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二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布二维随机变量及其分布第三章 二维随机变量及其联合分布边缘分布1例如例如 E E：抽样调查：抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自的性各自的性质，质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为记为(X,Y),称为称为二维二维随机变（向）量随机变（向）量。例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重2 设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量，则称向量量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A 设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量3二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若（X，Y）是是随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.n n定义定义定义定义称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数n n性质性质性质性质(3)(x,y)二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，定义称为二4x1x2y1y2 P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y Y y y2 2）=F(x=F(x2 2,y,y2 2)-F(x)-F(x2 2,y,y1 1)-F(x)-F(x1 1,y,y2 2)+F(x)+F(x1 1,y,y1 1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y y y2 2）F(xF(x2 2,y,y2 2)-F(x-F(x2 2,y,y1 1)-F(x-F(x1 1,y,y2 2)+F(x+F(x1 1,y,y1 1)x1x2y1y2 P（x1 X x2，y1 Y5二维离散型随机二维离散型随机变量变量 若二维若二维 随机变量随机变量 （X X，Y Y）的所有可能的所有可能取值只有限对或可列对，则称取值只有限对或可列对，则称（X X，Y Y）为为二维离二维离散型随机变量。散型随机变量。如何反映（如何反映（X X，Y Y）的取值规律呢？）的取值规律呢？n n定义定义定义定义n研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。二维离散型随机变量 若二维 随机变量（X，Y6（X X，Y Y）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）n n表达式形式表达式形式表达式形式表达式形式。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。n n表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）性质性质 （X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式。.。7 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次依次标有数字有数字1，2，2，从中任从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设每次取球每次取球时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分以、分别记第一次和第二次取到的球第一次和第二次取到的球上上标有的数字，有的数字，求求的的联合分布列合分布列.的可能取的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).，(1/3)(2/2)(1/3)(2/2)1/31/3，(2/3)(1/2)(2/3)(1/2)1/31/3，=(2/3)(1/2)=(2/3)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例解解 一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，8 见书P69，习题1的可能取的可能取值为例例解解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（，（2，0）（X，Y）的）的联合分布律为联合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200 见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)9 若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对，使对任意实数任意实数x x，y y，二元随机变量，二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分的分布函数布函数 可表示成如下形式可表示成如下形式 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随机变量称为二元随机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 n n定义定义定义定义 若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y10联合概率密度函数联合概率密度函数的性质的性质n非负性非负性n n几何解释几何解释几何解释几何解释n.n.随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 联合概率密度函数的性质非负性几何解释.随机事件的概率=曲顶11设二二维随机随机变量量的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(2)求求的分布函数；的分布函数；.(4)求求例例设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数 k；(2)12(1)所以所以 解解 (1)所以 解 13(2)当当 时，时，当当 时，时，所以，所以，(2)当 14(3)4 1或解或解 (3)4 1或解 15(4)(4)16224例例 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 求概率求概率 解解 1224例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概17续解续解 .x+y=3 续解 .x+y=3 18思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 求概率求概率 2241解答解答 思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概率 19二维均匀分布二维均匀分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中二维均匀分布设二维随机变量 的概率密度为 上服从均匀分布.20 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求（区域。