离散型随机变量及分布分析课件

第二章第二章 离散型随机变量及分布离散型随机变量及分布第二章第二章 离散型随机变量及分布离散型随机变量及分布本章要点本章要点 本章引入随机变量的概念本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随机变量讨论几种类型的随机变量一、一维离散型随机变量及分布一、一维离散型随机变量及分布二、一维离散型随机变量的常用分布二、一维离散型随机变量的常用分布及相应的分布及相应的分布.主要内容有主要内容有:三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性五、随机变量函数的分布五、随机变量函数的分布本章要点本章要点 本章引入随机变量的概念本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随讨论几种类型的随一、随机变量一、随机变量 1.随机变量随机变量例例1 设随机试验设随机试验 为抛硬币试验为抛硬币试验,我们以符号我们以符号 表示出表示出出现正面出现正面,出现反面出现反面.现的是正面现的是正面,符号符号 表示出现的是反面表示出现的是反面,为了更好的刻画为了更好的刻画这类随机试验这类随机试验,我们我们 用一个数对应一个试验的结果，由用一个数对应一个试验的结果，由此引入一个变量此引入一个变量一、随机变量一、随机变量 1.随机变量例随机变量例1 设随机试验设随机试验 例例2 设随机试验设随机试验 为一次打靶试验为一次打靶试验,其基本结果是中与其基本结果是中与击中目标击中目标,未击中目标未击中目标.不中不中.同样可以引入变量同样可以引入变量:也有很多试验，其结果本身就用数来表示的也有很多试验，其结果本身就用数来表示的.例如例如 在一大批产品中有在一大批产品中有5%的次品，从中抽取的次品，从中抽取10件产件产品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以引进变量引进变量来表示其中的次品数，其取值为来表示其中的次品数，其取值为例例2 设随机试验设随机试验 为一次打靶试验为一次打靶试验,其基本结果是其基本结果是例例3 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验,以以 表示首次命中时表示首次命中时所进行过的射击次数所进行过的射击次数.则则 的取值为的取值为 将上面的问题一般化将上面的问题一般化,我们引入下面概念我们引入下面概念.例例3 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验,以以 表示表示定义定义 设设 为随机试验为随机试验,为样本空间为样本空间,定义在定义在 上的函上的函数称为数称为 上的（一维）上的（一维）随机变量随机变量.记为记为定义定义 设设 为随机试验为随机试验,为样本空间为样本空间,定定 引入了随机变量以后引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随机事件及相应的概率可以用随机变量方式加以刻画随机变量方式加以刻画.记记 表示表示“取到的一只产品是不合格品取到的一只产品是不合格品”,再以再以 表表 例如例如,某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时间应该不小于间应该不小于 小时小时.此时此时 示取出的灯泡的寿命示取出的灯泡的寿命,则事件则事件 可以表示为可以表示为对应的概率可以表示为对应的概率可以表示为 引入了随机变量以后引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随随机事件及相应的概率可以用随二、概率函数、概率函数 在上节的几个例子中在上节的几个例子中,我们看到问题中所涉及的几个我们看到问题中所涉及的几个随机变量的取值为有限多个或随机变量的取值为有限多个或“可列可列”多个多个,这类随机这类随机变量称为变量称为离散型随机变量离散型随机变量.二、概率函数二、概率函数 在上节的几个例子中在上节的几个例子中,我们看到问题中所我们看到问题中所 1.离散型随机变量和概率函数离散型随机变量和概率函数 设设 为离散型随机变量为离散型随机变量,的可能取值为的可能取值为事件事件 的概率为的概率为 即即:称称式为随机变量式为随机变量 的的分布分布（分布律分布律）,又称为又称为概率函概率函数数.上式又可用表格的形式给出上式又可用表格的形式给出:满足满足 1.离散型随机变量和概率函数离散型随机变量和概率函数 设设 为为注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出为零的项不必列出.其中其中为某一实数集为某一实数集.注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出例例4 设袋中有设袋中有5球球,编号为编号为 从袋中随机地从袋中随机地解解 以以 表示取到球的编号表示取到球的编号,则则 的取值为的取值为 因因1同理同理,取一球取一球,以以 表示取到的球的编号表示取到的球的编号,求求 的分布的分布.号球只有一个号球只有一个,故故例例4 设袋中有设袋中有5球球,编号为编号为 及及从而随机变量从而随机变量 的分布律为的分布律为及从而随机变量及从而随机变量 的分布律为的分布律为 例例 设袋中有设袋中有5球球,编号分别为编号分别为机地取机地取3个球个球,以以解解表示取到的表示取到的3个球中的最大编号个球中的最大编号,求求 的分布律的分布律.