第十五讲-白噪声通过线性系统和等效噪声带宽分析课件

主要内容主要内容3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 窄带随机过程表示方法窄带随机过程表示方法3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性7/7/20241主要内容3.1 线性系统基本理论3.2 随机信号通过连续1、由于白噪声在数学上有很好的性质，由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白利用白 噪声作为实际噪声的模型噪声作为实际噪声的模型，任何随机信号与，任何随机信号与 白噪声结合都会使分析简单化。白噪声结合都会使分析简单化。2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声 通过某个线性系统的输出通过某个线性系统的输出，要研究平稳随机，要研究平稳随机 信号的统计特性，可以通过对白噪声通过系信号的统计特性，可以通过对白噪声通过系 统的输出进行分析来实现。统的输出进行分析来实现。3、研究白噪声通过系统的输出来研究白噪声通过系统的输出来衡量系统衡量系统性能。性能。为什么研究白噪声通过线性系统为什么研究白噪声通过线性系统?7/7/202421、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白 为什么研究白噪1 1 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 白噪声是具有白噪声是具有均匀均匀功率谱的功率谱的平稳平稳随机过程，当它通随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率过线性系统后，其输出端的噪声功率不再是均匀不再是均匀的。的。连续线性系统的传递函数为连续线性系统的传递函数为 或或 系统输入白噪声功率谱密度为系统输入白噪声功率谱密度为 系统输出功率谱密度为系统输出功率谱密度为 物理谱密度为物理谱密度为7/7/202431 白噪声通过线性系统分析 白噪声是具有均匀功率谱输出自相关函数为输出自相关函数为输出平均功率（系统输出冲击响应为实函数）为输出平均功率（系统输出冲击响应为实函数）为 上式表明，上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的频率特性输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的频率特性 决定，不再保持常数决定，不再保持常数 。主要是因为无线电系统都是具有一定选择性，系主要是因为无线电系统都是具有一定选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过。统只允许与其频率特性一致的频率分量通过。下面主要分析下面主要分析 的带宽。的带宽。7/7/20244输出自相关函数为输出平均功率（系统输出冲击响应为实函数）为 2 3dB带宽（半功率带宽）带宽（半功率带宽）如果系统特性为如果系统特性为低通低通：3dB带宽定义为幅频特性带宽定义为幅频特性 值下值下 降到最大值的降到最大值的 ，即，即 时的正频率，这时功率谱下降到峰值时的正频率，这时功率谱下降到峰值 功率谱的一半。功率谱的一半。低通信号的低通信号的3dB带宽带宽7/7/202452 3dB带宽（半功率带宽）如果系统特性为低通：3dB如果系统特性为如果系统特性为带通带通：3dB3dB带宽定义为幅频特性带宽定义为幅频特性 值下值下 降到降到 时时对应正频率的对应正频率的 差值。差值。带通信号的带通信号的3dB带宽带宽 3dB带宽对于幅频特性为单峰（在正频率范围内）的系带宽对于幅频特性为单峰（在正频率范围内）的系统非常有用，它是测量系统带宽普遍采用的标准。统非常有用，它是测量系统带宽普遍采用的标准。7/7/20246如果系统特性为带通：3dB带宽定义为幅频特性 值下3 等效噪声带宽等效噪声带宽 当系统特性当系统特性 比较复杂时，计算系统输出噪比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。声的统计特性是困难的。解决上述问题方法是：解决上述问题方法是：用一个幅频响应为矩形的用一个幅频响应为矩形的理想理想系统等效代替系统等效代替实际实际系统系统 。等效噪声带宽：定义为理想系统的带宽，用等效噪声带宽：定义为理想系统的带宽，用 表表示。示。7/7/202473 等效噪声带宽 当系统特性 等效噪声带宽按照以下等效原则计算：等效噪声带宽按照以下等效原则计算：（1）理想系统与实际系统在同一白噪声激励下理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系统的两个系统的输出平均功率相等输出平均功率相等。（2）理想系统的增益等于实际系统的理想系统的增益等于实际系统的最大增益最大增益。等效原则等效原则7/7/20248等效噪声带宽按照以下等效原则计算：（1）理想系统与实际系统在等效噪声带宽计算等效噪声带宽计算实际线性系统输出端总平均功率实际线性系统输出端总平均功率 理想线性系统的输出总平均功率理想线性系统的输出总平均功率 功率谱密度为功率谱密度为0w0w白噪声激励白噪声激励 7/7/20249等效噪声带宽计算实际线性系统输出端总平均功率 理想线低通系统低通系统通常通常的最大值出现在的最大值出现在 处处带通系统带通系统(中心频率中心频率 )的最大值出现在的最大值出现在 处处7/7/202410低通系统通常的最大值出现在 处带通系统(中拉氏变换拉氏变换 系统输出平均功率系统输出平均功率 7/7/202411拉氏变换 系统输出平均功率 8/13/202311等效噪声带宽仅由线性系统特性确定。等效噪声带宽仅由线性系统特性确定。