第1章傅里叶光学基础课件

第一章第一章傅里叶光学基础傅里叶光学基础7/8/20241光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理第一章第一章 傅里叶光学基础傅里叶光学基础11 二维傅里叶分析二维傅里叶分析 12 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式 13 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射14 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性质7/8/20242光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1 二维傅里叶分析二维傅里叶分析1.1.1 定义及存在条件定义及存在条件 复变函数器复变函数器 g(x,y)的的傅里叶变换傅里叶变换可表为可表为 G(u,v)=F g(x,y)=-g(g(x x,y),y)exp-i2exp-i2 (u ux x+v vy y)d dxdy xdy (1)称称g(x,y)为为原函数原函数，G(u,v)为变换函数或为变换函数或像函数像函数。(1)式的式的逆变换逆变换为为 g(x,y)=F-1G(u,v)=-G(u,v)expi2expi2 (u ux x+v vy y)d du ud dv v (2)7/8/20243光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理傅里叶傅里叶-贝塞尔变换贝塞尔变换 设设函数函数g(r,)=g(r)具有圆对称，具有圆对称，傅里叶傅里叶-贝塞尔变换为贝塞尔变换为 G()=B g(r)=2 org(r)Jo(2 r)dr其中其中 Jo 为为第一类零阶贝塞尔函数第一类零阶贝塞尔函数傅里叶傅里叶-贝塞尔逆变换为贝塞尔逆变换为 g(r)=B-1 G()=2 o G()Jo(2 r)d 7/8/20244光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 变换存在的条件变换存在的条件为为 (1)g(x,y)在全平面绝对可积；在全平面绝对可积；(2)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值；有限的区域内只有有限个极值；(3)g(x,y)没有无穷大型间断点。没有无穷大型间断点。以以上上条条件件并并非非必必要要，实实际际上上，“物物理理的的真真实实”就就是变换存在的充分条件是变换存在的充分条件。以下我们常用以下我们常用 g(x,y)G(u,v)表示变换对表示变换对对对于于光光学学傅傅里里叶叶变变换换，x，y是是空空间间变变量量，u，v 则则是是空空间间频频率率变变量量。在在一一维维情情况况下下，有有时时也也用用希希腊字母腊字母 v 表示频率变量。表示频率变量。7/8/20245光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.2 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换由由由由 函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到 (x-x(x-xo o,y-,y-y yo o)exp-i2-i2 (u ux xo o+v vy yo o)(3)(3)当当当当 x xo o=0=0，y yo o=0=0 时得到时得到时得到时得到 (x,y)(x,y)1 (4)(4)上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示点源函数具有权重为点源函数具有权重为点源函数具有权重为点源函数具有权重为 l l 的最丰的最丰的最丰的最丰富的频谱分量富的频谱分量富的频谱分量富的频谱分量因此因此因此因此光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系光学中常用点光源来检测系统的响应特性统的响应特性统的响应特性统的响应特性，即，即，即，即脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应(3)(3)式还可表为式还可表为式还可表为式还可表为,(x-x(x-xo o,y-,y-y yo o)=)=-exp-i2exp-i2 u u(x-x(x-xo)o)+v v(y-(y-y yo o)d du ud dv v它正是它正是它正是它正是 函数的积分表达式函数的积分表达式函数的积分表达式函数的积分表达式 根据根据根据根据 函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义 -(n)(n)(x)g(x)(x)g(x)dx dx=(-1)=(-1)n n g g(n)(n)(0)(6)(0)(6)得到得到得到得到(k,(k,l l)(x,y)(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里叶变换 (k,(k,l l)(x,y)=(x,y)=k+k+l l(x,y)/(x,y)/x xk k y yl l )(i2(i2 u u)k k(i2(i2 v v)l l (7)(7)7/8/20246光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(1)(1)线性线性线性线性(linearity)linearity)Ag(x,y)+Ag(x,y)+BhBh(x,y)(x,y)AG(u,v)+BH(BH(u,u,v)v)(8)(8)(2)(2)缩放及反演缩放及反演缩放及反演缩放及反演(scaling and inversion)scaling and inversion)g(ax,by)g(ax,by)G(G(u u/a,/a,v v/b)/b)/|abab|(9)(9)上式表明上式表明上式表明上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当特别是当特别是当特别是当 a=b=-1 a=b=-1 时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：g(-x,-y)g(-x,-y)G(G(-u,-v-u,-v)(10)(10)(3)(3)位移位移位移位移(shift)shift)g(x+x g(x+xo o,y+,y+y yo o)expi2i2 (u ux xo o+v vy yo o)G()G(u,vu,v)(11)(11)上式表示上式表示上式表示上式表示原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移.