态映射。所以所以所以所以,(2)(2)若若若若 ,都是奇数都是奇数都是奇数都是奇数,那么那么那么那么 是偶数。于是是偶数。于是是偶数。于是是偶数。于是 (3)(3)若若若若 奇，奇，奇，奇，偶；或偶；或偶；或偶；或 偶，偶，偶，偶，奇奇奇奇,那么那么那么那么 是奇数。于是是奇数。于是是奇数。于是是奇数。于是8 同态同态 3 3）规定规定规定规定 (是是是是 的任一元的任一元的任一元的任一元)虽然虽然虽然虽然 是一个是一个是一个是一个 到到到到 的映射的映射的映射的映射,但不是同态映射但不是同态映射但不是同态映射但不是同态映射.因为因为因为因为,对于对于对于对于任意的任意的任意的任意的 和和和和 来说来说来说来说,于是于是于是于是,定理定理定理定理1 1 假定假定假定假定,对于代数运算对于代数运算对于代数运算对于代数运算 和和和和 来说来说来说来说,与与与与 同态同态同态同态.那么那么那么那么,（1 1）若）若）若）若 适合结合律适合结合律适合结合律适合结合律,也适合结合律；也适合结合律；也适合结合律；也适合结合律；（2 2）若）若）若）若 适合交换律适合交换律适合交换律适合交换律,也适合交换律也适合交换律也适合交换律也适合交换律.证明证明证明证明 我们用我们用我们用我们用 来表示来表示来表示来表示 到到到到 的同态满射的同态满射的同态满射的同态满射.于是于是于是于是 （1 1）假定）假定）假定）假定 是是是是 的任意三个元的任意三个元的任意三个元的任意三个元.由于由于由于由于 是同态满射是同态满射是同态满射是同态满射,我们在我们在我们在我们在 里至少找得出三个元里至少找得出三个元里至少找得出三个元里至少找得出三个元 ,来来来来,使得在使得在使得在使得在 之下之下之下之下,(2)(2)证明类似于证明类似于证明类似于证明类似于(1 1).).注注注注 这种通过同态映射过渡的方法在证明时具有一般性。这种通过同态映射过渡的方法在证明时具有一般性。这种通过同态映射过渡的方法在证明时具有一般性。这种通过同态映射过渡的方法在证明时具有一般性。8 同态同态 定理定理定理定理2 2 假定假定假定假定,都是集合都是集合都是集合都是集合 的代数运算的代数运算的代数运算的代数运算,都是集合都是集合都是集合都是集合的代数运算的代数运算的代数运算的代数运算,并且存在一个并且存在一个并且存在一个并且存在一个 到到到到 的满射的满射的满射的满射 ,使得使得使得使得 与与与与 对于代对于代对于代对于代数运算数运算数运算数运算 来说同态来说同态来说同态来说同态,对于代数运算对于代数运算对于代数运算对于代数运算 来说也同态来说也同态来说也同态来说也同态.那么那么那么那么证明证明证明证明 类似于定理类似于定理类似于定理类似于定理1 1 1 1的证明，略。的证明，略。的证明，略。的证明，略。8 同态同态(1)(1)若若若若 适合第一分配律适合第一分配律适合第一分配律适合第一分配律,也适合第一分配律也适合第一分配律也适合第一分配律也适合第一分配律.(2)(2)若若若若 适合第二分配律适合第二分配律适合第二分配律适合第二分配律,也适合第二分配律也适合第二分配律也适合第二分配律也适合第二分配律.9 同构、自同构同构、自同构 两个同构的代数系统没有本质的区别，下面通过一个例子两个同构的代数系统没有本质的区别，下面通过一个例子两个同构的代数系统没有本质的区别，下面通过一个例子两个同构的代数系统没有本质的区别，下面通过一个例子 来说明。来说明。来说明。来说明。9 同构、自同构同构、自同构9 同构、自同构同构、自同构9 同构、自同构同构、自同构小结小结小结小结 现在看两个任意的，对于代数运算现在看两个任意的，对于代数运算现在看两个任意的，对于代数运算现在看两个任意的，对于代数运算 和和和和 来说是同构的集来说是同构的集来说是同构的集来说是同构的集合合合合 和和和和 我们可以假定，我们可以假定，我们可以假定，我们可以假定，并且在并且在并且在并且在 与与与与 间的同构映射间的同构映射间的同构映射间的同构映射 之下，之下，之下，之下，对对对对A A的任意元的任意元的任意元的任意元 x x,y y,z z，如果，如果，如果，如果 则由同构知，则由同构知，则由同构知，则由同构知，这表明：两个同构的代数系统在同构映射之下，对应元作这表明：两个同构的代数系统在同构映射之下，对应元作这表明：两个同构的代数系统在同构映射之下，对应元作这表明：两个同构的代数系统在同构映射之下，对应元作代数运算后的结果仍然对应。代数运算后的结果仍然对应。代数运算后的结果仍然对应。代数运算后的结果仍然对应。9 同构、自同构同构、自同构（矛盾（矛盾）定义定义定义定义9 同构、自同构同构、自同构 定义定义定义定义 对于代数运算对于代数运算对于代数运算对于代数运算 与与与与 来说的一个来说的一个来说的一个来说的一个A A与与与与A A间的同构映间的同构映间的同构映间的同构映射叫做一个对于射叫做一个对于射叫做一个对于射叫做一个对于 的的的的A A的的的的自同构自同构自同构自同构。例例例例3 3 设设设设A A=1=1，2 2，3.3.