第1章概率论基础课件

1.3 随机变量1.3.1随机变量随机变量1.3.1.1随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数和概率分布和概率分布定义定义1 1：设设(,F,P)为概率空间，为概率空间，X()()是定义在是定义在上的单值实函数，若对上的单值实函数，若对 a R R，有，有：X()a F，则称则称X()为为随机变量随机变量(randomvariable)。分类分类:离散型随机变量；离散型随机变量；连续型随机变量；连续型随机变量；混合型随机变量。混合型随机变量。1.3 随机变量样本空间、概率、随机变量间的样本空间、概率、随机变量间的映射映射关系关系AB1kx12ix2k01x1=P(A)x2=P(B)R Raaka1a1=X(1)ak=X(k):X()a a2事件的概率事件的概率na2=X(2)随机变量随机变量X()1.3 随机变量随机对象随机对象映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者函数集（传统的方法；概率论中常用）函数集（传统的方法；概率论中常用）直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量为为随机变量随机变量当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变量为量为复随机变量复随机变量当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空间为间为随机向量随机向量当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称该函数集合为该函数集合为随机过程随机过程1.3 随机变量随机变量的两要素变量特征概率特征（统计特征）手机话费（元）月使用时间（分钟）概率质量函数(pmf:probability mass function)任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示其他事件的概率通过概率质量函数计算得到连续型随机变量不可以用概率质量函数表示1.3 随机变量概率分布函数(cdf:cumulative distribution function)1.3 随机变量概率密度函数(pdf:probability density function)概率分布函数的导数概率在直线上的密度1.3 随机变量1.3 随机变量定定义义2 2：假假设设X是是概概率率空空间间(,F,P)上上的的随随机机变变量量，那那么么对对于于任任意意x R R=(-,)，P:X()x有有意意义义，因而此概率是因而此概率是x的函数，记作的函数，记作FX(x)=P:X()x,x R R=(-,)Or FX(x)=PX x=PX (-,x,x R R=(-,)称称F X(x)为随机变量为随机变量X=X()的的分布函数分布函数(distributionfunction)。也称为。也称为概率累积函数概率累积函数(probabilitycumulativefunction).1.3 随机变量随机变量分布函数的说明：随机变量分布函数的说明：分布函数分布函数FX(x)是是x的实值函数的实值函数,记为记为F(x)；x R R1为自变量；为自变量；以事件以事件：X()x的概率测度为函数值；的概率测度为函数值；取值在取值在00，11上。上。1.3 随机变量定理定理:任意随机变量的分布函数，具有下列性质任意随机变量的分布函数，具有下列性质:(1)单调不减性：对单调不减性：对-x1x2，有，有F(x1)F(x2)(2)右连续性：对右连续性：对-a，有，有(3)记：记：则：则：定义定义3:3:假设假设X=X()是概率空间是概率空间(,F,P)上的随机变量，上的随机变量，对任意集合类对任意集合类A B1（包含（包含R R上所有形如集合（上所有形如集合（-a的最小的最小 域）域），记实值集函数，记实值集函数PX(A)=P：X()A,，称，称PX(A)为随机变量为随机变量X()的的概率分布。概率分布。1.3 随机变量1.3.1.2离散型随机变量离散型随机变量定义定义4 4：最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量(discreterandomvariable)。假设假设X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F,P)上的离散型随机变量，上的离散型随机变量，X=(x1,x2,)是是X 所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数，所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数，:X()=xi(xi X)都是事件。记都是事件。