第二章-状态空间表达式的解课件

第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第二章二章控制系统状态空间控制系统状态空间表达式的解表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4线性时变系统的解线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系1第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解一、定义：一、定义：运动的分类运动的分类1、自由运动自由运动：线性定常系统在没有控制作用时，由初始：线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称自由运动。条件引起的运动称自由运动。状态方程状态方程：2、强迫运动、强迫运动：线性定常系统在控制作用下的运动：线性定常系统在控制作用下的运动,称为强称为强迫运动。迫运动。状态方程状态方程：x x2.1 2.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解一、定义：x2.12第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解二、齐次状态方程的解二、齐次状态方程的解也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，设情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，设系统的状态方程的齐次部分为：系统的状态方程的齐次部分为：其中：其中：，且初始条件且初始条件为线性定常性定常连续系系统：第二章控制系统状态空间表达式的解二、齐次状态方程的解3（1 1）幂级数法）幂级数法标量定常微分方程标量定常微分方程 的解为：的解为：将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方程中去。假设程中去。假设 的解的解X(t)为时间为时间t的向量的向量幂级数形式，即：幂级数形式，即：第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解式中式中都是都是n n维向量，向量，则（1）幂级数法第二章控制系统状态空间表达式的解式中都4第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故而有：故而有：且有且有。第二章控制系统状态空间表达式的解故而有：5第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故故第二章控制系统状态空间表达式的解故6第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解定定义：则纯量微分方程量微分方程的解的解为，称称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上指数函数，而向量微分方程的解在形式上称称为矩矩阵指数函数。指数函数。与其是相似的，故把与其是相似的，故把第二章控制系统状态空间表达式的解定义：则纯量微分方程7第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解是由是由转移而来，移而来，对于于线性定常系性定常系统，又有状又有状态转移矩移矩阵之称，并之称，并记作作，即：，即：状状态转移矩移矩阵第二章控制系统状态空间表达式的解是由转移而来，对于线8将将 两端取拉氏两端取拉氏变换，有，有（2）拉普拉斯变换法：）拉普拉斯变换法：将两端取拉氏变换，有（2）拉普拉斯变换法：9第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知系已知系统的状的状态方程方程为 ，初始条件初始条件为 ，试求状求状态转移矩移矩阵和状和状态方程的解。方程的解。解：（）求状解：（）求状态转移矩移矩阵此题中：此题中：，第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知系统的状10第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解所以所以 ）状态方程的解）状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解所以）状11【例】【例】已知系统状态方程为已知系统状态方程为 ，第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解初始条件为初始条件为，试求状态方程的解。，试求状态方程的解。解：解：【例】已知系统状态方程为，第二12第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 故而故而 第二章控制系统状态空间表达式的解故而13第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.2 2.2 状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法是由是由转移而来，移而来，对于于线性定常系性定常系统，又有状又有状态转移矩移矩阵之称，并之称，并记作作，即：，即：若初始条件为若初始条件为，则状态转移矩阵记为：，则状态转移矩阵记为：一、一、状状态转移矩移矩阵1 1）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质第二章控制系统状态空间表达式的解2.2状态转移矩阵14第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解二、状二、状态转移矩移矩阵的性的性质性质一性质一或或这是组合性质，它意味着从这是组合性质，它意味着从-转移到转移到0 0，再从，再从0 0转转移到移到t t的组合，即的组合，即:第二章控制系统状态空间表达式的解二、状态转移矩阵的性15第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解性质二性质二上述二性质可由定义得到证明。上述二性质可由定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻本性质意味着状态矢量从时刻t又又转移到移到时刻刻t，显然，状然，状态矢量是不矢量是不变的。的。性质三性质三或或这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知转；利用这个性质，可以在已知x(t)x(t)的情况下，的情况下，求出小于时刻求出小于时刻t t的的x x(t t0),(t0t)第二章控制系统状态空间表达式的解性质二16第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解这个性质说明，这个性质说明，或或e eATAT矩矩阵和和A A矩矩阵是可以交是可以交换的。可由的。