资源描述
3 用坐标表示向量用坐标表示向量重点重点重点重点 1 1 1 1、直线三种方程（尤其两点式）及相互转换、直线三种方程（尤其两点式）及相互转换、直线三种方程（尤其两点式）及相互转换、直线三种方程（尤其两点式）及相互转换一、直线的参数方程与标准方程一、直线的参数方程与标准方程一、直线的参数方程与标准方程一、直线的参数方程与标准方程2 2 2 2、两个直线的相互关系的确定、两个直线的相互关系的确定、两个直线的相互关系的确定、两个直线的相互关系的确定几何空间的直线几何空间的直线几何空间的直线几何空间的直线L L就是就是就是就是1 1维的线性流行，维的线性流行，维的线性流行，维的线性流行，即即即即3 3 3 3、直线与平面的相互关系的确定、直线与平面的相互关系的确定、直线与平面的相互关系的确定、直线与平面的相互关系的确定假设假设假设假设 是是是是1 1 1 1维线向量空间维线向量空间维线向量空间维线向量空间WW的基向量，的基向量，的基向量，的基向量，3 用坐标表示向量重点 1、直线三种方程（尤其两点式）及1 1或等价的表示成或等价的表示成或等价的表示成或等价的表示成称上述方程是直线的称上述方程是直线的称上述方程是直线的称上述方程是直线的参数方程参数方程参数方程参数方程，则则则则L L上的点上的点上的点上的点 满足满足满足满足其中其中其中其中 是称为是称为是称为是称为直线的方向向量。直线的方向向量。直线的方向向量。直线的方向向量。或等价的表示成称上述方程是直线的参数方程，则L上的点 2 2上述参数方程也可消去上述参数方程也可消去上述参数方程也可消去上述参数方程也可消去t t得到直线的得到直线的得到直线的得到直线的标准方程标准方程标准方程标准方程显然，显然，显然，显然，因此，如果直线过两点因此，如果直线过两点因此，如果直线过两点因此，如果直线过两点直线是由其上一点和方向向量唯一确定的。直线是由其上一点和方向向量唯一确定的。直线是由其上一点和方向向量唯一确定的。直线是由其上一点和方向向量唯一确定的。则直线的方向向量为则直线的方向向量为则直线的方向向量为则直线的方向向量为从而得到直线的从而得到直线的从而得到直线的从而得到直线的两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程上述参数方程也可消去t得到直线的标准方程显然，因此，如果直线3 3注释注释注释注释1 1 上面直线的参数方程与标准方程的相互上面直线的参数方程与标准方程的相互上面直线的参数方程与标准方程的相互上面直线的参数方程与标准方程的相互显然，任意直线都可看成是某两个平面的交线。显然，任意直线都可看成是某两个平面的交线。显然，任意直线都可看成是某两个平面的交线。显然，任意直线都可看成是某两个平面的交线。转化方法是显然的。转化方法是显然的。转化方法是显然的。转化方法是显然的。在求解与直线有关的交点在求解与直线有关的交点在求解与直线有关的交点在求解与直线有关的交点问题时直线的参数方程是简单有用的。问题时直线的参数方程是简单有用的。问题时直线的参数方程是简单有用的。问题时直线的参数方程是简单有用的。二、直线的一般方程二、直线的一般方程二、直线的一般方程二、直线的一般方程因此，任意直线都是因此，任意直线都是因此，任意直线都是因此，任意直线都是2 2个个个个3 3元线性方程组的解集：元线性方程组的解集：元线性方程组的解集：元线性方程组的解集：上面方程称为直线的一般式方程。上面方程称为直线的一般式方程。上面方程称为直线的一般式方程。上面方程称为直线的一般式方程。注释1上面直线的参数方程与标准方程的相互显然，任意直线都可看4 4直线的标准（包括两点式）方程向一般式转化是直线的标准（包括两点式）方程向一般式转化是直线的标准（包括两点式）方程向一般式转化是直线的标准（包括两点式）方程向一般式转化是由标准方程定义，由标准方程定义，由标准方程定义，由标准方程定义，简单的（见教材解释，两个特殊平面的交线）。简单的（见教材解释，两个特殊平面的交线）。简单的（见教材解释，两个特殊平面的交线）。