(4)(4)共扼共扼共扼共扼(conjugation)conjugation)g g*(x,y)(x,y)GG*(-u,-v-u,-v)(12)(12)7/8/20247光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理(5)(5)卷积卷积卷积卷积(convo1ution)convo1ution)g(x,y)g(x,y)和和和和h(x,y)h(x,y)的卷积定义：的卷积定义：的卷积定义：的卷积定义：g(x,y)g(x,y)h(x,y)=h(x,y)=-g(g(,)h(x-)h(x-,y-,y-)d)d d d 易证明易证明易证明易证明:g(x,y)g(x,y)h(x,y)h(x,y)G(G(u,vu,v)H()H(u,vu,v)函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：g(x)g(x)(x-x(x-xo o)=g(x-x)=g(x-xo o)(15)(15)g(x,y)g(x,y)(k,(k,l l)(x,y)=g(x,y)=g(k,(k,l l)(x,y)(16)(x,y)(16)(6)(6)导数的变换导数的变换导数的变换导数的变换公式可由公式可由公式可由公式可由(7)(7)式导出式导出式导出式导出 g g(k,(k,l l)(x,y)(x,y)(i2(i2 u)u)k k(i2(i2 v)v)l l G(G(u,vu,v)(17)(17)7/8/20248光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理(7)(7)相关相关相关相关(correlation)correlation)函数函数函数函数g(x,y)g(x,y)和和和和h(x,y)h(x,y)的相关定义为的相关定义为的相关定义为的相关定义为 g(x,y)g(x,y)h(x,y)=h(x,y)=-g(g(,)h(x+)h(x+,y+,y+)d)d d d 当当当当g=h g=h 时成为时成为时成为时成为自相关自相关自相关自相关，有，有，有，有 g(x,y)g(x,y)g(x,y)=g(x,y)=-g(g(,)g(x+)g(x+,y+,y+)d)d d d 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y)g(x,y)h(x,y)=gh(x,y)=g*(-x,-y)(-x,-y)h(x,y)h(x,y)GG*(u,vu,v)H()H(u,vu,v)g(x,y)g(x,y)g(x,y)g(x,y)G(u,v)2 (21)自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换7/8/20249光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 (8)(8)矩矩矩矩(moment)moment)g(x,y)g(x,y)的的的的(k,k,l l)阶矩定义为阶矩定义为阶矩定义为阶矩定义为 M M k,l k,l=-g(x,y)g(x,y)x xk k y yl l dxdydxdy (22)(22)将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式(2)(2)代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到M M k,lk,l=-G(G(u,vu,v)d du ud dv v -x xk ky yl lexpi2i2 (u ux x+v vy y)dxdydxdy 由由由由 函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式(7)(7)，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分 -x xk ky yl lexpi2i2 (u ux x+v vy y)dxdy dxdy=(i2=(i2 )-k-k-l l (k,(k,l l)(u,vu,v)矩的表达式矩的表达式矩的表达式矩的表达式 M M k,lk,l=(-i2(-i2 )-k-k-l l G G(k,k,l)l)(0,0)(0,0)7/8/202410光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理(9)(9)ParsevalParseval 定理定理定理定理 g(x,y)g(x,y)h(x,y)h(x,y)GG*(u,vu,v)H()H(u,vu,v)式式式式可可可可用用用用逆逆逆逆变变变变换表达式改写为换表达式改写为换表达式改写为换表达式改写为 -g(g(,)h(x+)h(x+,y+,y+)d)d d d =-G*(u,v)H(u,v)exp i2exp i2 (uxux+vyvy)d du ud dv v 令令令令x=y=0 x=y=0，上式为上式为上式为上式为 -g(g(,)h()h(,)d)d d d =-G*(u,v)H(u,v)d du ud dv v 这一关系式称为这一关系式称为这一关系式称为这一关系式称为 ParsevalParseval 定理定理定理定理当当当当h=g h=g 时，上式化为时，上式化为时，上式化为时，上式化为 -g(g(,)2 2 d d d d =-G(u,v)2 2 d