求（1）分布函数；（）分布函数；（2）解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 y=2x+1-1/2 （1）当）当 时，时，分布函数为分布函数为 思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D21y=2x+1-1/2 （2）当）当 时，时，y=2x+1-1/2 （2）当 22y=2x+1-1/2 （3）当）当 时，时，y=2x+1-1/2 （3）当 23所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 所以，所求的分布函数为 240.5y=2x+1-1/2 0.5y=2x+1-1/2 25二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 其中其中均为参数均为参数 则称则称 服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布 二维正态分布设二维随机变量 的概率密度为 其中均为参数 则称26边缘分布随机变量的相互独立性27边缘分布边缘分布 marginal distribution 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布 marginal distribution 28边缘分布边缘分布 marginal distribution 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数边缘分布 marginal distribution 设二维29二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布如果二维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）30二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布31二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布32二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布二维离散型R.v.的边缘分布例1 设二维离散型随机变量（33关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列）的联合分布列 关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解 34二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 n关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 二维连续型随机变量的边缘分布 关于X的边缘概率密度为 关35例例2 2 设（设（X,Y）的联合密度为）的联合密度为求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数解解由由 得得 当当 时时 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113例2 设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度36113解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 时时 当当 时时 当当 时时 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113解所以，关于X的边缘分布密度为 所以，关于Y的边37边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（设（X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 （1）求）求k值值(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为38(2)均匀分布均匀分布解解 (1)由由 得得 当当 时时-11(2)均匀分布解 (1)由 得 当 39当当 时时 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 .当 时 所以40-11解解 当当 时时当当 时时 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11解 当 时当 41解解 （3）解 （3）42见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布见课本P59例3 如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布43例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于44所以，所以，同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布所以，同理可得 不同的联合分布，可可见，45随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 n n定义定义定义定义 设（设（设（设（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为）的联合分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)F(x,y)，两个，两个，两个，两个边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为F F F FX X X X(x),F(x),F(x),F(x),FY Y Y Y(y)(y)(y)(y)，如果对于，如果对于，如果对于，如果对于任意的任意的任意的任意的x,yx,yx,yx,y都有都有都有都有F(x,y)=FF(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y)，则称随机变量则称随机变量则称随机变量则称随机变量X X，Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立。对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 随机变量的相互独立性 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该46 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是相互独立的，进而是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是相互独立的前提下是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，47设（设（X，Y）的概率分布（律）为）的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1 2/5 1/5 2/5 p.j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi.2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1 48证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互独立相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0-1 X 2/4 1/4 1/4 Pj.2 1 1/2 Y证 X与Y的边缘分布律分别为X、Y相互独立 2/5 49例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求(1)P(1)P（0X1 0X1，0Y10Y1）(2)(X,Y)(2)(X,Y)的边缘密度，的边缘密度，（3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1，0y10y1）11例2 设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0X150 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时当当 时时所以，所以，同理可得同理可得 边缘密度函数分别为当 时当51所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。所以 X 与 Y 相互独立。