的取值为的取值为的分布律为：的分布律为：从袋中随从袋中随 例例 设袋中有设袋中有5球球,编号分别为机地取编号分别为机地取3个球个球,例例 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验,以以 表示首次命中时表示首次命中时所进行过的射击次数所进行过的射击次数.则则 的取值为的取值为 设每次命中目标的概率为设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律，求随机变量的分布律及及解：解：分布律为分布律为例例 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验,以以 表表 分布分布 若随机变量若随机变量 的取值为的取值为0,1,相应的概率记为相应的概率记为则称服从则称服从 分布分布.记为记为 一个只有两个基本结果的随机试验一个只有两个基本结果的随机试验,都可转化为都可转化为分布分布.三、常用离散型随机变量三、常用离散型随机变量 分布分布 若随机变量若随机变量 的的习惯上习惯上,分布又常写成分布又常写成习惯上习惯上,分布又常写成分布又常写成 二项分布二项分布 在在 重贝努利试验中重贝努利试验中,若以若以 表示事件表示事件 在在 次试验中次试验中分布律为分布律为出现的次数出现的次数.则则 的取值为的取值为 相应的概率为相应的概率为:二项分布二项分布 在在 重贝努利试验中重贝努利试验中,若以若以 其中其中 为事件为事件 发生的概率发生的概率.则称则称 服从参数为服从参数为 的的 在概率论中在概率论中,二项分布是一个重要的分布二项分布是一个重要的分布.在许多独在许多独二项分布二项分布,记成记成立重复试验中立重复试验中,都具有二项分布的形式都具有二项分布的形式.分布是二项分布在分布是二项分布在时的特殊情况时的特殊情况.其中其中 为事件为事件 发生的概率发生的概率.则称则称 服从参数为服从参数为例例6 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95，今有，今有10人服用，问人服用，问至少有至少有8人治愈的概率有多少？人治愈的概率有多少？解解 设设为为10人中治愈的人数，则人中治愈的人数，则例例6 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95，今有，今有10人服用，问至人服用，问至 例例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,并设并设解解 由条件由条件,以以 表示包内螺丝钉为次品的件数表示包内螺丝钉为次品的件数,则包则包各个螺丝钉是否为次品是独立的各个螺丝钉是否为次品是独立的.这家公司将这家公司将10个螺丝个螺丝钉包成一包出售钉包成一包出售,并保证若发现包内多于一个次品就可并保证若发现包内多于一个次品就可退款退款.问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？被退回意味着被退回意味着 故所求的概率为故所求的概率为被退回的概率近似等于被退回的概率近似等于0.43%.例例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,例例8 设有保险公司的某保险险种有设有保险公司的某保险险种有1000人投保人投保,每个每个解解 以随机变量以随机变量 表示在未来一年中这表示在未来一年中这1000个投保人死个投保人死人在一年内死亡的概率为人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否且每个人在一年内是否死亡是相互独立的死亡是相互独立的.试求在未来一年中这试求在未来一年中这1000个投保人个投保人死亡人数不超过死亡人数不超过10个人的概率个人的概率.亡的人数亡的人数,则相应的问题转变为求概率则相应的问题转变为求概率 由由可得可得 例例8 设有保险公司的某保险险种有设有保险公司的某保险险种有1000人投保人投保,在上式中直接计算在上式中直接计算 是比较是比较 设设 当当 很大很大 很小且很小且 适中时有适中时有在上例中在上例中,取取 则有则有困难的困难的,为此我们引入一个简便的计算方法为此我们引入一个简便的计算方法即二项即二项分布的逼近分布的逼近,称为泊松定理称为泊松定理.在上式中直接计算在上式中直接计算 即在未来一年中这即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过个投保人死亡人数不超过10个人个人的概率为的概率为0.986.即在未来一年中这即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过个投保人死亡人数不超过10个人的概率个人的概率 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量 的取值为的取值为 相应的分布律相应的分布律则称随机变量服从参数为则称随机变量服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为泊松分布的计算泊松分布的计算:查表查表为为 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量 的取值为的取值为 例例9 设设 求求解解 查表得查表得例例10 设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量求在一分钟内至少有求在一分钟内至少有2辆车通过的辆车通过的解解 所求概率为所求概率为概率。