可由 得到得到A A性质四性质四对于状态转移矩阵，有对于状态转移矩阵，有或或 第二章控制系统状态空间表达式的解这个性质说明，17第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解令令 便可便可证明明 该性性质表明表明 可分解可分解为 与与 的乘的乘积，且且 与与 可交可交换相乘。相乘。性性质五五第二章控制系统状态空间表达式的解令便可18第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解性性质六六 证明：证明：(1)(2)(3)比比较（1）、（）、（3）式，有）式，有成立。成立。第二章控制系统状态空间表达式的解性质六证明：19第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解根据根据这一性一性质，可把一个，可把一个转移移过程分程分为若干个小若干个小的的转移移过程来研究。如下程来研究。如下图:第二章控制系统状态空间表达式的解根据这一性质，可把一20第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解性性质七七性质性质八八若矩阵若矩阵A A，B B可交换，即可交换，即ABABBABA，那么，那么 ，否则不成立。，否则不成立。第二章控制系统状态空间表达式的解性质七性质八21第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解根据定根据定义，比比较上述两展开式上述两展开式t t的各次的各次幂的系数可知，当的系数可知，当ABABBABA式，式，第二章控制系统状态空间表达式的解根据定义，22第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解三、几个特殊的状三、几个特殊的状态转移矩移矩阵1 1）第二章控制系统状态空间表达式的解三、几个特殊的状态转23第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2)2)第二章控制系统状态空间表达式的解2)24第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3 3）若矩阵）若矩阵A A为一约当矩阵，即为一约当矩阵，即第二章控制系统状态空间表达式的解3）若矩阵A为一约当25第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4 4）若矩阵）若矩阵A A通过非奇异矩阵通过非奇异矩阵P P化为对角线矩阵，即：化为对角线矩阵，即：,则：则：5)5)若若，则：，则：第二章控制系统状态空间表达式的解4）若矩阵A通过非奇26第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知状态转移矩阵为已知状态转移矩阵为 试求试求和和A A。解：（解：（1 1）根据状态转移矩阵的性质）根据状态转移矩阵的性质3 3，可知，可知 第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知状态转移27第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解（2 2）根据状态转移矩阵的性质）根据状态转移矩阵的性质4 4，可知，可知 第二章控制系统状态空间表达式的解（2）根据状态转移矩28第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知已知 试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵解：根据特殊状态转移矩阵的特点，可知解：根据特殊状态转移矩阵的特点，可知 。第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知29第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质解：利用性质2 2 所以该矩阵不是状态转移矩阵。所以该矩阵不是状态转移矩阵。，第二章控制系统状态空间表达式的解【例】验证如下矩阵30第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 【例】【例】已知系统状态方程为已知系统状态方程为，当当时，时，当当时，时，试求系统矩阵试求系统矩阵A A和状态转移矩阵和状态转移矩阵解：由性质解：由性质4 4可知：可知：由已知，有由已知，有 第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已31第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 第二章控制系统状态空间表达式的解32第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2 2）状态转移矩阵的计算方法）状态转移矩阵的计算方法1.1.直接法直接法2.2.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法3.3.化矩阵化矩阵A A为标准型法为标准型法第二章控制系统状态空间表达式的解2）状态转移矩阵的计33第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4.4.化矩阵指数化矩阵指数为为A A的有限项。的有限项。，则A A满足足1)Cayley-Hamilton1)Cayley-Hamilton定理定理设n n阶矩矩阵A A的特征多的特征多项式式为：其特征方程，即其特征方程，即:第二章控制系统状态空间表达式的解4.化矩阵指数为A34第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解可表示为可表示为A A的的状态转移矩状态转移矩阶多项式阶多项式式中，式中，均为幂函数。均为幂函数。推论推论2 2）化）化为为A A的有限项的有限项第二章控制系统状态空间表达式的解可表示为A的状态转移35第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3)3)的计算。的计算。(1)A(1)A的特征值互异时。的特征值互异时。第二章控制系统状态空间表达式的解3)的计算。(1)36第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解(2)A(2)A有重特征值时有重特征值时第二章控制系统状态空间表达式的解(2)A有重特征值时37第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知已知求求解：解：1.1.直接法直接法第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知38第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解39第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知已知，求，求解解:第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知，求解:40第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.2.