dudvudv该该该该式又称式又称式又称式又称完备关系式完备关系式完备关系式完备关系式，实际上是，实际上是，实际上是，实际上是能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律在在在在空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现空域和频域中表达式一致性的表现7/8/202411光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)，(x)及及sinc(x)函数定义函数定义(1)rect(x)函数函数 rect(x)=1，|x|rect(x)=0，其他其他(2)(x)函数函数 (x)=1-|x|，|x|1 (x)=0，其他其他(3)sinc(x)函数函数 sinc(x)=(sin x)/x-1 11 1-1-17/8/202412光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换rect(x)，(x)及及sinc(x)函数函数傅里叶变换傅里叶变换：傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 rect(x)sinc(u)sinc(x)rect(u)(x)sinc2(u)7/8/202413光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数、符号函数sgn(x)和阶跃函数和阶跃函数step(x)符号函数符号函数sgn(x)定义定义 sgn(x)=1，x 0 sgn(x)=0，x=0 sgn(x)=-1，x 0 step(x)=0，x 0 oo7/8/202414光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和函数和step(x)函数函数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换为傅里叶变换为 sgn(x)1/i ustep(x)=sgn(x)/2+1/2 1/i 2 u+(u)/2 利用利用step(x)的变换式及卷积定理，可的变换式及卷积定理，可求出积分求出积分 x-g()d 的变换的变换：x-g()d =-g()step(x-)d =g(x)step(x)G(u)1/i 2 u+(u)/27/8/202415光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数、周期函数 设函数设函数g(x)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 g(x)=-Cnexp(i2n fox)(38)式中式中Cn=(1/X)X/2-X/2 g(x)exp(-i2n fox)dx周期周期X=1/fo对对(38)式两边取傅氏变换得式两边取傅氏变换得 G(u)=-Cn (u-n fo)(40)推导中用到积分变换式：推导中用到积分变换式：(u-n fo)exp(i2 nfox)7/8/202416光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换 g(x)=-Cnexp(i2n fox)G(u)=-Cn (u-n fo)(40)4、函数函数comb(x)comb(x)=-(x-n)=-exp(i2n x)(42)系数系数Cn=1因此由因此由(40)式可得式可得 comb(x)comb(u)(43)7/8/202417光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换4 4、函数、函数、函数、函数comb(x)comb(x)设设设设X X为实数常数，则有为实数常数，则有为实数常数，则有为实数常数，则有(1/(1/X)g(x)X)g(x)comb(x/X)comb(x/X)=(1/X)=(1/X)-g(g()comb(x-)comb(x-)/Xd/Xd =(1/X)=(1/X)-g(g()-(x(x-)/X/X-nn d d =-gX(gX(/X/X)xx/X-/X-/X/X-n-nd(d(/X)/X)=-g g X(X(x x/X/X-n-n=-g(xg(x -n nX X)(44)(44)结果得到了结果得到了结果得到了结果得到了以以以以nXnX(n=0(n=0，11，2 2，)为中心的为中心的为中心的为中心的一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形g(xg(x -n nX X)，这一现象称这一现象称这一现象称这一现象称为为为为“复现复现复现复现”7/8/202418光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换4、函数函数函数函数comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)=g(x)-(x/X-n)=-g(nX)(x-nX)gs称称 g 的的抽抽样样函函数数，X为为抽抽样样间间隙隙，xn=nX称称样样点点，g(xn)称称样样值值所所以以g(x)的的抽抽样样函函数数gs(x)是以样值为权重的是以样值为权重的 函数序列函数序列7/8/202419光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数由由Parseval 定理定理-g(x,y)2 dxdy=-G(u,v)2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布，为光场的复振幅分布，g(x,y)2代表光强分布，代表光强分布，G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，则表示单位频率间隔的光能量，称为称为功率谱功率谱，用，用s(u,v)表示为表示为s(u,v)=G(u,v)2 (46)根据变换定理，我们得到根据变换定理，我们得到g(x,y)g(x,y)G(u,v)2=s(u,v)(47)7/8/202420光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数g(x,y)g(x,y)g(x,y)g(x,y)G(G(u,vu,v)2 2=s(s(u,vu,v)(47)(47)g g g g 在在在在光光光光学学学学上上上上称称称称为为为为空空空空间间间间自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数上上上上式式式式表表表表示示示示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换 空空空空间间间间自自自自相相相相关关关关函函函函数数数数表表表表征征征征空空空空间间间间相相相相距距距距为为为为(x,y)x,y)的的的的两两两两点点点点之之之之间间间间场场场场的的的的相相相相似似似似性性性性或或或或关关关关联联联联性性性性，它它它它是是是是场场场场的的的的空空空空间间间间相相相相干干干干性性性性的的的的度度度度量量量量。