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2.1 三角形第2章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 三角形内角和与外角2.1 三角形第2章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180;2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、难点）3.了解三角形的外角及性质.学习目标1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180;学习目标我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新课导入新课情境引入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为1三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你能用数学的方法说明这个结论吗？还有其他的拼接方法吗？讲授新课讲授新课三角形的内角和及三角形按角的分类一探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你能用数学的方法说验证结论三角形三个内角的和等于180.说明：A+B+C=180.已知：ABC.方法1：过点A作lBC，B=1.(两直线平行,内错角相等)C=2.(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180，B+C+BAC=180.12验证结论三角形三个内角的和等于180.说明：A+B+方法2：延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.CBAED12方法2：延长BC到D，过点C作CEBA，CBAED12CBAEDF方法3：过D作DEAC,作DFAB.C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等)A+AED=180,AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.想一想：同学们还有其他的方法吗？CBAEDF方法3：过D作DEAC,作DFAB.想一想：思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.C A B 12345l A C B 12345l P 6m ABCDE思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？借助例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.ABCD解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得BAD=BAC=20.在ABD中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.典例精析例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=7【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数解：A50，B70，ACB180AB60.CD是ACB的平分线，BCD ACB30.DEBC，EDCBCD30，在BDC中，BDC180BBCD=80.【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A5例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.解：DEAB，FEA90在AEF中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又CFDAFE，CFD60.在CDF中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEA基本图形由三角形的内角和易得A+B=C+D.由三角形的内角和易得1+2=3+4.总结归纳4基本图形由三角形的内角和易得A+B=C+D.由三角形例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.解:设B为x，则A为(3x)，C为(x 15)，从而有3x x(x 15)180.解得 x 33.所以 3x 99，x 15 48.即 A，B，C的度数分别为99，33，48.和差倍分问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？因为三角形的内角和等于180，因此最多有一个直角或一个钝角.议一议 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；锐角三角形有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.钝角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；直角三角形直角边直角边斜边ABC直角三角形ABC可以写成RtABC；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；锐角三角形有一个角是钝在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形.练一练：在ABC中，A=35，B=43，则 C=.在ABC中，A=B+10,C=A+10,则 A=，B=，C=.102直角605070在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是三角形的外角的概念二u定义如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ACD是ABC的一个外角CBAD三角形的外角的概念二定义ACD是ABC的一个外角CBAD问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？E在三角形每个顶点处都有两个外角.ACD 与BCE为对顶角，ACD=BCE；CBADBCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.ACD是ABC的一个外角CBAD 每一个三角形都有6个外角总结归纳三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；ACDFABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？BEC是AEC的外角;AEC是BEC的外角;EFD是BEF和DCF的外角.练一练FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质三问题1 如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角ACB有什么关系？BCD与ACB互补.三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角相邻的内角不相邻的内角A+B+ACB=180，BCD+ACB=180，A+B=BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(D解：过C作CE平行于AB，ABC121=B，（两直线平行，同位角相等）2=A，（两直线平行，内错角相等）ACD=1+2=A+B.E已知：如图，ABC，试说明：ACD=A+B.验证结论D解：过C作CE平行于AB，ABC121=B，u三角形外角的性质：ABCD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.u应用格式：ACD是ABC的一个外角 ACD=A+B.知识要点三角形外角的性质：ABCD(三角形的外角等于与它不相邻的练一练：说出下列图形中1和2的度数：ABCD(80 60(21(1)ABC(2150 32(2)1=40,2=140 1=18,2=130 练一练：说出下列图形中1和2的度数：ABCD(80 例4 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求BFC 的度数.BEC是AEC的一个外角，BEC=A+ACE，A=42，ACE=18，BEC=60.BFC是BEF的一个外角，BFC=ABD+BEF，ABD=28，BEC=60，BFC=88.解：FACDEB例4 如图,A=42,ABD=28,ACE=18例5 如图，P为ABC内一点，BPC150，ABP20，ACP30，求A的度数解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数E例5 如图，P为ABC内一点，BPC150，解析：解：延长BP交AC于点E，则BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角，BPCPECPCE，PECABEA，PECBPCPCE 15030120.APECABE12020100.解：延长BP交AC于点E，【变式题】(一题多解)如图，A=51，B=20，C=30，求BDC的度数.ABCD(51 20 30 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.【变式题】(一题多解)如图，A=51，B=20，AABCD(20 30 解法一：连接AD并延长于点E.在ABD中，1+ABD=3，在ACD中，2+ACD=4.因为BDC=3+4，BAC=1+2，所以BDC=BAC+ABD+ACD=51+20+30=101.E)12)3)4你发现了什么结论？ABCD(20 30 解法一：连接AD并延长于点E.EABCD(51 20 30 E)1解法二：延长BD交AC于点E.在ABE中，1=ABE+BAE，在ECD中，BDC=1+ECD.所以BDC=BAC+ABD+ACD=51+20+30=101.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结ABCD(51 20 30 E)1解法二：延长B如图 ，试比较2、1的大小；如图 ，试比较3、2、1的大小.图图解：2=1+B,21.解：2=1+B,3=2+D,321.拓展探究三角形的外角大于与它不相邻的内角.如图 ，试比较2、1的大小；如图 ，试比较3当堂练习当堂练习1.求求出下列各图中的x值x=70 x=60 x=30 x=50 当堂练习1.求出下列各图中的x值x=70 x=60 x=302.（1）如图，BDC是_ 的外角,也是 的外角；(2)若B=45，BAE=36,BCE=20,试求AEC的度数.ABCDEADEADC解：根据三角形外角的性质有ADC=B+BCE,AEC=ADC+BAE.所以AEC=B+BCE+BAE=45+20+36=101.2.（1）如图，BDC是_ABCDEADE解：因为ADC是ABD的外角.3.如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD,ADC=80，BAC=70，求：（1）B 的度数；（2）C的度数.在ABC中，B+BAC+C=180，C=180-40-70=70.所以ADC=B+BAD=80.又因为B=BAD，ABCD解：因为ADC是ABD的外角.3.如图，D是ABC的4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数解：A+ADE=180，ABDE，CED=B=78又C=60，EDC=180-（CED+C）=180-（78+60）=424.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=1ABCDE12FG解：1是FBE的外角,1=B+E,同理2=A+D.在CFG中,C+1+2=180,A+B+C+D+E=180.5.如图，求A+B+C+D+E的度数.能力提升：ABCDE12FG解：1是FBE的外角,1=B+课堂小结课堂小结三角形三角形内角和定理三角形外角的性质锐角三角形直角三角形钝角三角形三个内角和为180三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和课堂小结三角形三角形内角和定理三角形外角的性质锐角三角形直角
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