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法【例】已知【例】已知，求，求 解解 第二章控制系统状态空间表达式的解2.拉普拉斯变换法41第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解所以所以 第二章控制系统状态空间表达式的解所以42第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3.3.化矩阵化矩阵A A为标准型法为标准型法 类似地，若矩似地，若矩阵A A可可变换为JordanJordan标准形，准形，则e eAtAt可由下式确定出可由下式确定出:e eAtAt=PePeJtJt P P11 若可将矩若可将矩阵A A变换为对角角线标准形，那么准形，那么e eAtAt可由下式可由下式给出出:第二章控制系统状态空间表达式的解3.化矩阵A为标准43第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】已知【例】已知，求，求第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知，求44第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解45第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】考虑如下矩阵考虑如下矩阵解解 该矩阵的特征方程为该矩阵的特征方程为因此，矩阵因此，矩阵A A有三个相重特征值有三个相重特征值=1=1。可以证明，。可以证明，矩阵矩阵A A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵向量）。易知，将矩阵A A变换为变换为JordanJordan标准形的变标准形的变换矩阵为换矩阵为第二章控制系统状态空间表达式的解【例】考虑如下矩阵解46第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解矩阵矩阵P P的逆为的逆为第二章控制系统状态空间表达式的解矩阵P的逆47第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解于是于是第二章控制系统状态空间表达式的解于是48第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解注意到注意到可得可得eAt=PeJtP 1第二章控制系统状态空间表达式的解注意到可得49第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】已知已知 ，求，求 解：解：根据前面有关内容，可知：根据前面有关内容，可知：第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知51设设 ，则，则得：得：得：得：得：得：第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解设，则第二章控制系统状态52第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解，第二章控制系统状态空间表达式的解，53第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解或由或由约旦形式直接写出旦形式直接写出变换阵 第二章控制系统状态空间表达式的解或由约旦形式直接54第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4.4.化矩阵指数化矩阵指数为为A A的有限项。的有限项。然后通过求待定时间函数获得然后通过求待定时间函数获得的方法。的方法。这种种利用利用凯莱凯莱-哈密尔顿定理，化哈密尔顿定理，化为A A的有限的有限项，方法相当系统，而且计算过程简单。方法相当系统，而且计算过程简单。【例】已知【例】已知，求，求第二章控制系统状态空间表达式的解4.化矩阵指数为A55第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解56第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解57第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4线性时变系统的解线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次58第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解给定定线性定常系性定常系统非非齐次状次状态方程方程为其中其中，且初始条件为且初始条件为解法：解法：1、直接积分法、直接积分法2、拉氏变换法、拉氏变换法第二章控制系统状态空间表达式的解2.3线性定常系统59第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解在上式两在上式两边左乘左乘e-At，可得，可得将上式由将上式由0积分到分到t，得，得求出其解求出其解为采用类似标量微分方程求解的方法，将上式写成采用类似标量微分方程求解的方法，将上式写成1、直接积分法、直接积分法第二章控制系统状态空间表达式的解在上式两边左乘e-A60第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解或或注意：若取注意：若取 作作为初始初始时刻，刻，积分可得：分可得：即：即：第二章控制系统状态空间表达式的解或注意：若取作为61第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2、拉氏变换法、拉氏变换法，两，两边同同时取拉氏取拉氏变换 则第二章控制系统状态空间表达式的解2、拉氏变换法，两边62第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解在此在此 视为 ，视为 ，则 由拉氏由拉氏变换卷卷积定理：定理：或或具体采用那个式子，视求解方便程度而定。具体采用那个式子，视求解方便程度而定。第二章控制系统状态空间表达式的解在此视63第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解非非齐次状次状态方程的解方程的解右右边第一第一项表示由表示由输入向量入向量为零零时，初始状，初始状态引引起的自由运起的自由运动，称，称为状状态方程的零方程的零输入响入响应；第；第二二项是初始状是初始状态为零零时，输入向量引起的的入向量引起的的强强制制运运动，称，称为状状态方程的方程的零状零状态响响应。第二。第二项的存的存在在为控制提供了控制提供了这样的可能性，即通的可能性，即通过选择输入入向量向量u(t)，使得，使得x(t)的形的形态满足期望的要求。足期望的要求。是由两部分组成：等式是由两部分组成：等式第二章控制系统状态空间表达式的解非齐次状态方程的解右64第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解当当u(t)为几种典型的控制输入时，即为几种典型的控制输入时，即脉冲信号输入；脉冲信号输入；阶跃信号输入；阶跃信号输入；斜坡信号输入斜坡信号输入；有如下形式。