点集拓扑学第1章朴素集合论课件

点 集 拓 扑 学 2013 年年 1 月月 1点 集 拓 扑 学 2013 年 1 月 1拓拓 扑扑 学学 导导 论论 拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支不同的几何学分支 研究对象：一般的几何图形（拓扑空间）研究对象：一般的几何图形（拓扑空间）中心任务：研究几何图形的一类性质即所中心任务：研究几何图形的一类性质即所谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏几谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏几何中研究的长度、角度、面积等不同。何中研究的长度、角度、面积等不同。2拓 扑 学 导 论 拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何2一笔画问题一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？段上不重复？例如：例如：日日，中中 可以一笔画出可以一笔画出 田田，目目 不能一笔画出不能一笔画出 5一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图形能66欧拉的结论欧拉的结论 欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。点也应该与偶数条线相连。7欧拉的结论 欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能一笔画问题的特点一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准确该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图方位、面积、体积无关。重要的是图形中点线之间的相关位置，或相互连形中点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。结的情况不能变。8一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的座桥，而且谁能够一次走遍所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。的大学教授们，也感到一筹莫展。七桥问题七桥问题难住了哥尼难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因七桥问题七桥问题而出了名。而出了名。9哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而七七 桥桥 问问 题题10七 桥 问 题10欧拉的解法欧拉的解法 哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。实际上，欧拉只用了年多的时间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。几天的时间就解决了七桥问题。11欧拉的解法 哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是它们看作是4个点。个点。7座桥是座桥是7条必须经过条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画本身无关。因此，不妨任意画7条线来表条线来表示它们。示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个成了一个“一笔画一笔画”问题，从而否定了问题，从而否定了问题的答案。问题的答案。12 欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点对七桥问题的反思对七桥问题的反思七桥问题是一个几何问题，然而，它却是七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。结论。很清楚，图中什么都可以变，唯独点很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。能变。13对七桥问题的反思七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以四四 色色 问问 题题14四 色 问 题14 以上几个问题显示出几何图形的一类以上几个问题显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在的特点是：在“弹性变形弹性变形”下保持不变，下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学位置几何学”，人们通俗地把它叫做，人们通俗地把它叫做“橡橡皮几何学皮几何学”。后来，这门数学分支被正式。后来，这门数学分支被正式命名为命名为“拓扑学拓扑学”15 以上几个问题显示出几何图形的一类新的几何性质。这类拓扑学的中心任务拓扑学的中心任务欧氏几何研究图形在正交变换下的不变性和不变量。拓扑学研究更一般的图形在“弹性变形”下的不变性和不变量（例子）。“弹性变形”的特点：可复原，把相近的点变成相近的点（连续）16拓扑学的中心任务欧氏几何研究图形在正交变换下的不变性和不变量基本概念的严格数学描述基本概念的严格数学描述一般图形：集合一般图形：集合变形：映射变形：映射弹性变形：可逆映射或一一映射弹性变形：可逆映射或一一映射相近：邻域，开集相近：邻域，开集相近变相近：连续相近变相近：连续图形全等：同胚图形全等：同胚不变性：连通性，可数性，分离性等不变性：连通性，可数性，分离性等17基本概念的严格数学描述一般图形：集合17拓扑学的近代发展拓扑学的近代发展点集拓扑学点集拓扑学代数拓扑学代数拓扑学微分拓扑学微分拓扑学几何拓扑学几何拓扑学思考题：设思考题：设C代表平面上的圆周，代表平面上的圆周，“点点A位于圆周的内部位于圆周的内部”这一性质是否在这一性质是否在“弹性变形弹性变形”下保持不变？下保持不变？18拓扑学的近代发展点集拓扑学18朴朴 素素 集集 合合 论论 19朴 素 集 合 论 19集集 合合 的的 基基 本本 概概 念念20集 合 的 基 本 概 念20集合的基本运算集合的基本运算幂幂 等等 律律分分 配配 律律交交 换律换律21集合的基本运算幂 等 律分 配 律交 换律21集合的基本运算集合的基本运算De Morgan 律22集合的基本运算De Morgan 律22集合的基本运算集合的基本运算23集合的基本运算23笛 卡 儿 积24笛 卡 儿 积24关系与等价关系关关 系系相相 关关 25关系与等价关系关 系25恒同关系恒同关系 设设X是一个集合，从是一个集合，从X到到X的关系简的关系简 称为称为X中的一个关系，集合中的一个关系，集合X中的中的 关系关系(x,x)|xX称为恒同关系或称为恒同关系或 对角线，记作对角线，记作(X)或或.26恒同关系26自自 反反 的的 对对 称称 的的 若若 xRy 则有则有 yRx传传 递递 的的 如果如果xRy,yRz,则有则有xRz.27自 反 的27等价关系等价关系 集集合合X中中的的一一个个关关系系如如果果同同时时是是自自反反的的，对对称称的的和和传传递递的的，则则称称为为 集集 合合X中中 的的 一一 个个 等等 价价 关关 系系.28等价关系28映映 射射 的的 性性 质质29映 射 的 性 质29常常 用用 映映 射射单射、满射、一一映射单射、满射、一一映射常值映射常值映射恒同映射（单位映射）恒同映射（单位映射）30常 用 映 射单射、满射、一一映射30投射投射自然投射自然投射31投射3132321.6集族及其运算集族及其运算有标集族有标集族 设设是是一一个个集集合合.如如果果对对每每一一个个，指指定定一一个个集集合合A，我我们们就就说说给给定定一一个个有有标标集集族族A,在在不不至至于于引引起起混混淆淆的的前前提提下下就就直直接接说说给给定定一一个个集集族族A ，同同 时时称称 为为 集集 族族 的的 指指标集标集.331.6集族及其运算有标集族333434注：在集族的并中，若注：在集族的并中，若是空集，则其是空集，则其并为空集，在集族的交中，并为空集，在集族的交中，不能是空不能是空集集.35注：在集族的并中，若是空集，则其并为空集，在集族的交中，363637373838集族的运算性质集族的运算性质定理：设定理：设A 是一个非空的有标集是一个非空的有标集 族，族，A是一个集合，则是一个集合，则39集族的运算性质定理：设A 是一个非空的有标集39集族的运算性质集族的运算性质40集族的运算性质40集族的运算性质集族的运算性质41集族的运算性质4142424343映射与集族的性质映射与集族的性质44映射与集族的性质4445451.7 可数集，不可数集 重点:可数集合的定义和性质 难点：不可数集合的存在性461.7 可数集，不可数集 重点:可数集合的定义和对于有限集，我们今后使用下面的定义对于有限集，我们今后使用下面的定义.定义1.7.1 设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数使得集合X和集合1,2,n之间有一个一一映射,则称集合X是一个有限集.不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从集合X到正整数集Z+的单射,则称集合X是一个可数集,不是可数集的集合称为不可数集.注：1.有限集的任何一个子集都是有限集。2.凡是有限集都是可数集，但可数集可以是无限集47对于有限集，我们今后使用下面的定义.定义1.7.1 设X定理1.7.1 可数集的任何子集都是可数集定理1.7.2 设X和Y是两个集合，是一个映射，如果X是可数集，则f（X）也是一个可数集。定理1.7.3 集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集到集合X的一个满射。48定理1.7.1 可数集的任何子集都是可数集定理1.7.2 设4949