概率。例例9 设设 求解求解 例例11 设某小区有电梯设某小区有电梯200部部,每台电梯发生故障的可每台电梯发生故障的可在同一时刻恰好有在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率部电梯发生故障的概率;在同一时刻至少有在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率部电梯发生故障的概率;至少配备多少维修工人至少配备多少维修工人,使能以使能以95%的概率的概率,保证当保证当解解 以以 表示在同一时刻发生故障的电梯数表示在同一时刻发生故障的电梯数,则由条件则由条件取取 所以所以能性为能性为0.02,求求 电梯发生故障时电梯发生故障时,有维修工人进行维修有维修工人进行维修.得得例例11 设某小区有电梯设某小区有电梯200部部,每台电梯发生故障的每台电梯发生故障的由计算公式由计算公式得得记配备的维修工人数为记配备的维修工人数为 若能有维修工人能进行维若能有维修工人能进行维修修,则则 所以原问题由概率来反映所以原问题由概率来反映,即为即为由计算公式由计算公式得得记配备的维修工人数为记配备的维修工人数为 若能有维若能有维从而从而 查表得查表得故取故取 即配备即配备8名维修人员名维修人员,使能以使能以95%的概率的概率,保证当电梯发生故障时保证当电梯发生故障时,一定有维修工人进行维修一定有维修工人进行维修.从而从而 几何分布几何分布 设随机变量设随机变量 的取值为的取值为相应的概率函数为相应的概率函数为称随机变量称随机变量 服从参数为服从参数为 的的几何分布几何分布,记为记为 几何分布几何分布 设随机变量设随机变量 的取值为相应的概的取值为相应的概例例12 某人投篮的命中率为某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否，假定各次投篮是否命中相互独立，设命中相互独立，设次数，求次数，求 表示他首次投中时累计已投篮的表示他首次投中时累计已投篮的的分布律，并求的分布律，并求取奇数的概率取奇数的概率.解：随机变量的分布律为解：随机变量的分布律为随机变量取奇数的概率为随机变量取奇数的概率为例例12 某人投篮的命中率为某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互，假定各次投篮是否命中相互(5)超几何分布超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在假定在件产品中件产品中有有表示表示的分布律为：的分布律为：件次品，从中抽取件次品，从中抽取件进行检验，用件进行检验，用件中的次品数，则件中的次品数，则服从超几何分布，服从超几何分布，(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定假定例例13 设设15件产品中有件产品中有2件次品，从中任取件次品，从中任取3件，以件，以表示表示3件中的次品数，求件中的次品数，求解解的分布律为的分布律为的分布律的分布律.例例13 设设15件产品中有件产品中有2件次品，从中任取件次品，从中任取3件，以表示件，以表示3件件在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中件中的次品数的次品数在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数件中的次品数四、二维随机变量及分布四、二维随机变量及分布 设设 是随机试验是随机试验,是相应的样本空间是相应的样本空间,一个从一个从 到到的二元函数即称为一个二维随机变量的二元函数即称为一个二维随机变量.记为记为称随机变量称随机变量 的取值规律及相应的概率为的取值规律及相应的概率为 的的二维分布二维分布.1.联合概率函数联合概率函数四、二维随机变量及分布四、二维随机变量及分布 设设 是随机试验是随机试验,设设 为二维随机变量为二维随机变量,若它的取值为有限多个或若它的取值为有限多个或 设设 为二维随机变量为二维随机变量,取值为取值为称称式为随机变量式为随机变量 的的联合分布律或联合概率函数联合分布律或联合概率函数.可列多个可列多个,则称则称 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.相应的概率为相应的概率为满足满足 设设 为二维随机变量为二维随机变量,若它的若它的 式又可用分布表的形式给出式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到大的顺序排列。大的顺序排列。式又可用分布表的形式给出式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列注：全为零的行或列不必列 由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平面上某个区域中的概率落在平面上某个区域中的概率.