第10章高等数学课件

1解释原函数、不定积分、定积分的概念2掌握不定积分的运算法则、熟悉基本积分公式、列出定积分的性质、概述微积分基本公式3说出计算不定积分的换元积分法和分部积分法、写出定积分换元积分公式及分部积分公式.能用这两个公式计算定积分。4能运用定积分理论解决实际问题5简述广义积分收敛与发散的概念 第第十十章章 一元函数一元函数积分学分学 2020年9月28日1第一第一节 不定不定积分分 一、不定积分的概念一、不定积分的概念 1、原函数与不定积分的概念 定定义义1 1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI，都有=f(x)或 dF(x)=f(x)dx 那末函数F(x)就称为 f(x)在区间I上的一个原函数。原函数。一个函数的原函数不是惟一的。2020年9月28日2定定义义2 2 如果在区间I上函数是函数f(x)的一个原函数，则称的全体原函数 为 f(x)在区间I上的不不定定积积分分，记为其中记号 称为积积分分号号，f(x)称为被被积积函函数数，f(x)dx称为被被积积表表达达式式，x称为积积分分变变量量，任意常数 C 称为积积分分常数常数。由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即 因而不定积分 可以表示f(x)的任意一个原函数。2020年9月28日3 2不定积分的性质 2020年9月28日4二、二、不定不定积分的基本公式与运算法分的基本公式与运算法则1不定积分的基本公式 (k是常数)（1）2020年9月28日52020年9月28日62020年9月28日72020年9月28日82不定积分的运算法则：（1）、两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即（2）、求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 (k是常数,k0)2020年9月28日9第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算 一、换元积分法一、换元积分法 1两类换元法 把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.换元法通常分成两类.2020年9月28日10（1 1）第一类换元法（凑微分法）定理1 设f(u)具有原函数 ,u=(x)可导,则有换元公式2020年9月28日11（2 2）第二第二类换元法元法 定定理理2 2 设 是单调的、可导的函数,并且 0.又设f 具有原函数 ，则有换元公式其中 是x=的反函数.第二类换元法应满足的条件：应当注意，使用第二换元法时，应满足以下条件：（1）可导，连续且 ；（2）存在反函数 。2020年9月28日12二、分部二、分部积分法分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数，2020年9月28日13三、有理函数三、有理函数积分分简介介 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：一般的，有理真分式 的不定积分可按下列三个步骤进行：2020年9月28日14（1）将 在实数范围内分解为一次因式 与二次因式 的乘积，其中 ，为正整数。2020年9月28日15（2）根据 的分解结果，将所给有理分式拆成若干个部分分式之和（这里所指部分分式是分母为一次或二次质因式的正整数次幂），具体做法是：若分母 中含有因式 ，则分解后含有下列k个部分分式之和：；若分母 中含有因式 ，则分解后含有下列个部分分式之和：其中上面两式中的 均为待定常数，可通过待定系数法求得。2020年9月28日16（3）求出各部分分式的原函数。2020年9月28日17第三节第三节 定积分定积分 一、定积分的概念一、定积分的概念 1求曲边梯形的面积具体步骤如下：(1)分割(2)近似代替(3)取极限 2020年9月28日182定积分的概念定积分的概念 其中 称为被积函数，称为被积表达式，为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间。2020年9月28日19 为了以后在计算上方便，作以下两点补充规定(1)定积分上下限互换时，定积分变号，即(2)2020年9月28日203定积分的几何意义定积分的几何意义 定积分 表示由曲线 ，直线，及OX 轴所围图形各部分面积的代数和 2020年9月28日21二、定积分的性质二、定积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 （为常数）性质2 两个可积函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即 2020年9月28日22性质性质3 3 如果，那么性性质质4 4 如果在区间 上，恒有 ，那么2020年9月28日23性质性质5 5 如果在区间 上有 ，那么特别地，则有2020年9月28日24性性质质6 6 如果函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，那么 性性质质7 7（积分中值定理）如果函数 在区间 上连续，那么在此区间上至少有一点 ，使得 成立 2020年9月28日2510-4 10-4 定积分的计算定积分的计算 一、微积分基本公式定义定义 设函数 在 上连续，x为 上任意一点，则由 所定义的函数称为积分上限函数。