52例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分解 53当当 时，时，所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时当 时，所以，关于X54当当 时，时，所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 当当 或或 时时当 时，所以，关于Y55所以所以 所以，所以，X与与Y不独立不独立。所以 所以，X与Y不独立。56 设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例4 4 时时时时解解 设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证 X 与 Y 独57于是于是同理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。时时时时于是同理所以即 X 与 Y 独立。时58二维随机变量的函数的分布59二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布函数为其联合分布函数为 是随机变量是随机变量 的二元函数的二元函数 n 的分布函数的分布函数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？二维随机变量的函数的分布设 是二维随机变量,其联合分布函数60二维离散型随机变量的函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其联合分布列为其联合分布列为 则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 二维离散型随机变量的函数的分布设 是二维离散型随机变量,其联61例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的的分布列分布列例 设 的联合分布列为 62解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格 概率1/1263解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12解 得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-164二维连续型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 二维连续型随机变量的函数的分布设 是二维连续型随机变量,其联65例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解解例 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量 Z66例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数解解 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 例 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量 Z67两个随机变量的和的分布两个随机变量的和的分布见课本见课本P67P67例例1 1 如果（如果（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 两个随机变量的和的分布见课本P67例1 如果（X，68记记 住住 结结 论！论！两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立记 住 结 论！两个独立随机变量的和的分布69例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独立，且XB（n,p），），YB（m,p），则），则X+YB（n+m,p）证明证明 X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n.证毕证毕 例 证明：如果X与Y相互独立，且XB（n,p），证明 70第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u数学期望数学期望u方差方差u*协方差与相关系数协方差与相关系数u大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第四章 随机变量的数字特征数学期望方差*协方差与相关系数71数学期望的引例数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如例如：某：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 数学期望的引例Mathematical Expectatio72数学期望数学期望E(X)Mathematical ExpectationMathematical Expectation定义定义 设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 u离散型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作E（X），即），即 数学期望E(X)Mathematical Expectati73XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的分布律的分布律：例例 求数学期望求数学期望E（X）解解 XP41/451/261/4数学期望的计算已知随机变量X的分74连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望E(X)E(X)u连续型随机变量连续型随机变量定义定义设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x),则则即即 连续型随机变量的数学期望E(X)连续型随机变量定义设连续型随75数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为例例 求数学期望。求数学期望。解解 数学期望的计算已知随机变量X的密度函数为例 求数学期望。76数学期望的意义 试验次数较大时，试验次数较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动数学期望又可以称为数学期望又可以称为期望值期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是是X的的可能值以其相应概率的加权平均。可能值以其相应概率的加权平均。数学期望的意义 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 数学77二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离78设设(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为例例(1)求求k(2)求求X和和Y的边缘密度的边缘密度(3)求求E(X),E(Y).设(X,Y)的联合密度为例(1)求k(2)求X和Y的79(1)由由解解所以所以所以所以得得1 11 13 3时时时时(2)(2)(1)由解所以所以得113时(2)80（）（）时时时时113（）时113811 11 13 3（）另解（）另解无需求无需求边缘分布密度函数边缘分布密度函数 113（）另解无需求82随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理 1：一维情形：一维情形设设设设是随机变量是随机变量 X的函数的函数,离散型离散型离散型离散型连续型连续型连续型连续型概率密度为概率密度为随机变量的函数的数学期望定理 1：一维情形设是随机变量 X的83服从服从 已知已知上的均匀分布，求上的均匀分布，求的数学期望。的数学期望。因为因为 所以所以 例例 解解服从 已知上的均匀分布，求的数学期望。因为 所以 例 解84随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理 2：二维情形：二维情形联合概率密度为联合概率密度为设设设设 是随机变量是随机变量 X，Y的函数的函数,连续型连续型连续型连续型离散型离散型 随机变量的函数的数学期望定理 2：二维情形联合概率密度为设 851 15 5例例 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量X X，Y Y的密度函数分别为的密度函数分别为 求求E（XY）解解 15例 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为 求E（86数学期望的性质数学期望的性质相互独立时相互独立时u当随机变量当随机变量 u.C C 为为常数常数 u.u.