当线性系统的结构形式和参数确定后，等效噪当线性系统的结构形式和参数确定后，等效噪声带宽与声带宽与3dB带宽相互之间具有确定的关系。带宽相互之间具有确定的关系。系统等效噪声带宽能够反映出系统输出噪声的系统等效噪声带宽能够反映出系统输出噪声的功率（使用功率（使用 计算系统的输出噪声功率），通常计算系统的输出噪声功率），通常作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。仅用仅用 和和 就可以描述复杂的线性系就可以描述复杂的线性系统及其噪声响应。统及其噪声响应。7/7/202412等效噪声带宽仅由线性系统特性确定。当线性系统的结构形例例 求如图求如图RC电路的等效噪声带宽和电路的等效噪声带宽和3db带宽带宽?7/7/202413例 求如图RC电路的等效噪声带宽和3db带宽?8/13/解解 RC电路传递函数为：电路传递函数为：于是可得：于是可得：则则 又由又由 得得 3db带宽为带宽为7/7/202414解 RC电路传递函数为：8/13/2023144 白噪声通过理想线性系统分析白噪声通过理想线性系统分析 理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的，工程理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的，工程上往往把一个上往往把一个实际系统等效成一个理想系统实际系统等效成一个理想系统，这样系统的，这样系统的带宽就是等效噪声带宽。带宽就是等效噪声带宽。白噪声通过白噪声通过理想理想低通低通线性系统线性系统白噪声通过白噪声通过理想理想带通带通线性系统线性系统白噪声通过白噪声通过理想理想高斯高斯线性系统线性系统7/7/2024154 白噪声通过理想线性系统分析 理想系统的等白噪声通过理想白噪声通过理想低通低通线性系统线性系统A0理想低通线性系统的幅频特性理想低通线性系统的幅频特性7/7/202416白噪声通过理想低通线性系统A0理想低通线性系统的幅频特性8/输入白噪声的物理谱：输入白噪声的物理谱：输出物理谱：输出物理谱：输出自相关函数：输出自相关函数：7/7/202417输入白噪声的物理谱：输出物理谱：输出自相关函数：8/13输出平均功率：输出平均功率：输出相关系数：输出相关系数：0低通系统输出相关函数低通系统输出相关函数7/7/202418输出平均功率：输出相关系数：0低通系统输出相关函数8/1输出相关时间：输出相关时间：结论结论功率谱的带宽变窄，由输入白噪声的频带无限宽变为输功率谱的带宽变窄，由输入白噪声的频带无限宽变为输 出随机信号带宽为出随机信号带宽为 。平均功率由输入端无限大变为输出端有限，且与系统带平均功率由输入端无限大变为输出端有限，且与系统带 宽宽 成正比。成正比。相关性由输入端不相关变为输出端相关。相关性由输入端不相关变为输出端相关。相关时间与系统带宽成反比。相关时间与系统带宽成反比。系统带宽越宽，相关时间系统带宽越宽，相关时间 越小，输出随机信号随时间变化越小，输出随机信号随时间变化(起伏起伏)越剧烈；反之，越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越 缓慢。缓慢。7/7/202419输出相关时间：结论8/13/202319白噪声通过理想白噪声通过理想带通带通线性系统线性系统A0理想带通线性系统的幅频特性理想带通线性系统的幅频特性7/7/202420白噪声通过理想带通线性系统A0理想带通线性系统的幅频特性8/输入白噪声的物理谱：输入白噪声的物理谱：输出物理谱：输出物理谱：输出相关函数：输出相关函数：理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与输出的相关函数与 的乘积。的乘积。7/7/202421输入白噪声的物理谱：输出物理谱：输出相关函数：输出自相关函数输出自相关函数 等于等于 与与 的乘积，其中的乘积，其中 只包含只包含 的成分。当的成分。当满足满足 时，即系统的中心频率远大于系统的时，即系统的中心频率远大于系统的带宽，这样的系统称为窄带系统。带宽，这样的系统称为窄带系统。与与 相比，相比，是是 的慢变化函数，而的慢变化函数，而 是是 的快变化函数。可见的快变化函数。可见 是是 的慢变化部分的慢变化部分 是是 的包络。而的包络。而 是是 的快变化部的快变化部分。分。7/7/202422 输出自相关函数 等于 理想带通系统输出的相关函数理想带通系统输出的相关函数t)(ta7/7/202423理想带通系统输出的相关函数t)(ta8/13/202323输出平均功率：输出平均功率：输出相关系数：输出相关系数：输出相关时间：输出相关时间：带通系统的相关时间是由相关系带通系统的相关时间是由相关系数数 的慢变部分定义的，因此带通系统的慢变部分定义的，因此带通系统 的相关时间与低通系统的相关时间的相关时间与低通系统的相关时间 一致。一致。相关时间与系统带宽成反比，相关时间与系统带宽成反比，表示输出窄带过程的包络表示输出窄带过程的包络随时间起伏变化的快慢程度。随时间起伏变化的快慢程度。7/7/202424输出平均功率：输出相关系数：输出相关时间：带通系统的相白噪声通过理想白噪声通过理想高斯高斯线性系统线性系统高斯带通系统的频率特性高斯带通系统的频率特性07/7/202425白噪声通过理想高斯线性系统高斯带通系统的频率特性08/13/输入白噪声的功率谱：输入白噪声的功率谱：输出功率谱：输出功率谱：输出相关函数：输出相关函数：7/7/202426输入白噪声的功率谱：输出功率谱：输出相关函数：8/13/2高斯系统输出相关函数高斯系统输出相关函数)(tat7/7/202427高斯系统输出相关函数)(tat8/13/202327等效噪声带宽：等效噪声带宽：输出平均功率：输出平均功率：输出相关系数输出相关系数:输出相关时间：输出相关时间：7/7/202428等效噪声带宽：输出平均功率：输出相关系数:输出相关时间：8