2020年9月28日26定定理理1 1 如果函数 在区间 上连续,那么积分上限函数是函数 在区间 上的一个原函数.即 2020年9月28日27定定理理2 2 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，那么 此公式叫做牛顿莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式 2020年9月28日28二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 定定理理3 3 设函数 在区间 上连续，令 ，如果 (1)在区间 上是具有连续导数的单值函数；(2)当t在 区 间 上 变 化 时，x 在 区 间 上 变 化，且 ，那么有换元积分公式 2020年9月28日29三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 定理4 设函数 在区间 上具有连续导数，则2020年9月28日30四、数值积分法四、数值积分法 所谓数值积分法就是利用被积函数在一些点的函数值来近似计算定积分的方法。数值积分法有两种。1梯形法 2抛物线法 2020年9月28日31第五节第五节 定积分的应用定积分的应用 一、定积分的元素法 在定积分的定义中，我们先把整体量进行分割，然后在局部范围内“以直代曲”，求出整体量在局部范围内的近似值；再把所有这些近似值加起来，得到整体量的近似值，最后当分割无限加密时取极限得定积分（即整体量）。2020年9月28日32二、平面图形的面积二、平面图形的面积 2020年9月28日33三、旋转体的体积三、旋转体的体积由曲线 和直线 及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V 2020年9月28日34四、四、医学上的应用医学上的应用 1.基础代谢 2.药物的有效度 2020年9月28日35五、物理上的应用五、物理上的应用 1功 2液体的静压力 2020年9月28日36六、平均值六、平均值连续函数 在区间a,b上的平均值,等于函数f(x)在区间a,b上的定积分除以区间a,b的长度b-a,即 2020年9月28日37第六第六节 广广义积分分 一、广义积分的概念 定义1设函数f(x)在区间a,+上连续，取ba，若极限 存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+上的广义积分，记作 ，即=这时也称广义积分 收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。2020年9月28日38二、二、无界函数的广无界函数的广义积分分定义2设函数f(x)在(a,b)上连续，而在点a的右邻域内无界，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分 收敛，否则就称广义积分发散。其中a称为瑕点，此积分也称为瑕积分。2020年9月28日39二、概率二、概率 1频率 我们研究随机现象，不仅需要分析它在一定条件下可能发生哪些事件，更重要的是进一步分析各种事件发生的可能性的大小，揭示发生这些事件的内在规律，即统计规律性，为我们的日常生活和工作实际服务。定义1 若在重复n次试验中，随机事件A发生nA次，我们把比率 叫做事件A 的频率。记作fn（A）。即 2020年9月28日40 医药工作中通常说的发病率、病死率、出生率、有效率、治愈率等都是频率。显然，频率具有三个性质：对任一事件A，有0 1；必然事件的频率总等于1，记 =1；不可能事件的频率总等于0，记 =0。2020年9月28日412概率 定义2 在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p附近摆动，并且逐渐稳定于p，那么数p就表示事件发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作 P（A），即 2020年9月28日42例3 用某种药物对患有流感的600个病人进行治病，结果538人有明显疗效，现有某流感病人欲服此药，你对其效果作何估计？因为有明显疗效的频率是 ，我们近似地把它看成概率，所以，某流感病人若服此药其明显疗效约有89.7%的可能性。2020年9月28日433概率的性质性质性质1 事件的概率满足 0P（A）1性质性质2 必然事件 的概率是1，即P（）=1；性质性质3 不可能事件 的概率是0，即P（）=0 2020年9月28日44第二节第二节 概率的古典定义概率的古典定义 定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件A包含有其中的m个基本事件,称 为事件A的概率，记为P（A）2020年9月28日45 这个定义只适用于古典概型，所以称为概率的古典定义，定义本身给出了概率的求法，但 n 和 m 的计算要用到排列和组合的知识。