记 P P(:X()=xi)=pi(xi X,i=1,2,)或或(a)称称(a)为离散型随机变量为离散型随机变量X=X()的的概率分布律概率分布律，pi 0，pi=11.3 随机变量对于任意离散型随机变量对于任意离散型随机变量 X X=X()，若它的，若它的概率分布律概率分布律由由式式(a)给出，则它的给出，则它的分布函数分布函数为：为：离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.1.3 随机变量 设设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0 x1x2xn,，那么在分布律，那么在分布律(a)下，下，X 的分布函数的分布函数FX(x)具有下图所具有下图所表现的一般特征。表现的一般特征。对任意对任意A B1，有有是离散型随机变量的概率分布。是离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量的分布函数为离散型随机变量的分布函数为x0 xxk+1x3x1x2p1xkp2p0pkFX X(x)011.3 随机变量例例随机试验随机试验E：连续进行：连续进行两次两次射击，以射击，以X表示命中目标的次数，表示命中目标的次数，假设每一次命中目标的概率为假设每一次命中目标的概率为0.40，以以0表示未命中目标，表示未命中目标，1表示命中目标，那么随机试验表示命中目标，那么随机试验E的所有可能结果为的所有可能结果为解：令解：令F 为为一切子集构成的事件一切子集构成的事件-代数，令代数，令Ui=第第i次命中目标次命中目标，i=第第i次未命中目标次未命中目标(i=1,2)，则由题目可知：则由题目可知：P(Ui)=0.4，P(i)=0.6。则由独立性可得：则由独立性可得：P(1)=P(12)=P(1)P(2)=0.36;P(2)=P(1U2)=P(1)P(U2)=0.24;P(3)=P(U12)=P(U1)P(2)=0.24;P(4)=P(U1U2)=P(U1)P(U2)=0.16;(,F,P)是概率空间。记是概率空间。记上的实值映射上的实值映射X()=k,k=0,1,21.3 随机变量X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F,P)上的上的离散型随机变量离散型随机变量。并且，它的并且，它的分布律分布律为：为：分布函数分布函数为：为：F(x)F(x)1.3 随机变量1.3.1.3连续型随机变量连续型随机变量定义定义5 5：假设假设 X=X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F,P)上的随机变量，称上的随机变量，称 X为为连续连续型型的，如果它的分布函数的，如果它的分布函数 F(x)=P：X()x(x R R1 )绝对连续，绝对连续，即存在一非负可积函数即存在一非负可积函数 f(x)(x R R1 )，使得对一切实数，使得对一切实数x R R1 ，有，有 (b)其中其中 f(x)称作随机变量称作随机变量 X 的的概率密度函数概率密度函数(probabilitydensityfunction)。设设 f(x)(x R R1)是连续型随机变量是连续型随机变量 X X=X()的概率密度函数，其性质：的概率密度函数，其性质：(1)f(x)0,x R R1;(2)(3)如果如果x是是F(x)的连续点，则的连续点，则对一切对一切A B1，有，有连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的概率分布 一个很有用的比喻将“概率”比喻成“质量”在一条直线上分布总质量为1的物质概率质量函数总质量为1的可数个质点分布在直线上概率分布函数分布在x左边的总质量概率密度函数在x处的概率的密度随机变量的分类离散型随机变量除了cdf和pdf，还可以用pmf描述连续型随机变量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述混合型随机变量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述1.3 随机变量1.3.2随机向量随机向量样本空间标准化为高维欧氏空间总概率1分布在n维欧氏空间内分布的方式和一维类似离散型随机向量连续型随机向量混合型随机向量1.3 随机变量1.3.2.1随机向量及其随机向量及其分布函数和概率分布分布函数和概率分布定义定义6 6：设设(,F,P)是一概率空间，是一概率空间，X X()=(X1(),X2(),Xn(),()是定义在是定义在上的取值于上的取值于n n维空间维空间R Rn的实向量映射，如果它的每一的实向量映射，如果它的每一个分量都是随机变量，即对任意实数个分量都是随机变量，即对任意实数xi R R1，i i=1,2,n ,n 有有称称 X X=X()为为n n维随机向量维随机向量(n-dimensionalrandomvector)，其中其中X Xi=Xi()为随机向量的第为随机向量的第i i个个分量分量(component)。1.3 随机变量定义定义7 7：设设X X()=(X1(),X2(),Xn(),()是定义是定义在概率空间在概率空间(,F,P)上的一个上的一个n维随机向量维随机向量,对任意对任意x x=(x1,x 2,xn)R Rn，定义，定义n元实值函数：元实值函数：称称F F(x x)为随机向量为随机向量X X 的的n元分布函数元分布函数(n-dimensionaldistributionfunction)，或随机变量，或随机变量X1(),X2(),Xn()的的联合分布函数联合分布函数(jointdistributionfunction)。