简单的（见教材解释，两个特殊平面的交线）。事实上，事实上，事实上，事实上，下面看如何把直线的一般式方程化为标准方程。下面看如何把直线的一般式方程化为标准方程。下面看如何把直线的一般式方程化为标准方程。下面看如何把直线的一般式方程化为标准方程。需找直线的一点和方向向量。需找直线的一点和方向向量。需找直线的一点和方向向量。需找直线的一点和方向向量。如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为容易得到直线上一点容易得到直线上一点容易得到直线上一点容易得到直线上一点 ，上节例上节例上节例上节例2.12.1已经已经已经已经知道直线的方向向量为知道直线的方向向量为知道直线的方向向量为知道直线的方向向量为比如取比如取z=0直线的标准（包括两点式）方程向一般式转化是由标准方程定义，简5 5因此，直线的标准方程为因此，直线的标准方程为因此，直线的标准方程为因此，直线的标准方程为命题命题命题命题3.13.1 如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为如果直线的一般式方程为则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为因此，直线的标准方程为命题3.1如果直线的一般式方程为则直线6 6两个直线的相关位置比两个平面的关系复杂得多。两个直线的相关位置比两个平面的关系复杂得多。两个直线的相关位置比两个平面的关系复杂得多。两个直线的相关位置比两个平面的关系复杂得多。三、两条直线的相关位置三、两条直线的相关位置三、两条直线的相关位置三、两条直线的相关位置命题命题命题命题3.23.2 假设有两个直线假设有两个直线假设有两个直线假设有两个直线注意到直线是由其上一点和方向向量唯一确定的，注意到直线是由其上一点和方向向量唯一确定的，注意到直线是由其上一点和方向向量唯一确定的，注意到直线是由其上一点和方向向量唯一确定的，且直线的标准方程也是由其一点和方向向量刻划，且直线的标准方程也是由其一点和方向向量刻划，且直线的标准方程也是由其一点和方向向量刻划，且直线的标准方程也是由其一点和方向向量刻划，因此下面只对标准方程讨论即可。因此下面只对标准方程讨论即可。因此下面只对标准方程讨论即可。因此下面只对标准方程讨论即可。两个直线的相关位置比两个平面的关系复杂得多。三、两条直线的相7 7则两条直线的相关位置由三个向量则两条直线的相关位置由三个向量则两条直线的相关位置由三个向量则两条直线的相关位置由三个向量确定。确定。确定。确定。即即即即（1 1）两条直线异面的充要条件是三个向量）两条直线异面的充要条件是三个向量）两条直线异面的充要条件是三个向量）两条直线异面的充要条件是三个向量异面（不共面），异面（不共面），异面（不共面），异面（不共面），即即即即以三个向量为棱的以三个向量为棱的平行六面体体积不平行六面体体积不等于等于0向量组的向量组的秩为秩为3则两条直线的相关位置由三个向量确定。即（1）两条直线异面的充8 8（2 2）两条直线相交的充要条件是三个向量）两条直线相交的充要条件是三个向量）两条直线相交的充要条件是三个向量）两条直线相交的充要条件是三个向量共面（线性相关），共面（线性相关），共面（线性相关），共面（线性相关），且且且且 不平行（线性无关）不平行（线性无关）不平行（线性无关）不平行（线性无关）.（3 3）两条直线平行的充要条件是三个向量满足）两条直线平行的充要条件是三个向量满足）两条直线平行的充要条件是三个向量满足）两条直线平行的充要条件是三个向量满足（3 3）两条直线重合的充要条件是三个向量满足）两条直线重合的充要条件是三个向量满足）两条直线重合的充要条件是三个向量满足）两条直线重合的充要条件是三个向量满足证明证明证明证明根据图形讨论即可（见教材）。根据图形讨论即可（见教材）。根据图形讨论即可（见教材）。根据图形讨论即可（见教材）。