例 一个笼子内有小白鼠5只，灰鼠3只，现要从中任取2只去做实验，求恰好取到1只白鼠，1只灰鼠的概率。解 假设每只鼠被取到的可能性都是相等的，那么现从8只鼠中任取2只，共有 种等可能的结果。设任取2只，恰好取到1只白鼠，1只灰鼠为事件A，那么事件A包含的基本事件共有 种。所以事件A的概率P（A）0.54 2020年9月28日46第三节第三节 概率的加法公式概率的加法公式 一、事件的并及互不相容事件1事件的并 定义1 在一次试验中事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件称为事件A与事件B的并（或和），记作AB或AB。2互不相容事件（也叫互斥事件）定义2 在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，则称A、B为互不相容事件。2020年9月28日47 为容易理解，我们用图72来表示互不相容性，若A、B为互不相容事件，则事件A、B没有相同的基本事件，在图中表现为事件A，B没有公共部分 一般地，在一次试验中，如果n个事件A1，A2，An的任何两个事件都不能同时发生，则称事件A1，A2，An为两两互不相容事件。图 7-2 2020年9月28日48二、互不相容事件的概率的加法公式 一般地，如果事件A1，A2，两两互不相容，则有P（）P（A1）P（A2）P（An）上述两个公式称为互不相容事件的概率加法公式。2020年9月28日49例 一个口袋中有红球4只，白球7只，黑球6只，黄球5只，从中任取一只，求取出的一只是红球或白球的概率。解 设任意取出一只球是红球为事件A，任意取出一只是白球为事件B，则AB表示取出的一只是红球或白球的事件。口袋中共有球476522只，而红球为4只，白球为7只，所以P（A）P（B）根据题意，事件A、B为互不相容事件，因此P（AB）P（A）P（B）2020年9月28日50定义3 在一次试验中，如果A、B互不相容，且AB，则称A、B为互逆事件（简称A，B互逆）事件A的逆事件记作 （也可记B ，或A ）。逆事件概率的计算公式 P（）1P（A）2020年9月28日51第四节第四节 概率的乘法公式概率的乘法公式 一、事件的交 定义1 在一次试验中事件A与事件B同时发生所构成的事件称为事件A与事件B的交（或积）记作AB（或AB），有时也简记为AB。2020年9月28日52二、条件概率与概率乘法公式二、条件概率与概率乘法公式 在实际问题中，除了要计算A的概率P（A）外，有时还需要计算在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率，这时用记号P（A|B）表示，由于增加了新的条件：“事件B已发生”，所以称P（A|B）为条件概率条件概率。概率的乘法公式乘法公式 P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）2020年9月28日53三、事件的独立性三、事件的独立性定义2 设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，且P（B）0，如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P（B|A）=P（B）则称事件B对事件A是独立的，否则称为不独立的。定理定理 两事件A、B相互独立的充要条件是 P（AB）=P（A）P（B）2020年9月28日54第五节第五节 n n次独立重复试验的概率次独立重复试验的概率 一、一、n n次独立重复试验次独立重复试验 在相同条件下，重复地做n次试验，如果满足：（1）每一次试验的结果都不影响其他各次试验的结果；（2）每一次试验只有两种可能的结果A或；（3）每次试验中事件A发生的概率都不变。则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验。2020年9月28日55二、伯努利概型公式 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率问题叫做伯努利概型。一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么这个事件在n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为 =，（k0,1,n）另外有 2020年9月28日56第六节第六节 概率在医学上的应用概率在医学上的应用 一、概率在临床决策分析中的作用二、化验方案的确定 2020年9月28日57谢谢您的指导THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！汇报人：云博图文日期：20XX年10月10日58