1.3 随机变量n n维随机向量的分布函数具有下述性质维随机向量的分布函数具有下述性质:(1)0F(x1,x2,xn)1(2)单调不减性：对每个自变量当单调不减性：对每个自变量当xi yi R R1(i=1,2,n)：F(x1,xi-1,xi,xi+1,xn)F(x1,xi-1,yi,xi+1,xn)(3)右连续右连续1.3 随机变量n n维随机向量的分布函数具有下述性质维随机向量的分布函数具有下述性质:(4)(5)设设-aibi,1.3 随机变量定义定义8 8：设设X X()=(X1(),X2(),Xn(),()是定义在是定义在概率空间概率空间(,F,P)上的一个上的一个n维随机向量，维随机向量，它的任意它的任意k k个个分量分量Xr1(),Xr2(),Xrk()(1kn-1,1r1r20，则则对对任任意意Borel集集A B1，由条件概率定义，有，由条件概率定义，有并且，对任意并且，对任意x R R1，记，记A=(-,x，有，有分分别别称称为为在在条条件件(:Y()B)下下，随随机机变变量量X()的的条条件件概概率率分分布布和分布函数。和分布函数。1.3 随机变量附注：常用随机变量的分布附注：常用随机变量的分布离散型随机变量离散型随机变量(1)二项分布：二项分布：设设0p 0,若若随机变量随机变量X()的分布律为的分布律为则称则称X X是参数为是参数为 的的泊松分布泊松分布(Poissonwithparameter).简记为简记为X XP()1.3 随机变量附注：常用随机变量的分布附注：常用随机变量的分布离散型随机变量离散型随机变量(3)几何分布：几何分布：设设0p1,若若随机变量随机变量X()的分布律为的分布律为则称则称X X是参数为是参数为p 的的几何分布几何分布(geometricdistribution).简记为简记为X XG(p)1.3 随机变量附注：常用随机变量的分布附注：常用随机变量的分布具有概率密度的随机变量具有概率密度的随机变量(1)均匀分布：均匀分布：设设 a 0,若若随机变量随机变量X()的的概率密度函数概率密度函数为为则称则称X X是参数为是参数为(,2)的的正态分布正态分布(normalwithparameters(,2).简记为简记为X XN(,2)1.3 随机变量附注：常用随机变量的分布附注：常用随机变量的分布具有概率密度的随机变量具有概率密度的随机变量(3)指数分布：指数分布：设设 0,若若随机变量随机变量X()的的概率密度函数概率密度函数为为则称则称X X是参数为是参数为 的的指数分布指数分布(exponentialwithparameter ).简记为简记为X XE()1.3 随机变量1.3.3.3随机变量函数的分布随机变量函数的分布 引言引言实验：测圆的直径实验：测圆的直径 D.D.目的：得到圆的面积目的：得到圆的面积 .D?S随机变量随机变量随机变量的函数仍为随机变量？随机变量的函数仍为随机变量？其分布函数其分布函数(律律)如何求？如何求？1.3 随机变量 设设X X()是定义在概率空间是定义在概率空间(,F,P)上的随机变量，上的随机变量，g(x)是是Borel可测函数，则可测函数，则Y()亦是概率空间亦是概率空间(,F,P)上的一个上的一个随机变量随机变量随机变量函数随机变量函数g()的分布函数求法：的分布函数求法：直接法直接法微元法微元法1.3 随机变量随机变量函数随机变量函数Y()=g(X X()的分布函数直接求法：的分布函数直接求法：实质：实质：事件的转化事件的转化例：设离散型随机变量例：设离散型随机变量X X()的分布律为的分布律为求求Y Y=X X 2 2+1的分布律的分布律随机变量随机变量X X表示的事件表示的事件转化转化随机变量随机变量Y Y表示的事件表示的事件X X-2-1012p2/153/155/154/151/151.3 随机变量解：解：Y Y的可能取值有的可能取值有1,2,5PY=1=PX X2 2+1=1=PX X=0=5/15=1/3;PY=2=PX X2 2+1=2=PX X =1+PX X =-=-1=4/15+3/15=7/15;PY=5=PX X 2 2+1=5=PX X =2+PX X =-=-2=1/15+2/15=3/15=1/5;则则Y Y(=X X 2 2+1)的分布律为的分布律为Y Y125p5/157/153/151.3 随机变量求随机变量函数求随机变量函数Y()=g(X X()分布函数的分布函数的微元法微元法：例：设电压例：设电压V=Asin ,(A=const0)，相位角，相位角 是一均匀分布的是一均匀分布的随机变量随机变量 U(0,)。试求电压。试求电压V的概率密度。的概率密度。解：解：v(0,A),h0:v+h(0,A)1.3 随机变量由泰勒由泰勒(Taylor)级数展开级数展开因此因此所以所以因此电压因此电压V的概率密度为的概率密度为例1-2-1：例1-2-2：例1-2-3：1.3 随机变量p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日