高等数学第六版第七章第三节齐次方程课件

齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程二、可化为齐次方程 第七章(homogeneous equation)齐次方程 第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程 第七章(一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:可分离变量的方程可分离变量的方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分高等数学第六版第七章第三节齐次方程课件例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即例例 1 1 求解微分方程求解微分方程例例 2 2 求解微分方程求解微分方程例例 3 3 求解微分方程求解微分方程例 1 求解微分方程例 2 求解微分方程例 3 例例 4 4 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例 4 求解微分方程微分方程的解为解例例 5 5 求解微分方程求解微分方程解解例 5 求解微分方程解微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反射镜面时,解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:可得 OMA=OAM=例3.利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得顶到底的距离为 h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射(h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),(h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:例4.求解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:得 C=1,故所求特解为思考:若方程改为 如何求解?解解代入原方程得代入原方程得解代入原方程得分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为分离变量法得得原方程的通解方程变为高等数学第六版第七章第三节齐次方程课件例例 求解微分方程求解微分方程解解令令再令再令两边积分后得两边积分后得变量还原得变量还原得例 求解微分方程解令再令两边积分后得变量还原得利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为通解为通解为解解通解为解三、小结齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程作业作业 P309 1；2;3;三、小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程作业 【k次齐次函数和k次齐次方程的概念】若对于任意的(x,y,z)和任意的实数t,总有 f(tx,ty,tz)=(tk)f(x,y,z)，则称函数f(x,y,z)为k次齐次函数。称方程f(x,y,z)=0为k次齐次方程。若f(x,y)为0次齐次函数，则称 y=f(x,y)是一阶齐次型方程。对于代数线性方程au+bv+c=0,称a，b为系数，c为自由项。设f(u,v)=au+bv+c,那么当c=0时，f(tu,tv)=tf(u,v)，称au+bv=0是齐次方程；当c0时，f(tu,tv)tf(u,v)，称au+bv+c=0是“非”齐次方程。补充：【k次齐次函数和k次齐次方程的概念】若对于任意的(x,y,当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项，那么f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的，当c(x)=0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v关于u,v线性的，齐次的。当c(x)0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的,非齐次的。把u换成y，v换成y，就得到f(y,y)=a(x)y+b(x)y+c(x)关于y,y线性的，a(x)y+b(x)y+c(x)=0 是关于y,y的线性方程，再沿用前面的齐次和非齐次的概念：当c(x)=0时，a(x)y+b(x)y=0 是关于y,y的线性齐次方程。当c(x)0时，a(x)y+b(x)y+c(x)=0 是关于y,y的线性非齐次方程。【线性齐次和线性非齐次】当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项，作品欣赏谢谢观看！作品欣赏