场场场场的的的的相相相相干干干干性性性性较较较较高高高高时时时时，功功功功率率率率谱谱谱谱的的的的弥弥弥弥散散散散就就就就较较较较小小小小，表表表表示示示示光光光光功功功功率率率率在在在在频频频频域域域域内内内内集集集集中中中中在在在在很很很很小小小小的的的的区区区区域域域域中中中中(可可可可称称称称为为为为准准准准单单单单色色色色光光光光)；反反反反之之之之当当当当场场场场的的的的相相相相干干干干性性性性较较较较差差差差时时时时，功功功功率率率率谱谱谱谱的的的的弥弥弥弥散散散散就就就就较较较较大大大大，表表表表示示示示光光光光功功功功率率率率在在在在频频频频域域域域中中中中分分分分布布布布在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。7/8/202421光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.2 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度 如果信号如果信号g 在频域内不为零的分量限在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为制在某一区域内，则称为“带限函数带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律：抽样定律：带限函数带限函数g(x,y)被它的抽样值的无穷集被它的抽样值的无穷集合合 g mn=g(m/u,n/v)完全确定，式完全确定，式中中 u，v 是频带的宽度，是频带的宽度，m,n=0,l,2,。7/8/202422光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理2、空间带宽积与空间带宽积与自由度自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：频域内的带限函数，在空域内必然扩频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面展到全平面，因为带限函数的傅里叶变换，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零以证明这个函数在全平面内处处为零1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度7/8/202423光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度2、自由度、自由度 实际信号测量系统的输入平面总是有实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在限制的，设信号被限制在 r-x/2,x/2,-y/2,y/2矩形区域内，又设系统的带矩形区域内，又设系统的带宽宽 u，v 与抽样间隙与抽样间隙X，Y满足倒数的关满足倒数的关系，则在系，则在 r 内共有抽样点内共有抽样点N 个，个，N=x y/XY=x y u v=SW (1)式式中中S=x y,W=u v。SW称称空空间间带带宽宽积积，是是评评价价系系统统性性能能的的重重要要参参数数，(1)式式指指出出通通过过系系统统的的样样点点数数等等于于空空间间带带宽积宽积7/8/202424光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 因为一个在频域中非无限扩展的信号因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限信号带限信号)，在空域中必然是无限扩展的，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。失，使测量结果失真。例例如如信信号号分分布布在在矩矩形形 r 内内，那那么么这这个个信信号号就就被被它它的的N个个样样值值基基本本上上确确定定了了。我我们们称称这这个个信信号号有有 N 个个自自由由度度，显显然然自自由由度度数等于空间带宽积数等于空间带宽积7/8/202425光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 如果系统的输入端面的尺寸小于如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自由度数将小于则自由度数将小于N所以空间带宽积与所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特其说是信号的特征，还不如说是系统的特征征，因为系统有限的空域和频域尺寸限制，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量了通过它的信息量 例例如如对对于于一一个个成成像像系系统统，限限制制空空域域尺尺寸寸的的是是视视场场光光阑阑的的大大小小，限限制制频频域域尺尺寸寸的的是是孔孔径径光光阑阑的的大大小小。