有如下形式。第二章控制系统状态空间表达式的解当u(t)为几种典65第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解11脉冲信号输入，即：脉冲信号输入，即：时时即：即：第二章控制系统状态空间表达式的解1脉冲信号输入，即66第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解22阶跃信号输入，即阶跃信号输入，即 即：即：第二章控制系统状态空间表达式的解2阶跃信号输入，即67第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解33斜坡信号输入，即斜坡信号输入，即 ，可以求得：，可以求得：第二章控制系统状态空间表达式的解3斜坡信号输入，即68第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】已知系【例】已知系统状状态方程方程为解：解：由已知由已知u(t)=1,u(t-)=1，则有有输入入，初始条件初始条件为试求解此非求解此非齐次状次状态方程。方程。，（1 1）先求）先求，由前面例，由前面例题可知可知 第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知系统状态方69第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解（2 2）求）求 第二章控制系统状态空间表达式的解（2）求70第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故而故而 或直接代入右式或直接代入右式 得得第二章控制系统状态空间表达式的解故而或直接代入右式71第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解%Examplegrid;xlabel(时间轴时间轴);ylabel(x代表代表x1，-*代表代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end第二章控制系统状态空间表达式的解%Example72第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解73第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.4线性时变系统的解线性时变系统的解系统微分方程中只要有一个系数是时间的连续函系统微分方程中只要有一个系数是时间的连续函数，便称为时变系统。数，便称为时变系统。线性时变连续系统动态方程的一般形式为线性时变连续系统动态方程的一般形式为:第二章控制系统状态空间表达式的解2.4线性时变系统74第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解研究时变系统比研究定常系统要复杂困难得多，研究时变系统比研究定常系统要复杂困难得多，这里只研究把定常的某些状态空间分析的理论推这里只研究把定常的某些状态空间分析的理论推广应用到时变系统中去，而传递函数和频率特性广应用到时变系统中去，而传递函数和频率特性在时变系统中推广是很困难的。在时变系统中推广是很困难的。在定常连续系统齐次状态方程的解析中，曾应用在定常连续系统齐次状态方程的解析中，曾应用与标量定常齐次微分方程解的类比方法导出矩阵与标量定常齐次微分方程解的类比方法导出矩阵指数及状态转移矩阵概念，这里也采用与标量时指数及状态转移矩阵概念，这里也采用与标量时变齐次微分方程解的类比方法来导出某些结果。变齐次微分方程解的类比方法来导出某些结果。第二章控制系统状态空间表达式的解研究时变系统比研究定75第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解一、时变齐次状态方程的解一、时变齐次状态方程的解标量时变齐次微分方程标量时变齐次微分方程用分离变量法，并在用分离变量法，并在取积分，有取积分，有解得解得第二章控制系统状态空间表达式的解一、时变齐次状态方程76即转移特性与即转移特性与a(t)以及以及t、t0有关。故时变系统有关。故时变系统的状态转移矩阵不再是形如的状态转移矩阵不再是形如，而是，而是第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解可见可见x(t)也是由也是由x(t0)转移而来，但转移特性不再转移而来，但转移特性不再是定常情况下的是定常情况下的，而是，而是，时变齐次状态方程为时变齐次状态方程为。即转移特性与a(t)以及t、t0有关。故时变系统的状态转移77第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解设其解设其解式中式中为时变系统状态转移矩阵。将解代为时变系统状态转移矩阵。将解代入原方程有入原方程有 故故当当t t=t t0 0时，由时，由有有第二章控制系统状态空间表达式的解设其解式中78是是应满足的微分方程及初始条件。应满足的微分方程及初始条件。第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解已知定常系统的已知定常系统的的幂级数表达式的幂级数表达式对于时变系统，可否用上述类似公式来表示？对于时变系统，可否用上述类似公式来表示？是应满足的微分方程及初始条件。第二79第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解80第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解81第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解82第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解83第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解84第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解85第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解线性性时变系系统状状态转移矩移矩阵是是满足如下矩足如下矩阵微分方程和初始条件微分方程和初始条件的解。的解。二、时变系统状态转移矩阵的性质二、时变系统状态转移矩阵的性质（1）时变系统状态转移矩阵）时变系统状态转移矩阵第二章控制系统状态空间表达式的解线性时变系统状态转移86第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2、；（2）线性性时变系系统状状态转移矩移矩阵的几个重要性的几个重要性质1、证证又又有有第二章控制系统状态空间表达式的解2、；（2）线性时变87第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3、；该性质表明该性质表明必有逆，必有逆，x(t0)至至x(t1)的状态转移的状态转移矩阵是矩阵是x(t1)至至x(t0)的状态转移矩阵的逆阵。