数学期望的性质相互独立时当随机变量 .C 为常数 .87设（设（X,YX,Y）在由）在由4 4个点（个点（0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(XE(X+Y),E(X2 2)E(YE(Y2 2),E(XY).),E(XY).3 30 02 2答案：答案：设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2),30880-1分布的数学期望分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布，则则E(X)=p分布律分布律数学期望数学期望0-1分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为P(X=189If XB(n,p),then E(X)=np二项分布的数学期望二项分布的数学期望分布律分布律X X服从服从二项分布，二项分布，其概率分布为其概率分布为数学期望数学期望二项分布可表示为二项分布可表示为个分布的和个分布的和其中其中 则则 If XB(n,p),then E(X)=90泊松分布的数学期望泊松分布的数学期望If ,then 分布律分布律数学期望数学期望泊松分布的数学期望If 91均匀分布的期望均匀分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望均匀分布的期望分布密度数学期望92 X N(，2）正态分布的期望正态分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望 X N(，2）正态分布的期望分布密度数学期望93指数分布的期望指数分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望指数分布的期望分布密度数学期望94数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较数学期望在医学上的一个应用An application of95 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(96 1、概率、概率p对是否分组的影响对是否分组的影响问题的进一步讨论问题的进一步讨论若若p=0.2，则，则当当p0.2057时，时，E(X)10 2、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证EX10.当当p=0.1时，为使时，为使 1、概率p对是否分组的影响问题的进一步讨论若p=0.2，则97例例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为为p p1 1和和p p2 2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p p1 1+p p2 2设产生故障的仪器数目为设产生故障的仪器数目为X X则则X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1解解所以所以 例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p298方差99方方 差差 的的 引引 入入E(X1)=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E(X2)=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：两种产品的直径均值是相同的，但产品两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直径为如果需要使用直径为5的产品，则产品的产品，则产品1较产品较产品2理想。理想。方 差 的 引 入E(X1)=5 X2P 2 100方差（方差（Variance）的定义）的定义u 定义定义 u均方差（标准差）均方差（标准差）与与 有相同的量纲有相同的量纲 设设 是一随机变量，如果是一随机变量，如果 存在，则称存在，则称为为 的方差，记作的方差，记作 或或 即即 方差（Variance）的定义 定义 均方101方差的计算公式方差的计算公式Proof.方差的计算公式Proof.102一维随机变量的方差一维随机变量的方差设设离散型离散型随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为u离散型离散型u连续型连续型设设连续型连续型随机变量随机变量X的分布密度为的分布密度为 f(x)其中其中 一维随机变量的方差设离散型随机变量X的概率分布为离散型连续型103方方 差差 的的 计算计算E(X1)=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E(X2)=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：求求D(X1),D(X2)解解 方 差 的 计算E(X1)=5 X2P 2 1040-1分布的方差分布的方差XP0 11-p pu分布律分布律u方差方差其中其中 0-1分布的方差XP0 11-p p分105二项分布的方差二项分布的方差If X B(n,p),then D(X)=n p(1-p)u分布律分布律u方差方差X B(n,p)其中其中 推导？推导？二项分布的方差If X B(n,p),t106泊松分布的方差泊松分布的方差If then u分布律分布律u方差方差推导？推导？泊松分布的方差If then 分布律方差推导？107均匀分布的方差均匀分布的方差u分布密度分布密度u方差方差均匀分布的方差分布密度方差108正态分布的方差正态分布的方差u分布密度分布密度u方差方差正态分布的方差分布密度方差109指数分布的方差指数分布的方差u分布密度分布密度u方差方差指数分布的方差分布密度方差110常见分布及其期望和方差列表常见分布及其期望和方差列表P84 分布名称分布名称 数学期望数学期望E（X）方差方差D（X）0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布 指数分布指数分布 常见分布及其期望和方差列表P84 分布名称 111方差的计算步骤方差的计算步骤Step 1:计算期望计算期望 E(X)Step 2:计算计算 E(X2)Step 3:计算计算 D(X)离散型离散型 连续型连续型 离散型离散型 连续型连续型 方差的计算步骤Step 1:计算期望 E(X)Step 2112方差的性质方差的性质相互独立时相互独立时 u 当随机变量当随机变量C C 为为常数常数u u a为为常数常数证明证明 方差的性质相互独立时 当随机变量C 113二维随机变量的方差二维随机变量的方差u(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量 二维随机变量的方差(X,Y)为二维离散型随机变量 114二维随机变量的方差二维随机变量的方差 u(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量 二维随机变量的方差 (X,Y115是两个相互独立的随机变量，其概率密度是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为分别为求求.解解 因为因为 相互独立，所以相互独立，所以 而而 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求.练一练解 因116所以所以 所以 117例例 某地出产的某品种的苹果的总量某地出产的某品种的苹果的总量X X服从正态分布。服从正态分布。若若E(X)=148,D(X)=16E(X)=148,D(X)=162 2.写出写出X X的分布律和概率密的分布律和概率密度，并用积分表示度，并用积分表示解解 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为2，方差为，方差为2的正态的正态分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 例 某地出产的某品种的苹果的总量X服从正态分布。