显显然然视视场场越越大大、孔孔径径越大的系统能传递更多的信息越大的系统能传递更多的信息7/8/202426光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 考考考考虑虑虑虑一一一一个个个个低低低低通通通通滤滤滤滤波波波波性性性性能能能能的的的的系系系系统统统统的的的的分分分分辨辨辨辨率率率率，即即即即输输输输入入入入平平平平面面面面上上上上能能能能被被被被系系系系统统统统分分分分辨辨辨辨开开开开来来来来的的的的两两两两个个个个点点点点的的的的最最最最小小小小间间间间距距距距(最小分辨长度最小分辨长度最小分辨长度最小分辨长度)的倒数。的倒数。的倒数。的倒数。由由由由抽抽抽抽样样样样定定定定理理理理可可可可知知知知，对对对对任任任任意意意意输输输输入入入入信信信信号号号号g(x,y)g(x,y)来来来来讲讲讲讲，由由由由于于于于系系系系统统统统频频频频率率率率响响响响应应应应特特特特性性性性的的的的限限限限制制制制，其其其其效效效效果果果果都都都都是是是是带带带带限限限限的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数的，因此可以用抽样函数g gs s(x,y)(x,y)来代替它。来代替它。来代替它。来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件 X 1/X 1/u，Y 1/Y 1/v (4)(4)满满满满足足足足时时时时，对对对对于于于于系系系系统统统统输输输输出出出出端端端端而而而而言言言言，g gs s和和和和g g 等等等等价价价价，在在在在输输输输出出出出端端端端并并并并不不不不能能能能觉觉觉觉察察察察出出出出g gs s 的的的的周周周周期期期期结结结结构构构构，或或或或者者者者说说说说 g gs s 包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。7/8/202427光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 当条件当条件当条件当条件(4)(4)不满足时，不满足时，不满足时，不满足时，g gs s和和和和g g 对于输出端不再对于输出端不再对于输出端不再对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出g gs s 的的的的周期结构，周期结构，周期结构，周期结构，或者讲或者讲或者讲或者讲g gs s 中中中中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度 x x 和和和和 y y应当与应当与应当与应当与(4)(4)式式式式表示的表示的表示的表示的X X，Y Y 同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比：x x 1/1/u，y y 1/1/v (5)(5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为 x x y y x y/SW (6)(6)可可可可见见见见在在在在给给给给定定定定输输输输入入入入端端端端面面面面尺尺尺尺寸寸寸寸 x，y后后后后，SWSW越越越越大大大大，最最最最小小小小分分分分辨辨辨辨长长长长度度度度就就就就越越越越小小小小，系系系系统统统统的的的的分分分分辨辨辨辨率率率率就就就就越越越越高高高高，测测测测量过程的失真越小量过程的失真越小量过程的失真越小量过程的失真越小。7/8/202428光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.2.3 等效带宽和测不准关系等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况仅考虑一维情况仅考虑一维情况仅考虑一维情况 G(G(u u)=-g(g(x x)exp(-i2exp(-i2 u ux x)d dx x (7)(7)g(g(x x)=-G(G(u u)exp(i2exp(i2 u ux x)d du u (8)(8)由以上两式可得由以上两式可得由以上两式可得由以上两式可得 G(0)G(0)=-g(g(x x)d dx x (9)(9)g(g(0 0)=-G(G(u u)d du u (10)(10)设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为0 0的分量都的分量都的分量都的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量g(x)g(x)和和和和G(G(u u)的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入 和和和和 ：(11)(12)7/8/202429光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 意义意义：如一个矩形高度等于如一个矩形高度等于G(0)，面积与曲面积与曲线线G(u)下的面积相同，则它的宽度为下的面积相同，则它的宽度为 ，又称为又称为“等效带宽等效带宽”。等效带宽等效带宽 Goodman提出了等提出了等效带宽的概念，它是频效带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种谱曲线展宽程度的某种度量，度量，G(u)越宽，越宽，越越大，因而常用来评价系大，因而常用来评价系统的性能。统的性能。G(G(u u)7/8/202430光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 将将将将(11)(11)、(12)(12)交叉相除得到交叉相除得到交叉相除得到交叉相除得到(13)(13)由于由于由于由于 可表征信号在空域的可表征信号在空域的可表征信号在空域的可表征信号在空域的展宽或弥散展宽或弥散展宽或弥散展宽或弥散，上式，上式，上式，上式意味着意味着意味着意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约的的的的 假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先时必须使系统首先时必须使系统首先时必须使系统首先“对准对准对准对准”空间的一个定点或长空间的一个定点或长空间的一个定点或长空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用 函数表示，它就是函数表示，它就是函数表示，它就是函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应h h。