的状态转移矩阵的逆阵。该性质表明，该性质表明，x(t0)转移至转移至x(t2)的转移特性，可的转移特性，可分解为分解为x(t0)至至x(t1)及及x(t1)至至x(t2)的分段转移特的分段转移特性，或者说性，或者说x(t0)至至x(t1)及及x(t1)至至x(t2)的转移的转移特性，可合成为特性，可合成为x(t0)至至x(t2)的转移特性。的转移特性。第二章控制系统状态空间表达式的解3、；该性质表明88第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解三、时变非齐次状态方程的解三、时变非齐次状态方程的解设其解为设其解为对上式求导有：对上式求导有：设其解为设其解为故故第二章控制系统状态空间表达式的解三、时变非齐次状态方90第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解又又所以所以第二章控制系统状态空间表达式的解又所以91第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解若考虑时变系统输出方程为若考虑时变系统输出方程为则时变系统输出响应函数为则时变系统输出响应函数为第二章控制系统状态空间表达式的解若考虑时变系统输出方92第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第二章二章控制系统状态空间控制系统状态空间表达式的解表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4线性时变系统的解线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解第二章控制系93第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.5 2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解离散离散时间状状态空空间表达式表达式为第二章控制系统状态空间表达式的解2.5离散时间系统94第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解离散系统状态方程描述了离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与时刻的状态与kT时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了方程描述了kT时刻的输出量与时刻的输出量与kT时刻的状态、输时刻的状态、输入量之间的关系。入量之间的关系。离散时间系统状态方程求解方法：离散时间系统状态方程求解方法：递推法（迭代法），递推法（迭代法），对定常、时变系统都适用对定常、时变系统都适用；Z变换法，变换法，只适用于定常系统。只适用于定常系统。第二章控制系统状态空间表达式的解离散系统95第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解1）递推法求解离散推法求解离散时间系系统的状的状态方程方程线性定常离散性定常离散时间系系统的状的状态方程方程为：用用递推法解上面矩推法解上面矩阵差分方程，即依次取差分方程，即依次取，得：，得：第二章控制系统状态空间表达式的解1）递推法求解离散时96第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解即即即为线性定常离散时间系统的状态方程的解即为线性定常离散时间系统的状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解即97第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解当初始时刻为当初始时刻为h时，同理可推出：时，同理可推出：或或离散系统的解可记为：离散系统的解可记为：其中其中称称为线性定常离散系性定常离散系统的状的状态转移移。矩阵，记为矩阵，记为（满足：足：；）第二章控制系统状态空间表达式的解当初始时刻为h时，同98第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系【例】已知某离散系统的状的状态方程是：方程是：，初始状，初始状态，试用用递推法求解推法求解。，解：解：第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系统99第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解显然，用然，用递推法求解所得到的不是一个封推法求解所得到的不是一个封闭的解的解析形式，而是一个解序列。析形式，而是一个解序列。第二章控制系统状态空间表达式的解显然，用递推法求解所100第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2）Z变换法求解离散法求解离散时间系系统的状的状态方程方程设定常离散系定常离散系统的状的状态方程是：方程是：两两边取取Z变换：，整理有，整理有两两边取取Z反反变换：第二章控制系统状态空间表达式的解2）Z变换法求解离散101第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系【例】已知某离散系统的状的状态方程是：方程是：，初始状，初始状态，试用用Z变换法求解法求解。第二章控制系统状态空间表达式的解【例】已知某离散系统102第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解解：解：第二章控制系统状态空间表达式的解解：103第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解而而 第二章控制系统状态空间表达式的解而104第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 对取取z反反变换，有，有第二章控制系统状态空间表达式的解对105第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.6 2.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化离散化的目的离散化的目的数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值上是整量化的，而且在时间上是离散化的。如果采上是整量化的，而且在时间上是离散化的。如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须先将其化为离散时间状态方程。当然，在对连续受先将其化为离散时间状态方程。当然，在对连续受控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。模型的受控对象离散化的问题。在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。散化。