事实上事实上,对给定的平面区域对给定的平面区域则有则有 由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平例例12 设袋中有设袋中有5球球,编号为编号为 今从袋中取二球今从袋中取二球解解 由条件由条件,随机变量随机变量 的可能取值为的可能取值为 因因 号号当先取当先取 号球号球,此时还剩此时还剩4球球,其中其中2号球有号球有2个个,故故（不放回）（不放回）,分别以分别以 表示第一、二次取到的球的编表示第一、二次取到的球的编号号,求求 的分布律的分布律.球只有一个球只有一个,故故例例12 设袋中有设袋中有5球球,编号为编号为 相仿地相仿地,有有由此得到分布表由此得到分布表相仿地相仿地,有由此得到分布表有由此得到分布表离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件 2.边缘概率函数边缘概率函数 设设 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,取值为取值为由此由此,随机变量随机变量 的取值为的取值为 相应的概率相应的概率为为联合概率函数为联合概率函数为 2.边缘概率函数边缘概率函数 设设 为为称其为随机变量称其为随机变量 的的边缘概率函数边缘概率函数.同样定义同样定义称其为随机变量称其为随机变量 的的边缘概率函数边缘概率函数.称其为随机变量称其为随机变量 的边缘概率函数的边缘概率函数.同样定义同样定义称其为随称其为随例例13 设二维随机变量设二维随机变量 有概率函数有概率函数求边缘概率函数求边缘概率函数.解解 对上表分别作行和及列和对上表分别作行和及列和,得得:例例13 设二维随机变量设二维随机变量 有概率函数求有概率函数求由此得边缘概率函数分别为由此得边缘概率函数分别为:及及由此得边缘概率函数分别为由此得边缘概率函数分别为:及及例例14 袋中有袋中有10个球个球,其中红球其中红球8个个,白球白球2个个,从袋中随从袋中随机取机取2次球次球,每次一个（不放回）每次一个（不放回）,定义定义第一次取出的是红球第一次取出的是红球,第一次取出的是白球第一次取出的是白球,第二次取出的是红球第二次取出的是红球,第二次取出的是白球第二次取出的是白球,求求 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律.解解 由要求由要求,二维随机变量二维随机变量 的可能取值只有四个的可能取值只有四个,例例14 袋中有袋中有10个球个球,其中红球其中红球8个个,白球白球2个个又又:事件事件表示第一和第二次取到的都是表示第一和第二次取到的都是 红球红球,因而因而同理同理:又又:事件表示第一和第二次取到的都是事件表示第一和第二次取到的都是 红球红球,因而同理因而同理:由此得到联合分布律为由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为相应的边缘分布律为:由此得到联合分布律为由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为相应的边缘分布律为:及及及及五、随机变量的独立性与条件分布五、随机变量的独立性与条件分布 1.随机变量的独立性随机变量的独立性 在上一目的例在上一目的例12中中,若采用放回抽样若采用放回抽样,则联合概率函则联合概率函数和边缘概率函数分别为数和边缘概率函数分别为:五、随机变量的独立性与条件分布五、随机变量的独立性与条件分布 1.随机变量的独立性随机变量的独立性 注意到注意到,此时对任意的此时对任意的有有上式表明事件上式表明事件是独立的事件是独立的事件.由此引入下面的定义由此引入下面的定义.注意到注意到,此时对任意的有上式表明事件是独立的事件此时对任意的有上式表明事件是独立的事件.定义定义 设随机变量设随机变量 的联合概率函数为的联合概率函数为如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即即则称随机变量则称随机变量 与与 相互独立相互独立.注：若存在一点注：若存在一点则称随机变量则称随机变量 与与 不相互独立不相互独立.定义定义 设随机变量设随机变量 的联合概率函数为如的联合概率函数为如例例15 设设 是二维随机变量是二维随机变量,相应的分布律为相应的分布律为解解 因随机变量因随机变量 的边缘分布分别为的边缘分布分别为判断判断 是否独立是否独立.例例15 设设 是二维随机变量是二维随机变量,相相因此随机变量不独立因此随机变量不独立.因此随机变量不独立因此随机变量不独立.例例16 设随机变量的联合分布律为设随机变量的联合分布律为已知已知求求的值，并讨论随机变量的独立性。的值，并讨论随机变量的独立性。解解 不独立不独立.例例16 设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量例例 抛抛3次均匀硬币以次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面向上的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的独立性独立性.例例 抛抛3次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次55随机变量的联合分布与边缘分布分别为随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的变量之间是不独立的.