必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得 h h 所包含的信所包含的信所包含的信所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身7/8/202431光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而都是有限的，从而都是有限的，从而都是有限的，从而 函数的脉冲响应函数的脉冲响应函数的脉冲响应函数的脉冲响应h h 就有一定的弥散就有一定的弥散就有一定的弥散就有一定的弥散 ，它表征了，它表征了，它表征了，它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量注意到量注意到量注意到量注意到 取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数G(u)G(u)，因此两因此两因此两因此两个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于G(u)G(u)不相同，不相同，不相同，不相同，也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽 ，因而，因而，因而，因而 也不一致也不一致也不一致也不一致一般来讲，一般来讲，一般来讲，一般来讲，越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散响应的弥散响应的弥散响应的弥散 就越小就越小就越小就越小由于由于由于由于 =的系统不存的系统不存的系统不存的系统不存在，所以在，所以在，所以在，所以 永远不等于永远不等于永远不等于永远不等于0 0在这个意义上讲，在这个意义上讲，在这个意义上讲，在这个意义上讲，测测测测量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的，(13)(13)式称为光学系统式称为光学系统式称为光学系统式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致质上一致质上一致质上一致7/8/202432光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.2.4 广义测不准关系广义测不准关系(x)2(u)2 1/16 2或或 x u 1/4 (18)7/8/202433光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射7/8/202434光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射 从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应从变换光学入手来讨论衍射效应1.3.1 1.3.1 角谱角谱角谱角谱 设设设设单单单单色色色色光光光光波波波波沿沿沿沿z z 方方方方向向向向传传传传播播播播，照照照照射射射射到到到到xyxy平平平平面面面面上上上上，在在在在xyxy平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数 (x,y,0)=x,y,0)=(x,y)(x,y)=-A(A(u u,v,v)expi2expi2 (u ux x+v vy y)d du ud dv v (1)(1)一个波矢量为一个波矢量为一个波矢量为一个波矢量为k k 的平面波的平面波的平面波的平面波 o o(x,y,z)=A(x,y,z)=A(u u,v,v,z,z)exp()exp(i ik k r r)=A(=A(u u,v,v,z,z)expi2)expi2 (x+x+y+y+z z)/)/其中其中其中其中 ,和和和和 是是是是 k k 的方向余弦的方向余弦的方向余弦的方向余弦7/8/202435光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射1.3.1 1.3.1 角谱角谱角谱角谱 (x,y,0)x,y,0)=-A(A(u u,v,v)expi2expi2 (u ux x+v vy y)d dudv udv (1)(1)引入矢量引入矢量引入矢量引入矢量a a=(=(,),则在则在则在则在z=0 z=0 的平面上的平面上的平面上的平面上 o o(x,y,0)=A(x,y,0)=A(u u,v,v)exp(i2)exp(i2 a a r r/)=A(=A(u u,v,v)expi2)expi2 (x+x+y)/y)/(4)(4)将将将将(4)(4)式和式和式和式和(1)(1)式作比较，得式作比较，得式作比较，得式作比较，得u u=/,v v=/(5)(5)则则则则(1)(1)式可用式可用式可用式可用a a 表示为表示为表示为表示为 (x,y)x,y)=-A(A(/,/)expi2expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)(6)(6)上上上上式式式式表表表表示示示示：z z=0 0平平平平面面面面上上上上的的的的场场场场，即即即即透透透透过过过过x x y y 平平平平面面面面向向向向+z z 方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开7/8/202436光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射u=u=/,v=,v=/(5)(5)(x,y)(x,y)=-A(A(/,/)expi2expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)(6)(6)(5)(5)式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于 /或或或或 /，在在在在 (x,y)x,y)中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与波分量。