向量组的秩为向量组的秩为2，无关无关向量组的秩为向量组的秩为2，相关相关向量组的向量组的秩为秩为1（2）两条直线相交的充要条件是三个向量共面（线性相关），且 9 9四、直线与平面的相关位置四、直线与平面的相关位置四、直线与平面的相关位置四、直线与平面的相关位置命题命题命题命题3.33.3 假设一条直线和平面的方程是假设一条直线和平面的方程是假设一条直线和平面的方程是假设一条直线和平面的方程是则则则则（1 1）直线）直线）直线）直线L L平行平面平行平面平行平面平行平面IIII的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是四、直线与平面的相关位置命题3.3假设一条直线和平面的方程是1010（2 2）直线）直线）直线）直线L L在平面在平面在平面在平面IIII上的充要条件是上的充要条件是上的充要条件是上的充要条件是（3 3）直线）直线）直线）直线L L与与与与平面平面平面平面IIII相交的充要条件是相交的充要条件是相交的充要条件是相交的充要条件是（2）直线L在平面II上的充要条件是（3）直线L与平面II相1111例例例例3.13.1 问参数问参数问参数问参数a a和和和和b b满足什么条件时，满足什么条件时，满足什么条件时，满足什么条件时，两个直线两个直线两个直线两个直线共面、相交共面、相交共面、相交共面、相交?解解解解 两个直线共面的充要条件是两个直线共面的充要条件是两个直线共面的充要条件是两个直线共面的充要条件是例3.1问参数a和b满足什么条件时，两个直线共面、相交?解两1212因为两直线的方向向量对任意的因为两直线的方向向量对任意的因为两直线的方向向量对任意的因为两直线的方向向量对任意的a a和和和和b b都不平行，都不平行，都不平行，都不平行，所以量直线相交的条件就是两直线共面的条件，所以量直线相交的条件就是两直线共面的条件，所以量直线相交的条件就是两直线共面的条件，所以量直线相交的条件就是两直线共面的条件，即即即即例例例例3.23.2求直线过点求直线过点求直线过点求直线过点则由直线平则由直线平则由直线平则由直线平设直线的方向向量为设直线的方向向量为设直线的方向向量为设直线的方向向量为 由于两个平面相交，由于两个平面相交，由于两个平面相交，由于两个平面相交，于是两个平面方程的一次项于是两个平面方程的一次项于是两个平面方程的一次项于是两个平面方程的一次项系数不成比例，系数不成比例，系数不成比例，系数不成比例，即线性方程组系数矩阵的秩为即线性方程组系数矩阵的秩为即线性方程组系数矩阵的秩为即线性方程组系数矩阵的秩为2 2，解解解解行平面的条件得行平面的条件得行平面的条件得行平面的条件得平行平行平行平行因为两直线的方向向量对任意的a和b都不平行，所以量直线相交的1313如解出一个如解出一个如解出一个如解出一个于是直线方程为于是直线方程为于是直线方程为于是直线方程为例例例例3.33.3如何使如何使如何使如何使由命题由命题由命题由命题3.13.1知直线的方向向量为知直线的方向向量为知直线的方向向量为知直线的方向向量为解解解解 从而齐次线性方程组一定又非零解从而齐次线性方程组一定又非零解从而齐次线性方程组一定又非零解从而齐次线性方程组一定又非零解,落在落在落在落在xozxoz平面内平面内平面内平面内如解出一个于是直线方程为例3.3如何使由命题3.1知直线的方1414于是由命题于是由命题于是由命题于是由命题3.33.3（2 2）直线在）直线在）直线在）直线在xozxoz面的条件是面的条件是面的条件是面的条件是xozxoz面的方程是面的方程是面的方程是面的方程是且方程组且方程组且方程组且方程组有无穷解。有无穷解。有无穷解。有无穷解。于是由命题3.3（2）直线在xoz面的条件是xoz面的方程是1515这等价于这等价于这等价于这等价于且方程组且方程组且方程组且方程组有无穷解。有无穷解。有无穷解。有无穷解。因此所求条件为因此所求条件为因此所求条件为因此所求条件为作业：作业：P216 Ex 2,3,6,7,8(2)这等价于且方程组有无穷解。因此所求条件为作业：P216 E1616
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