随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去变量中去.如果如果n个随机变量的联合概率函数恰为个随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率个边缘概率函数的乘积，则称这函数的乘积，则称这n个随机变量相互独立个随机变量相互独立,即即对随机变量的任意取值上式都成立对随机变量的任意取值上式都成立.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去.如果如果n57六、随机变量函数的分布六、随机变量函数的分布 1.一维随机变量函数的概率函数一维随机变量函数的概率函数 设设 是离散型随机变量是离散型随机变量,概率函数为概率函数为即有分布律即有分布律六、随机变量函数的分布六、随机变量函数的分布 1.一维随机变量函数的概率函数一维随机变量函数的概率函数若若 为一已知函数为一已知函数,则随机变量则随机变量 的的取值为取值为则相应的概率函数为则相应的概率函数为当当若若 为一已知函数为一已知函数,则则例例14 设设 为离散型随机变量为离散型随机变量,概率函数为概率函数为求随机变量求随机变量 的分布的分布.解解 1.因函数因函数 为单调函数为单调函数,所以所以随机变量随机变量 的概率函数为的概率函数为随机变量随机变量 的取值为的取值为例例14 设设 为离散型随机变量为离散型随机变量,概率函数为求随机变概率函数为求随机变 2.的取值为的取值为 而而由此得到相应的概率函数为由此得到相应的概率函数为:2.的取值为的取值为 例例15 设设 有概率函数有概率函数求求 的概率函数的概率函数.解解 的取值为的取值为 相应的分布律为相应的分布律为例例15 设设 有概率函数求有概率函数求 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,相应的分布律为相应的分布律为 设设 为任意一个二元函数为任意一个二元函数,则随机变量则随机变量 的相应取值为的相应取值为相应的概率相应的概率为为:2.二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,例例16 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,分布列为分布列为求求:的概率函数的概率函数.解解 则则 的取值为的取值为 相应相应的概率为的概率为例例16 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,此时此时,的取值为的取值为得到的概率分布为得到的概率分布为:此时此时,的取值为的取值为得到的概率分布为得到的概率分布为:例例17 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,分布列为分布列为求求:的概率分布的概率分布.解解 则则 的取值为的取值为 相应的概率为相应的概率为例例17 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,同理可计算其它概率同理可计算其它概率,由此得分布率为由此得分布率为 此时此时,的取值为的取值为 相应的相应的分布为分布为同理可计算其它概率同理可计算其它概率,由此得分布率为由此得分布率为 此时此时,的取值为的取值为 相应的相应的概率分布为概率分布为 例例20 设二维随机变量设二维随机变量 的两个边缘概率函数分别的两个边缘概率函数分别为为已知已知 与与 相互独立相互独立,求下列随机变量的概率函数求下列随机变量的概率函数:的联合分布律与边缘分布律的联合分布律与边缘分布律.求求例例20 设二维随机变量设二维随机变量 的两个边的两个边解解 二维随机变量二维随机变量 的联合概率函数为的联合概率函数为由独立性由独立性 的取值为的取值为且且解解 二维随机变量二维随机变量 的联合概率函数的联合概率函数同理可得其它情况同理可得其它情况,由此得到概率函数由此得到概率函数同理可得其它情况同理可得其它情况,由此得到概率函数由此得到概率函数(2)(2)定理定理 设设 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量,且且记记则则 定理定理 设设 相互独立相互独立,当当 时时,当当 时时,定理定理 设设 定理定理 设设 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,对于对于任意一个整数任意一个整数 随机变量随机变量与与相互独立相互独立.注意注意 该定理的逆命题并不成立该定理的逆命题并不成立.特殊地，当特殊地，当 相互独立时相互独立时也相互独立也相互独立.定理定理 设设 七、部分作业解答七、部分作业解答七、部分作业解答七、部分作业解答2.2 试确定常数试确定常数 使得下列函数成为概率函数使得下列函数成为概率函数:解解 因因因因 2.2 试确定常数试确定常数 使得下列函数成为概率函数使得下列函数成为概率函数:2.4 已知随机变量的概率函数如下表已知随机变量的概率函数如下表:求一元二次方程求一元二次方程有实数根的有实数根的概率概率.