而高频分量则对应于与z z 轴夹角较大的轴夹角较大的轴夹角较大的轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数平面波分量。不同方向的平面波的权函数A(A(/,/)称为称为称为称为 (x,y)x,y)的的的的角谱角谱角谱角谱，和空间频谱，和空间频谱，和空间频谱，和空间频谱的实质是相同的。的实质是相同的。的实质是相同的。的实质是相同的。A(A(/,/)与与与与 (x,y)x,y)的的的的关关关关系系系系就就就就是是是是傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换：A(A(/,/)=-(x,y)(x,y)exp-i2 exp-i2 (x+x+y)/y)/dxdy dxdy (7)(7)(6)(6)和和和和(7)(7)两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。7/8/202437光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3.2 角谱的传播角谱的传播首先首先首先首先A(A(/,/;z;z)与与与与A(A(/,/)的关系为的关系为的关系为的关系为:A(A(/,/;z;z)=-(x,y,z)(x,y,z)exp-i2exp-i2 (x+x+y)/y)/dxdy dxdy (x,y,z)(x,y,z)=-A(A(/,/;z;z)expi2expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)以以以以 (x,y,z)x,y,z)代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知分的次序，可知分的次序，可知分的次序，可知A(A(/,/;z;z)也满足亥姆霍也满足亥姆霍也满足亥姆霍也满足亥姆霍兹方程：兹方程：兹方程：兹方程：(d d2 2/dz/dz2 2+k+kz z2 2)A(A(/,/,z,z)=0 (10)=0 (10)式式式式中中中中 (11)(11)(10)(10)式的一个解是式的一个解是式的一个解是式的一个解是(12)(12)7/8/202438光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3.2 角谱的传播角谱的传播 当当当当 2 2+2 2 1 1 1 时时时时，取取取取正正正正数数数数 ，则则则则角角角角谱谱谱谱为为为为 A(A(/,/;z;z)=)=A(A(/,/)exp(-exp(-2 2z/z/)表表表表示示示示一一一一个个个个随随随随z z 的的的的增增增增大大大大迅迅迅迅速速速速衰衰衰衰减减减减的的的的波波波波，称称称称隐隐隐隐失失失失波波波波，它它它它只只只只存存存存在在在在于于于于很很很很接接接接近近近近于于于于xyxy平平平平面面面面的的的的一一一一个个个个薄薄薄薄层层层层内内内内，这这这这是是是是近场光学近场光学近场光学近场光学要讨论的问题要讨论的问题要讨论的问题要讨论的问题7/8/202439光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射将将将将(12)(12)式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：(14)(14)在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则 A(A(/,/;z;z)=A()=A(u u,v v)expi2)expi2 z(1-z(1-2 2 2 2/2/2)/)/=A(=A(u u,v v)exp(i2)exp(i2 z/z/)exp(-iexp(-iz z 2 2)=A(=A(u u,v v)exp(i2)exp(i2 z/z/)exp-exp-i iz(z(u u2 2+v v2 2)由于由于由于由于 A(A(u u,v v)(x,y)(x,y)exp-i exp-iz(z(u u2 2+v v2 2)exp-iexp-i (x(x2 2+y y 2 2)/)/z/z/i i z z (x,y,z)(x,y,z)A(A(/,/;z;z)7/8/202440光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理A(A(/,/;z)=;z)=A(A(u u,v v)exp(i2exp(i2 z/z/)exp-iexp-iz z(u u2 2+v v2 2)A(A(u u,v v)(x,y)(x,y)exp-i exp-iz(z(u u2 2+v v2 2)exp-iexp-i (x(x2 2+y y 2 2)/)/z/z/i i z z (x,y,z)(x,y,z)A(A(/,/;z;z)卷积的性质卷积的性质卷积的性质卷积的性质:g(x,y)g(x,y)h(x,y)h(x,y)G(G(u,vu,v)H()H(u,vu,v)相应的相应的相应的相应的空域信号空域信号空域信号空域信号为为为为 (x,y,z)=exp(i2x,y,z)=exp(i2 z/z/)(x,y)(x,y)expiexpi (x(x2 2+y y2 2)/)/z/iz/i z z (16)(16)=exp(i2=exp(i2 z/z/)/i/i z z -(,)expi)expi (x-(x-)2 2+(+(y-y-)2 2/zdzd d d 上式即为上式即为上式即为上式即为菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式，积分在，积分在，积分在，积分在 z=0z=0的平的平的平的平面进行，式中面进行，式中面进行，式中面进行，式中 (x,y)x,y)表示表示表示表示z=0z=0的光场复振幅分的光场复振幅分的光场复振幅分的光场复振幅分布。