若E(X)=118解解 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为2，方差为，方差为2的正态的正态分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX set c1DATA 87 88 111 91 73 70 92 98 105 94 99 91 98 DATA 110 98 97 83 90 83 92 88 86 94 102 99 89 104 DATA 94 94 92 96 87 94 92 86 102 88 75 90 90 80 DATA 84 91 82 94 99 102 91 96 94 94 85 88 80 83 DATA 81 69 95 80 97 92 96 109 91 80 80 94 102 DATA 80 86 91 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77 103DATA 89 88 85 95 92 104 92 95 83 86 81 86 91 89 83 DATA 96 86 75 92MTB endMTB describe c1例例1 DOS状态下的状态下的MINITAB操作操作 MTB set c1例1 DOS状态下的MINITA171显示：显示：N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV C1 100 90.300 91.000 90.322 8.288 SEMEAN MIN MAX Q1 Q3 C1 0.829 69.000 111.000 85.250 95.000中位数中位数 第一四分位数第一四分位数 第三四分位数第三四分位数 显示：中位数 第一四分位数 第三四分位数 172 MTBCODE(67.5:72.49)70 (72.5:77.49)75 (77.5:82.49)80 (82.5:87.49)85 (87.5:92.49)90 (92.5:97.49)95 (97.5:102.49)100 (102.5:107.49)105 (107.5:112.49)110 C1 C2MTBTALLY C2;SUBCALL.将将C1数据列重新编码，数据列重新编码，并保存到并保存到C2数据列数据列显示各列数据的频数、显示各列数据的频数、累计频数、频率、累计频率累计频数、频率、累计频率 MTBCODE(67.5:72.49)70 (72.173C2 COUNTS CUMCNTS PERCENTS CUMPCENTS （频数）（频数）（累计频数）（累计频数）（频率）（频率）（累计频率）（累计频率）1 2 0.02 0.02 5 7 0.05 0.07 10 17 0.10 0.17 18 35 0.18 0.35 30 65 0.30 0.65 18 83 0.18 0.83 10 93 0.10 0.93 4 97 0.04 0.97 3 100 0.03 1.00显示结果显示结果 C2 COUNTS CUMCNTS PERCEN174作业作业 习题五习题五 P111 2；3；4预习预习 第三节第三节 统计量的分布统计量的分布作业 习题五 P111175统计量的分布176 统计量统计量 是样本是样本 的的不含任何未知数不含任何未知数的函数，它是一个随机变量的函数，它是一个随机变量统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布.由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用.统计量 是样本 177正态总体样本均值的分布正态总体样本均值的分布 设总体设总体 ，是是 的一个的一个样本样本,则则样本均值服从正态分布样本均值服从正态分布UU分布分布 正态总体样本均值的分布 设总体 178概率分布的分位数概率分布的分位数(分位点分位点)使使PXx =，定义定义对总体对总体X和给定的和给定的 (0 1)，若存在，若存在x，则称则称x 为为X分布的分布的上侧上侧 分位数分位数或或上侧临界值上侧临界值.如图如图.x oyxPXx =若存在数若存在数 1、2，使，使PX 1=PX 2 则称则称 1、2为为X分布的双分布的双侧侧 分位数或双侧临界值分位数或双侧临界值.oyx 2 1概率分布的分位数(分位点)使PXx=，定义对总体179双侧双侧 分位数或双侧临界值的特例分位数或双侧临界值的特例当当X的分布的分布关于关于y y轴对称轴对称时，时，则称则称 为为X分布的分布的双侧双侧 分位数分位数或或双侧临界值双侧临界值.如图如图.若存在若存在 使使yxO双侧 分位数或双侧临界值的特例当X的分布关于y轴对称时，则180UU分布的上侧分位数分布的上侧分位数 对标准正态分布变量对标准正态分布变量UN(0,1)和给定和给定 的，上侧的，上侧 分位数是由：分位数是由：PUu =即即PU30时，时，t分布与标准正态分布分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近就非常接近.但对较小的但对较小的n值，值，t分布与标准正态分布之间有较大分布与标准正态分布之间有较大差异差异.且且P|T|t0P|X|t0，其中，其中X N(0，1)，即，即在在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率率.t 分布的数学期望与方差（补充）分布的数学期望与方差（补充）设设Tt(n)，则，则E(T)=0，D(T)=当n较大时，t分布近似于标准正态分布.一194定理定理5.2 设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量的样本，则统计量证证由于由于与与S 2相互独立，且相互独立，且 由定义由定义5.4得得定理5.2设(X1，X2，Xn)为来自正态总体证由于与S195定理定理5.3 设设(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2)分分别是来自正态总体别是来自正态总体N(1，2)和和N(2，2)的样本，的样本，且它们相互独立，则统计量且它们相互独立，则统计量其中其中、分别为两总体的样本方差分别为两总体的样本方差.(证略证略).定理5.3 设(X1，X2，Xn1)和(Y196t t 分布的上分布的上 分位数分位数对于给定的对于给定的 (0 1)，称满足条件，称满足条件 的数的数t(n)为为t分布的分布的上上 分位数或上侧临界值分位数或上侧临界值，其几何意义见图其几何意义见图5-7.f(t)tOt(n)图图5-7t 分布的上分位数对于给定的(0 45时，如无详细表格可查，可以用标准正时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替态分布代替t分布查分布查t(n)的值的值.即即t(n)u ，n45.一般的一般的t分布临界值表中，详列至分布临界值表中，详列至n=30，当，当n30就用标准正态分布就用标准正态分布N(0,1)来近似来近似.在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表.例如，当n199四、四、F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布，分布，定义定义5.5 设随机变量设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且与相互独立，则称随机变量与相互独立，则称随机变量 记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数其中其中其图形见图其图形见图5-9.(P108)四、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定200性质性质：若：若XF(n1，n2)，则，则F(n2，n1).F 分布的上分布的上 分位数分位数对于给定的对于给定的 (0 =0.1,求求 .解解 因为因为n=10，n-1=9，2=42，所以所以 2(9).又又PS2 =0.1，所以所以查表查表14.684.故故 14.684x26.105例3 设总体XN(,42)，X1，X2，X214作作 业业1.1.习题五：第习题五：第5 5、7 7、8 8题题.2.2.复习；复习；3.3.预习预习：参数的点估计参数的点估计 (样本数字特征法样本数字特征法、矩法估计、估计量的评选矩法估计、估计量的评选标准标准)作 业1.习题五：第5、7、8题.215
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