第二章控制系统状态空间表达式的解2.6线性连续系统106第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解）线性定常系统的离散化状态方程）线性定常系统的离散化状态方程第二章控制系统状态空间表达式的解）线性定常系统的离107第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 记令令则代换后有则代换后有第二章控制系统状态空间表达式的解108第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故离散化状故离散化状态方程方程为：输出方程出方程为：其中：其中：，第二章控制系统状态空间表达式的解故离散化状态方程为：109第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】试写出写出连续时间系系统 采样周期为采样周期为T的离散化状态方程。的离散化状态方程。解：先求解：先求第二章控制系统状态空间表达式的解【例】试写出连续时间110第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解111第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 所以：所以：第二章控制系统状态空间表达式的解所以：112第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解线性时变连续系统动态方程的一般形式为：线性时变连续系统动态方程的一般形式为：在在x(t0)及及u(t0)作用下的解为作用下的解为令令t0=KT时的状态时的状态x(tk)作为初始状态；在作为初始状态；在t tk，tk+1有有）线性时变系统的离散化状态方程）线性时变系统的离散化状态方程第二章控制系统状态空间表达式的解线性时变连续系统动态113第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解则则tk+1时刻的状态为时刻的状态为记记故线性时变系统的离散化状态方程为故线性时变系统的离散化状态方程为式中式中表示表示x(k)至至x(k+1)的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。上式可用递推法求解。上式可用递推法求解。第二章控制系统状态空间表达式的解则tk+1时刻的状态114第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解离散化输出方程为离散化输出方程为当所选取的采样周期当所选取的采样周期T，比系统中最小时间常数，比系统中最小时间常数还要小一个数量级时，可认为在相邻采样间隔还要小一个数量级时，可认为在相邻采样间隔内其时变参数变化很小，可近似当作定常问题内其时变参数变化很小，可近似当作定常问题来处理。来处理。第二章控制系统状态空间表达式的解离散化输出方程为当115第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故近似的时变离散化方程为故近似的时变离散化方程为于是于是可转化为可转化为对于对于t tk，tk+1有有即即第二章控制系统状态空间表达式的解故近似的时变离散化方116第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解本本章章小小结结系统运动的分析是通过求系统方程的解来进行系统运动的分析是通过求系统方程的解来进行的。状态方程是矩阵微分的。状态方程是矩阵微分(差分差分)方程，输出方程方程，输出方程是矩阵代数方程。因此，求系统方程的解的关键是矩阵代数方程。因此，求系统方程的解的关键在于求状态方程的解。在于求状态方程的解。线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解本章小结线117第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解线性系统方程求解是借助状态转移矩阵来表示的。本章介线性系统方程求解是借助状态转移矩阵来表示的。本章介绍了状态转移矩阵的定义、基本性质和求解方法。重点介绍了状态转移矩阵的定义、基本性质和求解方法。重点介绍了线性定常系统状态转移矩阵的四种计算方法。有了状绍了线性定常系统状态转移矩阵的四种计算方法。有了状态转移矩阵，就可以求出系统在初始状态激励下的自由运态转移矩阵，就可以求出系统在初始状态激励下的自由运动动(齐次状态方程的解齐次状态方程的解)以及在输入向量作用下的强迫运动以及在输入向量作用下的强迫运动(非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解)。线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解齐次状态方程的解齐次状态方程的解状态转移矩阵的运算性质及其求解状态转移矩阵的运算性质及其求解非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解线性系统方程求解是借118第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解线性时变连续系统动态方程的解线性时变连续系统动态方程的解时变齐次状态方程的解时变齐次状态方程的解时变系统状态转移矩阵的性质时变系统状态转移矩阵的性质时变非齐次状态方程的解时变非齐次状态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解线性时变连续系统动态119定常离散动态方程的解定常离散动态方程的解线性时变连续系统的离散化动态方程及其近似线性时变连续系统的离散化动态方程及其近似第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解线性离散系统动态方程的解线性离散系统动态方程的解定常连续动态方程的离散化定常连续动态方程的离散化其中：其中：，定常离散动态方程的解第二章控制系统状态空间表达式的解120第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解系统自由运动轨线的形态是由状态转移矩阵决定系统自由运动轨线的形态是由状态转移矩阵决定的，也就是由的，也就是由A唯一决定的。然而对一个系统来唯一决定的。然而对一个系统来说，说，A是一定的，因此只有靠人为地采取措施是一定的，因此只有靠人为地采取措施(如如状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈)来改造自由运动的形态。来改造自由运动的形态。状态状态x(t)求出后，即可求出系统的输出求出后，即可求出系统的输出y(t)。不同。不同的输入向量，响应的输入向量，响应y(t)不同。但是只要有了不同。但是只要有了y(t)就就可以按经典控制理论中介绍的时域分析法来定量可以按经典控制理论中介绍的时域分析法来定量地分析系统的性能。由于这个响应地分析系统的性能。由于这个响应y（t）是针对）是针对某个控制某个控制u（t）而言的，这就为用）而言的，这就为用u（t）来达到）来达到希望的希望的y(t)形态提供了可能。形态提供了可能。第二章控制系统状态空间表达式的解系统自由运动轨线的形121第第二章二章控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第二章控制系统状态空间表达式的解122