布。布。布。7/8/202441光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3.4 夫琅和费衍射夫琅和费衍射若若 z (2+2)/(17)则则菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式化为化为 (x,y,z)x,y,z)=exp(i2exp(i2 z/z/)/i/i z z expiexpi (x(x2 2+y y2 2)/)/zz -(,)exp-i2exp-i2 (x+x+y y)/)/zdzd d d (18)(18)就就化化为为远远场场衍衍射射即即夫夫琅琅和和费费衍衍射射的的情情况。况。(18)式还可表为式还可表为 (x,y,z)=(A/z)(x/z,y/z)(19)上上式式表表示示除除了了与与积积分分变变量量无无关关的的相相位位因因子子A以以外外，为为 的的傅傅里里叶叶变变换换，频频域域宗宗量量为为x/x/z z 及及y y/z z 7/8/202442光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.3.5 角谱的衍射角谱的衍射 设在设在设在设在xyxy平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x,y)p(x,y)来表示，来表示，来表示，来表示，p(x,y)p(x,y)可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场 t t 可用可用可用可用入射波的场入射波的场入射波的场入射波的场 i i 表为表为表为表为 t t(x,y)(x,y)=i i(x,y)(x,y)p(x,y)p(x,y)(20)(20)在频域中，上式变为在频域中，上式变为在频域中，上式变为在频域中，上式变为 A At t(/,/)=A=Ai i(/,/)P(P(/,/)(21)(21)式中式中式中式中P P 为为为为 p p 的角谱的角谱的角谱的角谱(21)(21)式说明式说明式说明式说明透射波角谱为入透射波角谱为入透射波角谱为入透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积射波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，引入光阑后，引入光阑后，引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩一般来讲信号的空间分布受到压缩7/8/202443光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽展宽展宽展宽.(21).(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去量扩散到高频段中去 (12)(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式.如果如果如果如果考虑到考虑到考虑到考虑到xyxy平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，(12)(12)式改写为式改写为式改写为式改写为 (22)(22)(12)(12)式式式式或或或或(22)(22)式式式式原原原原则则则则上上上上可可可可以以以以解解解解决决决决任任任任何何何何光光光光波波波波的的的的传传传传播播播播及衍射问题及衍射问题及衍射问题及衍射问题7/8/202444光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理1.4 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射远场衍射即夫琅和费衍射 (x,y,z)x,y,z)=exp(i2exp(i2 z/z/)/i/i z z expiexpi (x(x2 2+y y2 2)/)/zz -(,)exp-i2exp-i2 (x+x+y y)/)/zdzd d d (18)(18)(18)式式表表明明，远远场场衍衍射射具具有有傅傅里里叶叶变变换换的的特特性性由由于于薄薄透透镜镜或或透透镜镜组组的的后后焦焦面面等等价价于于，因因而而可可以以想想像像凡凡是是具具有有正正焦焦距距的的光光学系统都应当具有傅里叶变换的功能学系统都应当具有傅里叶变换的功能7/8/202445光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 设设设设用用用用振振振振幅幅幅幅为为为为 l l 的的的的单单单单色色色色平平平平面面面面波波波波照照照照射射射射一一一一个个个个在在在在xyxy平平平平面面面面上上上上，且且且且振振振振幅幅幅幅透透透透过过过过率率率率为为为为g(x,g(x,y)y)的的的的物物物物体体体体，则则则则物物物物体体体体后后后后面的场为面的场为面的场为面的场为g(x,y)g(x,y)光场用平面波角谱展开：光场用平面波角谱展开：光场用平面波角谱展开：光场用平面波角谱展开：g(x,y)g(x,y)=-G(G(/,/)expi2)expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)7/8/202446光学信息处理光学信息处理光学信息处理光学信息处理 由于透镜组具有聚焦的特性，所有方由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦向相同，即具有同样的方向余弦,的入的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距上。当透镜组焦距 f (u2+v2)1/2 时，即时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式点很接近于原点时，有下面的近似等式 u f,v f (2)g(x,y)的角谱中所有方向余弦为的角谱中所有方向余弦为,