解解 因方程有实数根因方程有实数根此时此时 因而因而 相应的概率为相应的概率为2.4 已知随机变量的概率函数如下表已知随机变量的概率函数如下表:求一元二次方程有求一元二次方程有2.6 设随机变量设随机变量已知已知试求试求 解解 因因即有即有由此得由此得所以所以 2.6 设随机变量已知试求设随机变量已知试求 解解 因即有由此得所以因即有由此得所以2.10 某地有某地有 个人参加了人寿保险个人参加了人寿保险,每人缴纳保险每人缴纳保险金金 元元,年内死亡时家属可以从保险公司领取年内死亡时家属可以从保险公司领取 元元.假定该地假定该地 年内人口死亡率为年内人口死亡率为且死亡是相对独立且死亡是相对独立 的的,求该公司求该公司 年内赢利不少于年内赢利不少于 元的概率元的概率.解解 设设 表示该地区一年内死亡的人数表示该地区一年内死亡的人数,则则所求概率为所求概率为此时此时所以所以2.10 某地有某地有 个人参加了人寿保险个人参加了人寿保险现的点数现的点数,表示表示 次出现的点数的最大者次出现的点数的最大者.试求试求 与与 的联合概率函数的联合概率函数;与与 的边缘概率函数的边缘概率函数.解解 因因表示掷出的点数均为表示掷出的点数均为 所以所以 2.14 把一颗骰子独立地向上抛把一颗骰子独立地向上抛 次次.设设 表示第表示第 次出次出现的点数现的点数,表示表示 次出现的点数的最大者次出现的点数的最大者.试求试求 同样同样所以所以而而 为不可能事件为不可能事件,所以所以 注意到注意到 表示第一个点数为表示第一个点数为 第二个点数为第二个点数为表示第一个点数为表示第一个点数为 第二个点第二个点可以是可以是 或是或是所以所以同样所以而同样所以而 为不可能事件为不可能事件,所以所以 注意到注意到 表示第一个点数表示第一个点数同理可得其它概率同理可得其它概率,由此得联合概率函数由此得联合概率函数:同理可得其它概率同理可得其它概率,由此得联合概率函数由此得联合概率函数:离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件由上表容易得到由上表容易得到:边缘概率函数为边缘概率函数为对角线的和对角线的和由上表容易得到由上表容易得到:边缘概率函数为对角线的和边缘概率函数为对角线的和离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件2.17 设设 与与 独立同分布独立同分布,它们都服从它们都服从 分布分布试求试求 的联合概率函数的联合概率函数.解解 由条件得由条件得 与与 的概率函数分别为的概率函数分别为:再由独立性得联合概率函数为再由独立性得联合概率函数为:2.17 设设 与与 独立同分布独立同分布,它们都服它们都服离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件2.18 设随机变量设随机变量 的联合概率函数如下表的联合概率函数如下表:试问试问 各取何值时各取何值时,与与 相互独立相互独立?解解 边缘分布为边缘分布为2.18 设随机变量设随机变量 的联合概率函数如下的联合概率函数如下由独立性得由独立性得行和行和列和列和由独立性得行和列和由独立性得行和列和再由再由再由再由2.19 已知随机变量已知随机变量 与与 的概率函数为的概率函数为已知已知试求试求 的联合概率函数的联合概率函数.是否相互独立是否相互独立?为什么为什么?2.19 已知随机变量已知随机变量 与与 的概率函数为已知的概率函数为已知解解 因因 所以所以 设联合概率函数及边缘概率函数分别为设联合概率函数及边缘概率函数分别为解解 因因 所以所以 设联合概率函数及边缘概率函数分别为设联合概率函数及边缘概率函数分别为由此得由此得 由此得由此得 所以所以,联合概率函数为联合概率函数为因因所以不独立所以不独立.所以所以,联合概率函数为因所以不独立联合概率函数为因所以不独立.2.24 已知随机变量已知随机变量 服从集合服从集合上的均匀上的均匀分布分布,试求试求与与的概率函数的概率函数.解解 由条件知由条件知 的概率函数为的概率函数为容易得到容易得到与与的概率函数分别为的概率函数分别为2.24 已知随机变量已知随机变量 服从集合上的均匀分布服从集合上的均匀分布,离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件2.26 设设 与与 的联合概率函数为的联合概率函数为分别求出分别求出的概率的概率函数函数;试求试求 与与 的联合概率函数的联合概率函数.解解 的可能取值为的可能取值为 2.26 设设 与与 的联合概率函数为的联合概率函数为分别求出分别求出同理有其它情况同理有其它情况,由此得概率函数由此得概率函数的可能取值为的可能取值为 同理有其它情况同理有其它情况,由此得概率函数的可能取值为由此得概率函数的可能取值为 同理有其它情况同理有其它情况,由此得概率函数由此得概率函数同理有其它情况同理有其它情况,由此得概率函数由此得概率函数注意到注意到:注意到注意到:所以所以 同理可得其它概率同理可得其它概率,由此得概率函数由此得概率函数所以所以 同理可得其它概率同理可得其它概率,由此得概率函数由此得概率函数2.29 设设是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,且每个且每个试求随机变量试求随机变量 的概率函的概率函 数数.解解 因因 因而概率函数为因而概率函数为而而 的取值为的取值为对应的概率为对应的概率为2.29 设是相互独立的随机变量设是相互独立的随机变量,且每个试求随机变且每个试求随机变离散型随机变量及分布分析课件离散型随机变量及分布分析课件