代数运算代数运算代数运算代数运算 由下表给定由下表给定由下表给定由下表给定:1 2 31233 3 33 3 33 3 3 故故故故 是一个对于是一个对于是一个对于是一个对于 的的的的 A A 的自同构的自同构的自同构的自同构.10 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类 在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中，我们经常要研究两个集合元素之间的关系我们经常要研究两个集合元素之间的关系我们经常要研究两个集合元素之间的关系我们经常要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。例如在矩阵集合中两个矩阵的或者一个集合内元素间的关系。例如在矩阵集合中两个矩阵的或者一个集合内元素间的关系。例如在矩阵集合中两个矩阵的或者一个集合内元素间的关系。例如在矩阵集合中两个矩阵的相似关系，在向量空间中两个向量的线性相关关系等。相似关系，在向量空间中两个向量的线性相关关系等。相似关系，在向量空间中两个向量的线性相关关系等。相似关系，在向量空间中两个向量的线性相关关系等。定义定义定义定义1 1 设设设设A A是一个非空集合，是一个非空集合，是一个非空集合，是一个非空集合，A A A A到到到到D D=对对对对,错错错错 的一个映的一个映的一个映的一个映射射射射R R称为称为称为称为A A的一个的一个的一个的一个二元关系二元关系二元关系二元关系。对。对。对。对A A的任意元的任意元的任意元的任意元a,ba,b，若若若若R R(a a,b b)=)=对，则对，则对，则对，则a a与与与与b b符合关系符合关系符合关系符合关系R R，记为，记为，记为，记为 aRbaRb.若若若若R R(a a,b b)=)=错，则错，则错，则错，则a a与与与与b b不符合关系不符合关系不符合关系不符合关系R R.记为记为记为记为10 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类.反射律反射律反射律反射律(反身性反身性反身性反身性):):.对称律对称律对称律对称律(对称性对称性对称性对称性):):.推移律推移律推移律推移律(传递性传递性传递性传递性):):例例例例3 3 实数集上的实数集上的实数集上的实数集上的“=”=”关系是一个等价关系，关系是一个等价关系，关系是一个等价关系，关系是一个等价关系，n n阶矩阵上阶矩阵上阶矩阵上阶矩阵上的的的的相似关系是等价关系，而实数集上的相似关系是等价关系，而实数集上的相似关系是等价关系，而实数集上的相似关系是等价关系，而实数集上的“”关系不是等价关系关系不是等价关系关系不是等价关系关系不是等价关系。10 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类 下面规定什么叫集合的分类。下面规定什么叫集合的分类。下面规定什么叫集合的分类。下面规定什么叫集合的分类。定义定义定义定义3 3 若把一集合若把一集合若把一集合若把一集合A A分成若干个叫做分成若干个叫做分成若干个叫做分成若干个叫做类类类类的子集，使得的子集，使得的子集，使得的子集，使得A A的的的的每一个元属于且只属于一个类每一个元属于且只属于一个类每一个元属于且只属于一个类每一个元属于且只属于一个类,则这些类的全体叫做集合则这些类的全体叫做集合则这些类的全体叫做集合则这些类的全体叫做集合A A的的的的一个一个一个一个分类分类分类分类.定义定义定义定义4 4 假设有一个集合的分类。那么，一个类中的任何假设有一个集合的分类。那么，一个类中的任何假设有一个集合的分类。那么，一个类中的任何假设有一个集合的分类。那么，一个类中的任何一个元叫做这个类的一个一个元叫做这个类的一个一个元叫做这个类的一个一个元叫做这个类的一个代表代表代表代表。刚好由每一类的一个代表作成。刚好由每一类的一个代表作成。刚好由每一类的一个代表作成。刚好由每一类的一个代表作成的集合叫做一个的集合叫做一个的集合叫做一个的集合叫做一个全体代表团全体代表团全体代表团全体代表团(商集商集商集商集)。集合的分类与集合上的等价关系有密切联系。集合的分类与集合上的等价关系有密切联系。集合的分类与集合上的等价关系有密切联系。集合的分类与集合上的等价关系有密切联系。10 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类 定理定理定理定理1 1 集合集合集合集合A A的一个分类决定的一个分类决定的一个分类决定的一个分类决定A A的元间的一个等价关系。的元间的一个等价关系。的元间的一个等价关系。的元间的一个等价关系。证明证明证明证明 利用集合利用集合利用集合利用集合A A的分类，规定的分类，规定的分类，规定的分类，规定 a a R R b b，当且仅当，当且仅当，当且仅当，当且仅当a a与与与与b b同在一类同在一类同在一类同在一类R R显然是显然是显然是显然是A A的元间的一个关系，下面证明的元间的一个关系，下面证明的元间的一个关系，下面证明的元间的一个关系，下面证明R R是一个等价关系。是一个等价关系。是一个等价关系。是一个等价关系。1)1)a a与与与与a a同在一类，所以同在一类，所以同在一类，所以同在一类，所以a a R R a.a.2)2)若是若是若是若是a a与与与与b b同在一类时，同在一类时，同在一类时，同在一类时，那么那么那么那么b b与与与与a a也同在一类，所以由也同在一类，所以由也同在一类，所以由也同在一类，所以由a a R R b